Indication : on pourra utiliser la formule de Taylor avec reste intégrale

SMIA. Analyse 2. Semestre 2, 2020 Devoir à rendre avant Jeudi 21 Mai 2020 à 18h.

Exercice A.

1. Calculer la limite de la suite (Vn)n∈N^∗ définie par V_n=

n

X

k=1

sin(kπ n ) k

n².

2. Montrer que pour tout x∈[0, π/2] on a x−x³

6 ≤sin(x)≤x.

Indication : on pourra utiliser la formule de Taylor avec reste intégrale.

3. En déduire la limite limWn, où Wn=

n

X

k=1

sin(kπ

n ) sin( k n²).

Exercice B. Montrer la convergence puis calculer les intégrales généralisées suivantes I :=

Z 1 0

t−1

ln(t)dt et J :=

Z 1 0

ln(t) t−1dt.

Pour J on pourra remarquer que _1−t¹ = _1−t^t tⁿ⁻¹+

n−1

P

k=0

t^k, n ∈ N^∗, et que t 7→ ^tln(t)_1−t est bornée sur ]0,1[ et on admettra que lim

n→∞

n−1

P

k=0 1

(k+1)² = ^π₆².

Exercice C.Calcul des l’intégrales généralisées I :=

Z ^π₂

0

ln (cos(x)) dx et J :=

Z ^π₂

0

ln (sin(x)) dx.

1. Montrer que I etJ convergent et que I =J. 2. Exprimer Rπ

0 ln (sin(x)) dx en fonction de J.

2

3. En déduire I. Indication : on pourra passer par I +J. Exercice D.Calcul de l’intégrale généralisée I :=R∞

0 sin(x)

x dx.

1. Montrer que R∞ 0

sin(x)

x dx converge et que R∞ 0

sin(x) x

dx diverge.

2. Montrer que la fonction f définie sur [0, π/2] par

f(x) =





 1

x − 1

sin(x) si x∈]0, π/2]

0 si x= 0

est de classe C¹. En déduire que lim

n→∞

Rπ/2 0

1

x − 1 sin(x)

sin(nx)dx= 0.

3. On pose pour tout n ∈N, on pose Jn :=

Z π/2 0

sin ((2n+ 1)x) sin(x) dx.

Calculer J₀ etJ_n+1−J_n, puis déduire la valeur deJ_n pour tout n∈N. 4. En déduire de ce qui précède la valeur de I.

Exercice E.Soit r ∈]0,+∞[. Notre objectif c’est d’étudier la nature de intégrale I_r=

Z ∞ 0

1

1 +x^2rsin²(x)dx.

1. En utilisant la comparaison suite intégrale donner selon les valeurs du paramètre r la nature de la suite(S_n)n∈N définie par :

S_n=

n−1

X

k=0

1 p1 + (kπ)^2r.

2. Calculer en fonction de α∈]0,+∞[ l’intégale J_α =

Z π 0

1

1 +αsin²(x)dx

3. Etudier selon les valeurs du paramètre r la nature de intégrale I_r. Indication : on pourra encadrer chacune des intégrales R(n+1)π

nπ

1

1 +x^2rsin²(x)dx par des intégales de typeJ_α, puis utiliser les résultats de cours sur la comparaison suite intégrale.

Exercice F. Soit a est un paramètre réel. Déterminer les solutions de l’équation différen- tielle y⁰ −e^xe^y =a en précisant soigneusement leurs intervalles de définition, poura ∈ {0,1}.

3

Indication : faire le changement de fonction inconnue z(x) = x+y(x).

Exercice G. Résoudre l’équation différentielle suivante :y⁰ = ^y_x −^x_y2². Indication : poser z(x) = y(x)

x .

Exercice H. Soit a ∈]0,+∞[ et f :R →R de classe C¹ telle que lim

x→+∞f⁰(x) +af(x) =l pour un certain l ∈R. Montrer que lim

x→+∞f⁰(x) +af(x) = _a^l.

Indication : poser g(x) =f⁰(x) +af(x)et exprimer f en fonction deg.

Exercice I. Déterminer les solutions maximales de l’équation différentielle 2(x−x²)y⁰+ (1−x)y= 1.

Exercice J.Chercher toutes les fonctions dérivablesf : ]0,+∞[→Rtelles quef⁰(x) =f(_x¹).

Indication : on pourra remarquer que f vérfie une équation d’Euler de degré 2 (voir le cours pour ce genre d’équation).