I. Familles de vecteurs . . . . 1

Dimension des espaces vectoriels

Rédaction incomplète. Version 0.5

le 28 février 2020

Plan

I. Familles de vecteurs . . . . 1

1. Vocabulaire . . . . 1

2. Familles génératrices . . . . 1

3. Familles libres ou liées . . . . 2

4. Bases . . . . 4

II. Dimension d'un espace vectoriel. . . . 5

1. Condition susante de dépendance . . . . 5

2. Dénition d'un espace de dimension nie. Existence d'une base. . . . . 6

3. Dimension. . . . 6

4. Théorème de la base incomplète . . . . 7

III. Dimension d'un sous-espace vectoriel . . . . 7

1. Dimension. . . . 7

2. Propriétés . . . . 7

3. Dimension d'une somme. Supplémentaires . . . . 8

IV. Suites vériant une relation de récurrence linéaire . . . . 9

Index

base d'un produit d'espaces vectoriels, 4 canonique, 1

dimension d'un espace vectoriel, 6 espace vectoriel de dimension nie, 6

existence d'une base dans un espace de dimen- sion nie, 6

famille extraite, 1 famille génératrice, 1 famille liée, 2

famille libre, 2

formule de Grassmann, 8 lemme d'échange, 5 lemme de Steiniz, 5

méthode du pivot de Gauss, 5 rang d'une famille de vecteurs, 7 symbole de Kronecker, 1

théorème de la base incomplète, 7

Le cours d'algèbre linéaire (hors calcul matriciel) est réparti sur trois documents : Espaces vectoriels (sans dimension), Dimensions des espaces vectoriels (ce texte) et Applications linéaires.

I. Familles de vecteurs

1. Vocabulaire

Dénition. Pour un ensemble particulier muni d'une structure, un objet est dit canonique lorsqu'il peut être déni à partir de la dénition spécique de l'ensemble considéré.

Par exemple, dans le K -espace vectoriel K

ⁿ

, on peut considérer la base canonique. Elle se dénit à partir de ce qu'est K

ⁿ

c'est à dire un ensemble de n -uplets. Cela n'a aucun sens de parler de base canonique pour un espace vectoriel quelconque. En revanche,on peut aussi appeler canonique la base (1, X, · · · , X

ⁿ

) de K

n

[X] . Lorsque ce n'est pas précisé les familles sont formées de vecteurs d'un K -espace vectoriel E . On considère ici seulement de familles nies.

Dénition. Soit F = (x

1

, x

2

, · · · , x

p

) une famille de vecteurs de E .

On dira qu'une famille (y

1

, · · · , y

q

) est extraite de F si et seulement si il existe une application injective ϕ de J 1, q K dans {1, · · · , p} telle que,

∀i ∈ J 1, q K , y

_i

= x

_ϕ(i)

On dira que F contient un vecteur x si et seulement si il existe un j ∈ {1, · · · , p} tel que x = x

_j

.

On dira qu'une famille (y

1

, · · · , y

p

) est obtenue par permutation à partir de F si et seulement si il existe une application bijective ϕ de {1, · · · , p} dans {1, · · · , p} telle que,

∀i ∈ J 1, q K , y

_i

= x

_ϕ(i)

Remarque. On peut reformuler (y

₁

, · · · , y

_q

) est une famille extraite de (x

₁

, · · · x

_p

) de la manière suivante :

∀i ∈ J 1, q K , ∃j

_i

∈ J 1, p K tq y

_i

= x

_ij

avec les (i

₁

, · · · , i

_q

) deux à deux distincts.

Dénition (symbole de Kronecker). Pour i et j des objets quelconques, δ

i,j

est déni par :

δ

i,j

=



 

 

0 si i 6= j 1 si i = j

Remarque. Soit A une partie de E à p éléments. On peut former p! familles de p vecteurs deux à deux distincts avec les éléments de A . Ces familles s'obtiennent par permutation à partir de l'une quelconque d'entre elles. Inversement à partir d'une famille dont les éléments sont deux à deux distincts, on peut former une unique partie à p éléments.

