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Indication 1 1. On pourra utiliser la variante de l’in´ egalit´ e triangulaire |x−y| > | |x|−|y| |.

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(1)

Pierre-Louis CAYREL 2008-2009 Licence 2 cours de Calcul Diff´ erentiel

Universit´ e de Paris 8 Feuille n

◦

2bis

Continuit´ e

Indication 1 1. On pourra utiliser la variante de l’in´ egalit´ e triangulaire |x−y| > | |x|−|y| |.

2. Utiliser la premi` ere question pour montrer que |f − g| est continue.

Indication 2 Ce n’est pas tr` es dur mais il y a quand mˆ eme quelque chose ` a d´ emontrer : ce n’est pas parce que f(x) vaut +1 ou −1 que la fonction est constante. Raisonner par l’absurde et utiliser le th´ eor` eme des valeurs interm´ ediaires.

Indication 3 Il faut raisonner en deux temps : d’abord ´ ecrire la d´ efition de la limite en +∞, en fixant par exemple ε = 1, cela donne une borne sur [A, +∞]. Puis travailler sur [0, A].

Indication 4 Montrer que c = sup E est un point fixe. Pour cela montrer que f(c) 6 c puis f (c) > c.

Indication 6 Non, trouver un contre-exemple.

Indication 8 Le seul probl` eme est en x = 0. Montrer que la fonction est bien continue en ce point.

Indication 9 Oui pour le deux premi` eres en posant f (0) = 0, non pour la troisi` eme.

Indication 10 Pour x fix´ e ´ etudier la suite f (

21n

x).

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