29.3 La formule de Taylor Young

Développements limités

Sommaire

29.1 Définition . . . 293

29.2 Propriétés . . . 294

29.3 La formule de Taylor Young . . . 294

29.4 Développements limités usuels . . . 295

29.5 Opérations sur les DL. . . 296

29.6 Application : calcul de limite . . . 297

Dans ce chapitre, nous allons apprendre à écrire le développement limité d’une fonction en un point.

Cette notion permet de lever encore plus de formes indéterminées que les équivalents vus dans le chapitre précédent. Nous verrons également un nouvelle formule de Taylor, en lien direct avec les développements limités.

29.1 Définition

L’idée d’un développement limité est de pouvoir approcher une fonction au voisinage d’un point par un polynôme.

Soientx₀∈R,Iun intervalle contenant x₀etf une fonction définie surI (ouI\{x₀}). On dit quef possède un développement limité à l’ordrenau voisinage dex0s’il existe des coefficients (a0, a1, . . . , an)∈Rⁿ⁺¹ tels que, au voisinage de 0,

f(x) =

x₀a0+a1(x−x0)+a2(x−x0)²+· · ·+an(x−x0)ⁿ+o((x−x0)ⁿ) =

x₀ n

X

k=0

ak(x−x0)^k+o((x−x0)ⁿ).

Si tel est le cas, alors P(x) =

n

X

k=0

ak(x−x0)^k est appelé partie régulière du développement limité etf(x)−P(x)est appeléreste du développement limité.

Usuellement, on écritDLn(x0).

Définition 29.1 (DL à l’ordre n en x0)

CHAPITRE 29. DÉVELOPPEMENTS LIMITÉS

Dans l’écrituref(x) =a₀+a₁(x−x₀) +a₂(x−x₀)²+· · ·+a_n(x−x₀)ⁿ+o((x−x₀)ⁿ), chaque terme de la somme est négligeable devant celui qui le précède.

Remarque 29.1

Un développement limité est local : c’est à dire qu’il ne donne de l’information que sur le comportement def autour du pointx₀.

Remarque 29.2

Exemple 29.1. 1. La fonction définie parf(x) = 1 + 2x−3x²+x²sin(x)possède unDL2(0): f(x) =

0 1 + 2x−3x²+o(x²).

2. Si f est dérivable en x0, avec f⁰(x0) 6= 0 alors f admet un DL1(x0) car on a vu au chapitre précédent que

f(x)−f(x0)∼

x0

f⁰(x0)(x−x0).

Exercice 29.1. Montrer quex7→ _1−x¹ admet unDL_n(0)pour toutn∈N.

29.2 Propriétés

Nous avons déjà remarqué plus haut la première propriété.

Si f possède unDLn(x0)alorsf possède un DLk(x0)pour toutk∈J0, nK.

Propriété 29.1 (Troncature)

La propriété qui suit est la plus importante, elle sert souvent dans les exercices théoriques.

Si f possède unDLn(x0), alors ce développement limité estunique.

Propriété 29.2 (Unicité)

Exercice 29.2. Soitf une fonction paire admettant unDL_n(0). Montrer que tous les termesa_k de la partie régulière du DLsont nuls pourkimpair.

29.3 La formule de Taylor Young

Nous venons de voir que lorsque le DLexiste, il est unique. La question principale est donc de savoir à quelle condition il existe. La formule de Taylor Young donne une condition suffisante sur une fonction pour qu’elle admette desDL en un pointx0. Elle donne également le lien entre les coefficients des DL et les dérivées successives def enx0.

Soitf ∈ Cⁿ(I)avecI un intervalle réel. Pour touta∈I, on a, au voisinage dea: f(x) =f(a) + (x−a)f⁰(a) +(x−a)²

2! f⁰⁰(a) +· · ·+(x−a)ⁿ

n! f⁽ⁿ⁾(a) +o((x−a)ⁿ).

Théorème 29.1

Soient f :I→Rune fonction de classeCⁿ surI etx0∈I, alorsf admet un DLn(x0). Corollaire 1

29.4 Développements limités usuels

La formule de Taylor Lagrange, appliquée aux fonctions usuelles régulières, fournit les développements limités usuels. Il faut les connaître par coeur et les utiliser sans les redémontrer.

Pour toutn∈Net au voisinage de 0, on a : 1. e^x= 1 +x+^x_2!² +^x_3!³ +· · ·+^x_n!ⁿ +o(xⁿ),

2. ln(1 +x) =x−^x₂² +^x₃³ −^x₄⁴ +· · ·+ (−1)^n−1x_nⁿ+o(xⁿ), 3. sin(x) =x−^x_3!³ +^x_5!⁵ +· · ·+ (−1)^{n x}_(2n+1)!²ⁿ⁺¹ +o(x²ⁿ⁺²), 4. cos(x) = 1−^x_2!²+^x_4!⁴ +· · ·+ (−1)^{n x}_(2n)!²ⁿ +o(x²ⁿ⁺¹), 5. (1 +x)^α= 1 +αx+· · ·+α(α−1)...(α−n+1)

n! xⁿ+o(xⁿ), 6. _1+x¹ = 1−x+x²−x³+· · ·+ (−1)ⁿxⁿ+o(xⁿ), 7. _1−x¹ = 1 +x+x²+x³+· · ·+xⁿ+o(xⁿ). Théorème 29.2 (DL usuels)

Exercice 29.3. Ecrire les DL demandés dans chaque cas : 1. x7→sin(x)en0 à l’ordre 4,

2. x7→√

1 +xen0à l’ordre 3, 3. x7→ _1+x¹ en0 à l’ordre 4, 4. x7→exp(2x)en0 à l’ordre 2, 5. x7→ _1+x¹2 en0 à l’ordre 5, 6. x7→cos

x² 2

en0 à l’ordre 5.