2. Familles génératrices

Dénition. Une famille (a

1

, a

2

, · · · , a

p

) de vecteurs d'un K -espace vectoriel E est génératrice (ou engendre E ) lorsque E = Vect(a

1

, a

2

, · · · , a

p

)

Exemples. 1. La famille canonique de K

^p

engendre K

^p

.

2. Toute famille de vecteurs est génératrice du sous-espace vectoriel qu'elle engendre.

Proposition 1. On ne change pas le caractère générateur d'une famille en permutant ses vecteurs.

On peut donc parler de partie génératrice.

Proposition 2. Soit (a

₁

, a

₂

, · · · , a

_p

) une famille extraite de (b

₁

, b

₂

, · · · , b

_q

) : (a

1

, a

2

, · · · , a

p

) génératrice ⇒ (b

1

, b

2

, · · · , b

p

) génératrice

Proposition 3. Soit (a

1

, a

2

, · · · , a

p

) une famille génératrice et (b

1

, b

2

, · · · , b

q

) une famille telle que

∀i ∈ J 1, p K , a

i

∈ Vect(b

1

, b

2

, · · · , b

q

) alors (b

1

, b

2

, · · · , b

q

) est génératrice.

Cette proposition est utile en pratique. Pour montrer qu'une famille (b

1

, b

2

, · · · , b

q

) est génératrice, on exprime en fonction des b

_i

les vecteurs d'une famille dont on sait qu'elle est génératrice.

Exemple. Dans K

³

, la famille canonique (e

₁

, e

₂

, e

₃

) est génératrice. On considère trois vecteurs u = (1, 2, 3) = e

₁

+ 2e

₂

+ 3e

₃

v = (0, 2, 3) = 2e

2

+ 3e

3

w = (1, 1, 1) = e

1

+ e

2

+ e

3

On exprime facilement les e

i

en fonction de u , v , w . e

1

= u − v

e

₂

+ e

₃

= w − e

₁

= −u + v + w 2e

2

+ 3e

3

= v

e

3

= v − 2(e

2

+ e

3

) = 2u − v − 2w

e

2

= −u + v + w − e

3

= −3u + 2v + 3w

On en déduit que (u, v, w) est génératrice.

3. Familles libres ou liées

Dénition. Une famille est liée lorsqu'il existe une relation linéaire entre ses vecteurs. Une famille est libre si et seulement si elle n'est pas liée.

Caractérisations :

Proposition 4. Une famille (a

1

, · · · , a

p

) est liée si et seulement si :

∃(λ

1

, · · · , λ

p

) ∈ K

^p

, (λ

1

, · · · , λ

p

) 6= (0

K

, · · · , 0

K

) tel que : λ

1

a

1

+ · · · + λ

p

a

p

= 0

E

Proposition 5. Une famille (a

₁

, · · · , a

_p

) est libre si et seulement si :

∀(λ

1

, · · · , λ

_p

) ∈ K

^p

: λ

₁

a

₁

+ · · · + λ

_p

a

_p

= 0

_E

⇒ (λ

₁

, · · · , λ

_p

) = (0

_K

, · · · , 0

_K

)

Exemple. On se place dans l'espace des fonctions de R dans R. On se donne p nombres réels c

1

< c

2

< · · · < c

p

et les vecteurs (fonctions) e

1

, e

2

, ..., , e

p

dénies par :

∀t ∈ R : e

i

(t) = e

^cit

Montrons que la famille (e

1

, e

2

, · · · , e

p

) est libre. On considère des réels λ

1

, · · · , λ

p

tels que : λ

1

e

1

+ λ

2

e

2

+ · · · λ

p

e

p

= fonction nulle

Il s'agit d'une relation fonctionnelle qui se traduit par une famille de relations numériques :

∀t ∈ R : λ

1

e

^c1t

+ λ

2

e

^c2t

+ · · · + λ

p

e

^cpt

= 0 On peut diviser par e

^cpt

∀t ∈ R : λ

1

e

^(c1−cp)t

+ λ

2

e

^(c2−cp)t

+ · · · + λ

_p−1

e

^{(cp−1−cp)t}

+ λ

p

= 0

Puis considérer la limite en +∞ , ce qui conduit à λ

p

= 0 . On peut reprendre ensuite le même raisonnement avec p − 1 et montrer que tous les coecients sont nuls.

