Indication : on utilisera une comparaison à une intégrale.

PanaMaths Novembre 2011

Donner un équivalent de :

2 1 n

1

k n_{= +}

∑ k

Indication : on utilisera une comparaison à une intégrale.

Analyse

Le théorème de comparaison à une intégrale permet d’exploiter classiquement la convergence d’une certaine série.

Résolution

Considérons la fonction f définie sur

[

^{1;+ ∞}

[

^{par f x: 1}

x .

Elle y est continue comme inverse d’une fonction continue sur cet intervalle.

Comme la fonction racine carrée prend des valeurs strictement positives sur l’intervalle

[

^{1;+ ∞}

[

, il en va de même pour la fonction f.

Enfin, la fonction f est strictement décroissante sur l’intervalle

[

^{1;+ ∞}

[

comme composée de la fonction x x à valeurs dans

[

^{1;+ ∞}

[

strictement croissante et de la fonction inverse strictement décroissante sur ^*₊ et donc sur cet intervalle.

La série de terme général 1

n diverge (série de Riemann divergente). Plus précisément, on a :

1

lim 1

n n^→+∞k= k

∑

= +∞

Le théorème de comparaison à une intégrale nous permet d’affirmer que la série de terme général

1

1

n n

dx

x n

− −

∫

converge. Notons S sa somme.

Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2, la somme partielle S_n s’écrit :

1 1 1

2 2 2 2

1 1 1

S

n k n k n n n

n k k

k k k k

dx dx dx

x k x k x k

− −

= = = =

⎛ ⎞

=

∑

⎜⎝

∫

− ⎟⎠=

∑ ∫

−

∑

=

∫

−

∑

PanaMaths Novembre 2011

On a alors :

( )

( )

( ) ( )

2 2

2 1 1

2 2

2 2

1 2 2

1 2

1 2

1 2

1

1 1

S S

1

2 1

2 2 1

2 2 1 1

1

2 2 1 1

2 2 1

n n

n n

n n

k k

n n

n k n

n n

n k n

n

k n n

k n n

k n

dx dx

x k x k

dx

x k

x k

n n

k

n k

n k

n

= =

= +

= +

= +

= +

= +

⎛ ⎞

− = − −⎜⎝ − ⎟⎠

= −

⎡ ⎤

=⎣ ⎦ −

= − −

= − −

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎜ ⎟

= − −

⎜ − ⎟

⎜ ⎟

⎝ ⎠

∑ ∑

∫ ∫

∫ ∑

∑

∑

∑

∑

Comme lim S_n lim S_2n S

x→+∞ =x→+∞ = , on a : lim S

(

2_n S_n

)

0

x→+∞ − = .

Comme _n^{lim 2}_→+∞^⎡_⎣

(

^{2 1−}

)

^n⎤_⎦^{= +∞} alors on a nécessairement :

( )

2

1

1

lim 1 0

2 2 1

n

k n n

k n

= +

→+∞

⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎢ − ⎥=

⎢ − ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

∑

,

c'est-à-dire :

( )

2

1

1

lim 1

2 2 1

n

k n n

k n

= +

→+∞

⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎢ ⎥ =

⎢ − ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

∑

. Finalement :

( )

2

1

1 2 2 1

n

k n

n k ^+∞

= +

∑

^∼ −

Résultat final

( )

2

1

1 2 2 1

n

k n

n k ^+∞

= +

∑

^∼ −