7. x7→ _5−3x¹ en0 à l’ordre 2.

8. x7→ln(2 +x)en0 à l’ordre 3.

CHAPITRE 29. DÉVELOPPEMENTS LIMITÉS

Lorsqu’on me demande de calculer un DL en 0 d’une fonction très proche d’une fonction usuelle, jetransforme l’expression pour me ramener à une fonction usuelle, quitte à considérer un petit changement de variable.

Par exemple cos

x² 2

= cos(X)avec X = ^x₂² qui tend bien vers 0 lorsque xtend vers 0, ou encoreln(2 +x) = ln(2) + ln(1 +^x₂) = ln(2) + ln(1 +X)avecX = ^x₂ qui tend vers0lorsquex tend vers 0.

Méthode 29.1 (Calculer un DL)

On peut toujours se ramener à unDL_n(0)en effectuant le changement de variableh=x−x₀. Remarque 29.3

Exercice 29.4. Ecrire les DL demandés dans chaque cas : 1. x7→ln(x)en1 à l’ordre 2,

2. x7→(2 +x)^αen−1à l’ordre 2.

3. x7→exp(x)en1à l’ordre 2.

Pour effectuer un DL en un point x₀ différent de0: 1. je pose le changement de variableh=x−x0, 2. je remplace lesxpar desh+x0 dans l’expression, 3. je fais mon calcul en 0 comme d’habitude,

4. je retransforme leshenx−x0pour conclure.

Méthode 29.2 (Calculer un DL en dehors de 0)

29.5 Opérations sur les DL

Nous avons vu dans la partie précédente qu’on pouvait trouver un DL en calculant les dérivées successives d’une fonction assez régulière. En pratique, il est souvent plus rapide d’utiliser les opérations sur les DL pour conclure. Voyons ce qu’il est autorisé de faire.

Soient f et g deux fonctions admettant unDL_n(0) de parties régulières respectives P et Q. On a :

1. f+g admet unDLn(0)de partie régulièreP+Q.

2. f g admet unDLn(0)de partie régulièreRoùRest le polynôme obtenu en ne gardant dans le produitP Q que les termes de degré inférieur ou égal àn.

Propriété 29.3 (Opérations sur les DL)

Exercice 29.5. 1. Donner DL₃(0)dex7→cos(x) + sin(x). 2. DonnerDL₃(0)dex7→ _1−x^ex .

3. DonnerDL3(0)dex7→ln(1 +x)e^x.

Lorsque je dois écrire le DL d’une fonction plus complexes qui dépend de fonctions usuelles : 1. j’écris le DL de chaque fonction usuelle en réfléchissant à l’ordre (j’essaie d’anticiper

les simplifications et les produits ou divisions mais je fais attention à ne pas oublier de termes!).

2. je remplace les expressions par les DLsans oublier les petitso!

3. je simplifie les calculs au maximum (et j’enlève les termes de degré supérieur à l’ordre considéré s’il y en a).

Méthode 29.3 (Calcul de DL plus complexes)

29.6 Application : calcul de limite

Lorsqu’on chercher à calculer des limites, il est très courant de tomber sur des formes indéterminées. Nous avons déjà vu plusieurs manières de lever ces formes indéterminées : croissances comparées, quantités conjuguées, équivalents, ... Cependant, dans de nombreux cas, ces techniques ne sont pas suffisantes.

Pour régler le problème, les DL sont alors un outil très puissant car nous pouvons les écrire à l’ordre nécessaire pour faire disparaître les compensations !

Exemple 29.2. Prenons l’exemple suivant :

x→0lim

xsin(x) + 2 cos(x)−2

x⁴ .

1. La première chose à faire est de regarder si la limite ne tombe pas directement. Ici, ce n’est pas le cas, on a une FI de la forme0/0.

2. On pense alors à essayer de régler le problème avec des équivalents. Le dénominateur a déjà une forme simple. Voyons ce qu’il est possible de faire avec le numérateur :

xsin(x) + 2 cos(x)−2 =xsin(x) + 2(cos(x)−1) =x²+o(x²)−2x²

2 +o(x²) =o(x²).

Malheureusement, les termes des équivalents se sont annulés et nous ne pouvons pas conclure.

3. Le point précédent montre que l’ordre 2 n’est pas suffisant pour régler le problème. Il va donc falloir écrire un DL à un ordre strictement plus grand que 2 pour conclure ! A vous de jouer !

Pour calculer une limite, j’ai maintenant beaucoup de méthodes disponibles. J’essaie de réfléchir à celle qui prendra le moins de temps possible. Par ordre, on essayera :

1. de conclure directement (s’il n’y a pas de FI)

2. d’enlever la FI via une limite usuelle (nombre dérivé, croissances comparées, ...) ou une technique usuelle (quantité conjuguée, ...).

3. de conclure en utilisant (proprement !) les équivalents (attention aux sommes !).

4. de conclure en écrivant des DL à l’ordre suffisant pour supprimer le problème.

Méthode 29.4 (Calculer une limite)