Proposition 6. Une famille (a) constituée d'un seul vecteur est libre si et seulement si a 6= 0

E

.

Preuve. Une famille (a) constituée du seul vecteur nul est liée car 1 a est une relation linéaire donc (a) libre entraine a 6= 0

E

.

Réciproquement, on a vu que λa = O

E

avec a 6= 0

E

entraine λ = 0 ce qui traduit exactement (a) libre.

Proposition 7. On ne change pas le caractère libre ou lié d'une famille en permutant ses vecteurs.

On peut donc parler de parties libres ou liées.

Proposition 8. Soit A = (a

₁

, a

₂

, · · · , a

_q

) une famille extraite de B = (b

₁

, b

₂

, · · · , b

_p

) : A liée ⇒ B liée B libre ⇒ A libre

Preuve. Par dénition d'une famille extraite, il existe (j

1

, · · · j

q

) deux à deux distincts tels que a

i

= b

j_i

. À partir d'une relation linéaire entre les a

i

, on forme une relation linéaire entre les b

j

q

X

i=1

λ

i

a

i

= 0

E

⇒

q

X

j=1

µ

j

b

j

= 0

E

avec µ

j

=

( λ

i

si ∃i tq j = j

i

0 sinon Comme certains des λ

_i

sont non nuls, certains des µ

_j

aussi.

La deuxième implication est la simple contraposée de la première.

Proposition 9. Une famille (a

1

, a

2

, · · · , a

p

) qui contient le vecteur nul (c'est à dire qu'il existe un i tel que a

i

= 0

E

) est liée.

On pourrait dire aussi une famille qui prend la valeur 0

_E

Preuve. Supposons a

i

= 0

E

. Considérons la famille presque nulle (λ

1

, · · · , λ

p

) : tous les λ

j

sont nuls sauf λ

i

qui est égal à 1 . Alors P

p

j=1

λ

j

a

j

est une relation linéaire.

Proposition 10. Une famille (a

1

, a

2

, · · · , a

p

) qui contient deux fois le même vecteur (c'est à dire qu'il existe i et j distincts tel que a

i

= a

j

) est liée.

On pourrait dire aussi une famille qui prend deux fois la même valeur.

Preuve. On considère encore une famille presque nulle (λ

₁

, · · · , λ

_p

) : tous les λ sont nuls sauf λ

_i

et λ

_j

qui sont non nuls et opposés. Alors P

p

j=1

λ

_j

a

_j

est une relation linéaire.

Proposition 11. Une famille est liée si et seulement si un de ses vecteurs est combinaison linéaire des autres.

Preuve. Si un vecteur est combinaison linéaire des autres, on peut obtenir une relation linéaire a

i

= X

j6=i

λ

j

a

j

⇒ 0

E

= X

j

λ

j

a

j

avec λ

i

= −1 6= 0

Si la famille est liée, il existe une relation linéaire avec un coecient λ

_i

non nul. On peut exprimer le vecteur associé

X

j

λ

_j

a

_j

= 0

_E

⇒ a

_i

= X

j6=i

− λ

_j

λ

i

a

_j

Proposition 12. Soit (a

₁

, a

₂

, · · · , a

_p

) une famille libre et x un vecteur quelconque de E . (a

₁

, a

₂

, · · · , a

_p

, x) liée ⇔ x ∈ Vect(a

₁

, a

₂

, · · · , a

_p

)

Preuve. Supposons (a

₁

, a

₂

, · · · , a

_p

, x) liée. Il existe (λ

₁

, λ

₂

, · · · , λ

_p

, λ) 6= (0, · · · 0) tel que

p

X

j=1

λ

_j

a

_j

+ λx = 0

_E

Si λ était nul, un des autres λ

i

serait non nul et P

p

j=1

λ

j

a

j

constituerai une relation entre les a

i

en contradiction avec l'hypothèse. Ainsi λ 6= 0 et on peut exprimer x comme combinaison linaire des a

i

.

x = −

p

X

j=1

λ

_j

λ a

j

Réciproquement, si x est dans le sous-espace engendré alors (a

₁

, a

₂

, · · · , a

_p

, x) est liée d'après la proposition 11.

4. Bases

Rappelons les dénitions et premiers résultats présentés dans Espaces vectoriels (sans dimension).

Une base est une famille libre et génératrice.

Exemple. La base canonique de K

ⁿ

est la famille

((1, 0, · · · , 0), (0, 1, 0 · · · , 0), · · · , (0, · · · , 0, 1))

On peut caractériser une famille comme étant une base par le fait que tout vecteur de l'espace se décompose de manière unique comme une combinaison linéaire de la famille. Ceci permet de dénir le système de fonctions coordonnées associé à une base.

Soit (a

1

, a

2

, · · · , a

p

) une base d'un K -espace vectoriel E . La famille des fonctions coordonnées attachée à cette base est la famille de fonctions à valeurs scalaires (α

1

, · · · , α

p

) dénie par

∀x ∈ E, x =

p

X

k=1

α

_k

(x)a

_k

Remarque. Une base et sa famille de fonctions coordonnées vérient les relations

∀(i, j) ∈ {1, · · · , p}

²

: α

_i

(a

_j

) = δ

_i,j

Attention les coordonnées dépendent de la famille et non des vecteurs.

Exemple. Soit (a

1

, a

2

, a

3

) une base d'un K -espace vectoriel E . On considère trois autres vecteurs :

a

⁰₁

= a

1

a

⁰₂

= a

2

a

⁰₃

= a

2

+ a

3

On montre que (a

⁰₁

, a

⁰₂

, a

⁰₃

) est génératrice en exprimant a

1

, a

2

, a

3

en fonction de a

⁰₁

, a

⁰₂

, a

⁰₃

. a

1

= a

⁰₁

a

2

= a

⁰₂

a

3

= −a

⁰₂

+ a

⁰₃

Pour montrer que (a

⁰₁

, a

⁰₂

, a

⁰₃

) est libre, on considère une combinaison nulle :

0

E

= λ

1

a

⁰₁

+ λ

2

a

⁰₂

+ λ

3

a

⁰₃

= λ

1

a

1

+ (λ

2

+ λ

3

)a

2

+ λ

3

a

3

⇒ 0

K

= λ

1

= λ

2

+ λ

3

= λ

3

⇒ 0

K

= λ

1

= λ

2

= λ

3

La famille (a

⁰₁

, a

⁰₂

, a

⁰₃

) est donc une base. L'expression des a en fonction des a

⁰

conduit facilement à : (α

1

(x), α

2

(x), α

3

(x)) coordonnées de x relativement à (a

1

, a

2

, a

3

)

(α

₁

(x), α

₂

(x) − α

₃

(x), α

₃

(x)) coordonnées de x relativement à (a

₁

, a

₂

, a

₂

+ a

₃

) La deuxième coordonnée a changé bien que le deuxième vecteur soit le même.

Proposition 13 (base d'un produit). Soit (a

₁

, · · · , a

_p

) une base d'un K -espace vectoriel E , soit (b

₁

, · · · , b

_q

) une base d'un K -espace vectoriel F . La famille

((a

₁

, 0

_F

), (a

₂

, 0

_F

), · · · , (a

_p

, 0

_F

), (0

_E

, b

₁

), (0

_E

, b

₂

), · · · , (0

_E

, b

_q

)) est une base de E × F .

Preuve. Montrons que la famille est libre.

∀(λ

1

, · · · , λ

_p

, µ

₁

, · · · , µ

_q

), λ

₁

(a

₁

, 0

_F

) + · · · + λ

_p

(a

_p

, 0

_F

) + µ

₁

(0

_E

, b1) + · · · + µ

_q

(0

_E

, bq) = (0

_E

, 0

_F

)

⇒





p

X

i=1

λ

i

a

i

,

q

X

j=1

µ

j

b

j



 = (0

E

, 0

F

) ⇒



 

 



 

 



p

X

i=1

λ

_i

a

_i

=0

_E

q

X

j=1

µ

j

b

j

=0

F

⇒

( λ

1

= · · · = λ

p

= 0

K

µ

1

= · · · = µ

p

= 0

K

car les deux familles sont libres.

Montrons que la famille est génératrice. Pour tout (a, b) ∈ E × F , comme les familles sont génératrices, il existe (λ

1

, · · · , λ

p

) et (µ

1

, · · · , µ

q

) tels que

a =

p

X

i=1

λ

i

a

i

b =

q

X

j=1

µ

_j

b

_j



 

 



 

 



⇒ (a, b) =

p

X

i=1

λ

i

(a

i

, 0

F

) +

q

X

j=1

µ

j

(0

E

, b

j

)

II. Dimension d'un espace vectoriel

1. Condition susante de dépendance

La proposition suivante joue un rôle capital dans les raisonnements suivants.

Proposition 14. Soit (a

₁

, a

₂

, · · · , a

_p

) une famille de vecteurs d'un K -espace vectoriel E ( p est un entier naturel non nul). Toute famille de p + 1 vecteurs de Vect(a

₁

, a

₂

, · · · , a

_p

) est liée

¹

.

Preuve. Pour tout entier p ≥ 1 , on note P

p

la propriété à démontrer.

P

p

: toute famille de p + 1 vecteurs de Vect(a

1

, a

2

, · · · , a

p

) est liée.

Démontrons cette propriété par récurrence.

1ce résultat est aussi connu sous le nom de lemme d'échange ou de lemme de Steiniz.

Preuve de P

1

.

Considérons une famille (b

1

, b

2

) de deux vecteurs de Vect(a

1

) . Il existe des scalaires λ

1

et λ

2

tels que b

1

= λ

1

a

1

, b

₂

= λ

₂

a

₂

. Alors :

λ

₂

b

₁

− λ

₁

b

₂

= 0

_E

Si un des scalaires est non nul, la famille est liée. Si les deux scalaires sont nuls, les deux vecteurs de la famille sont nuls. La famille est donc encore liée.

Preuve de P

_p−1

⇒ P

p

.

Soit (b

1

, · · · , b

p

, b

p+1

) une famille de vecteurs de Vect(a

1

, · · · , a

p

) . Écrivons les décompositions : b

1

= λ

1,1

a

1

+ · · · + λ

1,p

a

p

b

₂

= λ

_2,1

a

₁

+ · · · + λ

_2,p

a

_p

...

b

p

= λ

p,1

a

1

+ · · · + λ

p,p

a

p

b

p+1

= λ

p+1,1

a

1

+ · · · + λ

p+1,p

a

p

Si tous les coecients de la dernière colonne sont nuls, c'est à dire si λ

_1,p

= λ

_2,p

= · · · = λ

_p+1,p

= 0

_K

Les vecteurs b

₁

, · · · , b

_p+1

sont alors tous dans Vect(a

_,

· · · , a

_p−1

) . D'après P

p−1

, la famille b

₁

, · · · , b

_p

est liée donc b

₁

, · · · , b

_p+1

(dont elle est extraite) est également liée.

Supposons maintenant qu'il existe un i entre 1 et p + 1 tel que λ

_i,p

6= 0

En permutant les vecteurs b

1

, · · · , b

p+1

, on peut supposer que i = p + 1 . Soit λ

p+1,p

6= 0

On utilise alors un procédé qui s'apparente à la méthode du pivot de Gauss. On forme p vecteurs c

1

= b

1

− λ

1,p

λ

_p+1,p

b

p+1

= (λ

1,1

− λ

1,p

λ

_p+1,p

λ

p+1,1

)a

1

+ · · · + (λ

_1,p−1

− λ

1,p

λ

_p+1,p

λ

_p+1,p−1

)a

_p−1

+ (0

K

)a

p

c

2

= b

2

− λ

2,p

λ

_p+1,p

b

p+1

= (λ

2,1

− λ

2,p

λ

_p+1,p

λ

p+1,1

)a

1

+ · · · + (λ

_2,p−1

− λ

2,p

λ

_p+1,p

λ

_p+1,p−1

)a

_p−1

+ (0

K

)a

p

...

c

p

= b

p

− λ

p,p

λ

p+1,p

b

p+1

= (λ

p,1

− λ

1,p

λ

p+1,p

λ

p+1,1

)a

1

+ · · · + (λ

_p,p−1

− λ

p,p

λ

p+1,p

λ

_p+1,p−1

)a

_p−1

+ (0

K

)a

p

Comme ces p vecteurs sont tous dans Vect(a

₁

, · · · , a

_p−1

) , ils forment (d'après P

_p−1

) une famille libre.

∃(µ

1

, · · · , µ

_p

) 6= (0

K

, · · · , 0

_K

) tel que µ

₁

c

₁

+ · · · + µ

_p

c

_p

= 0

_E

Exprimons une relation entre les b en remplaçant les c :

µ

1

b

1

+ µ

2

b

2

+ · · · + µ

p

b

p

+ scalairecompliqué b

p+1

= 0

E

Peu importe que scalairecompliqué soit 0

K

ou non :

(µ

1

, · · · , µ

p

) 6= (0

K

, · · · , 0

K

) ⇒ (µ

1

, · · · , µ

p

, scalairecompliqué ) 6= (0

K

, · · · , 0

K

) Ce qui prouve que (b

₁

, · · · , b

_p+1

) est liée.

Exemple (Conséquences de la condition susante de dépendance). Soit (u

1

, · · · , u

p

) et (v

1

, · · · , v

q

) deux familles de vecteurs.

(v

₁

, · · · , v

_q

) génératrice q < p

)

⇒ (u

1

, · · · , u

p

) liée. , (u

₁

, · · · , u

_p

) libre (v

1

, · · · , v

q

) génératrice

)

⇒ p ≤ q.

2. Dénition d'un espace de dimension nie. Existence d'une base.

Dénition. On dit qu'un espace vectoriel est de dimension nie lorsqu'il admet une famille génératrice nie.

Remarque. Pour le moment, la notion de dimension n'est pas dénie. Elle le sera à la section suivante.

Proposition 15. Un espace vectoriel de dimension nie admet des bases.

Preuve. Soit E l'espace vectoriel étudié. On suppose qu'il admet une famille génératrice A = (a

₁

, · · · , a

_p

) . On peut prouver l'existence d'une base de deux manières : soit en formant une famille libre maximale, soit en formant une famille génératrice minimale. Le sens des mots maximal et minimal sera précisé.

Famille libre maximale.

Considérons l'ensemble de toutes les familles libres et l'ensemble N constitué par les nombres d'éléments des familles libres. D'après la condition susante de dépendance, comme il existe une famille génératrice à p éléments, toute famille libre contient moins de p éléments. L'ensemble N est donc une partie de N majorée par p . Cet ensemble contient 1 car une famille formée d'un seul vecteur non nul est libre.

On peut donc considérer le plus grand élément m de N et une famille libre U = (u

1

, · · · , u

m

) . Par dénition (maximalité du nombre d'éléments), pour tout x de E , la famille (u

1

, · · · , u

m

, x) est liée. Or d'après une propriété démontrée plus haut

(u

1

, · · · , u

m

, x) liée (u

1

, · · · , u

m

) libre )

⇒ x ∈ Vect(u

1

, · · · , u

m

)

Ce qui montre que U est génératrice.

Famille génératrice minimale.

Considérons cette fois les familles génératrices et extraites de A . Il existe de telles familles, par exemple A elle même. Formons la partie non vide de N constituée par les nombres d'éléments de telles familles. Elle admet un plus petit élément n . Il existe donc une famille génératrice B = (b

₁

, · · · , b

_n

) extraite de A . La minimalité de n assure que B est libre. En eet, si elle était liée, un de ses vecteurs (disons b

n

car permuter les vecteurs ne change rien) serait combinaison linéaire des autres. Mais alors tout vecteur étant combinaison de (b

1

, · · · , b

n

) , il le serait aussi de (b

1

, · · · , b

_n−1

) car b

n

est combinaison de (b

1

, · · · , b

n

) . La famille (b

1

, · · · , b

n

) serait génératrice en contradiction avec la minimalité de n .

3. Dimension

Proposition - Dénition. Toutes les bases d'un espace vectoriel E de dimension nie sont nies et ont le même nombre d'éléments, appelé dimension de E .

On convient que l'espace vectoriel réduit à {0} est de dimension nulle.

Preuve. Considérons deux bases U = (u

1

, · · · , u

p

) et V = (v

1

, · · · , v

p

) . On utilise deux fois la condition susante de dépendance :

U libre V génératrice

)

⇒ p ≤ q V libre

U génératrice )

⇒ q ≤ p

On a donc bien p = q .

On présente dans un tableau des implications souvent utiles

Proposition 16. Soit S une famille de p vecteurs d'un espace vectoriel E de dimension nie.

hypothèse sur S libre libre et p = dim E génératrice génératrice et p = dim E p > dim E

conclusion sur S p ≤ dim E base p ≥ dim E base liée

Preuve. à rédiger.

Remarque. Dans un espace de dimension n , pour une famille de n vecteurs : être une base est équivalent à être libre ou à être génératrice.

Proposition 17. Soit E et F deux K -espaces vectoriels de dimension nie. L'espace produit E × F est de dimension nie avec dim(E × F) = dim(E) + dim(F ) .

Preuve. C'est une conséquence de la proposition 13 donnant une base d'un produit d'espaces de dimension nie.

4. Théorème de la base incomplète

Théorème 1 (Théorème de la base incomplète). Soit E un K -espace vectoriel de dimension nie n et A = (a

1

, · · · , a

p

) une famille libre de vecteurs de E . Alors p ≤ dim(E) . Si p = dim(E) A est une base de E . Si p < dim(E) , il existe des vecteurs a

p+1

, · · · , a

n

de E tels que (a

1

, · · · , a

p

, a

p+1

, · · · , a

n

) est une base de E . Preuve. On peut raisonner comme dans la démonstration avec une famille libre maximale de la proposition sur l'existence d'une base. On considère l'ensemble des familles libres dont on peut extraire la famille libre donnée. Le nombre d'élement d'une telle famille est plus petit que la dimension. Pour une telle famille de dimension maximale, la proposition 12 montre qu'elle est libre donc une base.

III. Dimension d'un sous-espace vectoriel

1. Dimension

Proposition 18. Tout sous-espace vectoriel A d'un K -espace vectoriel de dimension nie E est de dimension nie avec

dim A ≤ dim E

Remarque. Si on considère une base quelconque de E , il n'y a aucune raison pour que certains de ces vecteurs soient dans le sous-espace A . On ne peut donc directement extraire une base de A et on doit reproduire un raisonnement semblable à celui prouvant l'existence d'une base.

Preuve. Considérons l'ensemble des familles libres de vecteurs de A et L la partie de N formée par les nombres d'éléments de ces familles. Comme une famille libre dans A l'est également dans E , la condition susante de dépendance montre que L est majorée par dim E . Soit α = max L et (a

1

, · · · , a

α

) une famille libre de vecteurs de A . Par maximalité, pour tout x ∈ A , la famille (a

1

, · · · , a

α

, x) est liée donc ( proposition 12) x ∈ Vect(a

1

, · · · , a

p

) . Dénition (Rang d'une famille de vecteurs). Soit E un K -espace vectoriel de dimension nie. Le rang d'une famille (a

1

, a

2

, · · · , a

p

) de vecteurs de E est la dimension de l'espace vectoriel qu'elle engendre. On note le rg .

rg(a

₁

, a

₂

, · · · , a

_p

) = dim (Vect(a

₁

, a

₂

, · · · , a

_p

))

2. Propriétés

Proposition 19. Soit A un sous-espace vectoriel d'un K -espace vectoriel de dimension nie E : dim A ≤ dim E et dim A = dim E ⇒ A = E

Preuve. La première inégalité résulte de la condition susante de dépendance (proposition 14) car une base de A est une famille libre de E .

La deuxième propriété (implication) vient de la proposition 16. Une base de A est libre et contient dim E vecteurs, c'est donc une base de E ce qui entraîne A = E car tous les vecteurs de E sont alors combinaisons linéaires de vecteurs de A donc ils appartiennet à A .

Proposition 20. Soit (a

₁

, a

₂

, · · · , a

_p

) une famille de vecteurs d'un K -espace vectoriel E de dimension nie.

Alors :

rg(a

1

, a

2

, · · · , a

p

) ≤ min(p, dim E)

rg(a

₁

, a

₂

, · · · , a

_p

) = dim E ⇔ (a

₁

, a

₂

, · · · , a

_p

) est génératrice rg(a

1

, a

2

, · · · , a

p

) = p ⇔ (a

1

, a

2

, · · · , a

p

) est libre Preuve. à rédiger.

3. Dimension d'une somme. Supplémentaires

Proposition 21 (dimension d'une somme directe). Soit A , B deux sous-espaces en somme directe d'un K -espace

vectoriel E de dimension nie. Alors : dim(A) + dim(B) = dim(A + B) .

Preuve. Soit (a

1

, · · · , a

α

) une base de A et (b

1

, · · · , b

β

) une base de B . Montrons que (a

1

, · · · , a

α

, b

1

, · · · , b

β

) est une base de A + B .

Par dénition, pour tout x ∈ A + B , il existe a ∈ A et b ∈ B tels que x = a + b . Comme les familles sont génératrices, il existe des scalaires λ

₁

, · · · , λ

_α

et µ

₁

, · · · , µ

_β

tels que

x = a + b = λ

1

a

1

+ · · · λ

α

a

α

+ µ

1

b

1

+ · · · µ

β

b

β

.

Ceci montre que la famille est génératrice. Pour montrer que la famille est libre, considérons des scalaires λ

1

, · · · , λ

α

et µ

1

, · · · , µ

β

.

λ

1

a

1

+ · · · + λ

α

a

α

+ µ

1

b

1

+ · · · + µ

β

b

β

= 0

E

⇒ λ

1

a

1

+ · · · + λ

α

a

α

= − (µ

1

b

1

+ · · · + µ

β

b

β

) ∈ A ∩ B = {0

E

} . On en déduit que tous les coecients sont nuls car les familles sont libres.

Remarque. Des sous espaces sont supplémentaires dans E si et seulement si ils sont en somme directe et que leur somme est E . On en déduit que

a et B supplémentaires dans E ⇒ dim A + dim B = dim E.

Proposition 22. Soit A , B deux sous-espaces d'un K -espace vectoriel E de dimension nie.

Si dim(A) + dim(B) = dim(E) et A ∩ B = {0

E

} alors A et B sont supplémentaires.

Preuve. Supposons A ∩ B = {0

E

} c'est à dire A et B en somme directe. Alors d'après la proposition 21 dim(A + B) = dim A + dim B = dim E.

Donc A + B est un sous-espace de E de même dimension que E ; d'où A + B = E d'après la proposition 19.

Proposition 23 (existence de supplémentaires). Soit A un sous-espace vectoriel d'une K -espace vectoriel E de dimension nie. Il existe des sous-espaces vectoriels supplémentaires de A .

Preuve. On sait que A est de dimension nie. Il admet une base (a

1

, · · · , a

α

) . Cette base est une famille libre de vecteurs de E . On peut la compléter (théorème de la base incomplète 4.) en une base (a

1

, · · · , a

α

, b

1

, · · · , bβ) de E . On vérie facilement que B = Vect(b

1

, · · · , b

β

) est un supplémentaire de A dans E .

Proposition (formule de Grassmann). Soit A et B deux sous-espaces vectoriels de dimension nie d'un K -espace vectoriel E . Alors A + B est de dimension nie et

dim(A + B) = dim A + dim B − dim(A ∩ B)

Preuve. Le sous-espace A + B est de dimension nie inférieure ou égale à dim A + dim B car, en concaténant une base de A et une base de B , on obtient une famille génératrice. Notons S = A + B et travaillons dans S en oubliant le grand espace E .

Considérons A ∩ B dans l'espace de dimension nie B . D'après la proposition 23, il admet un supplémentaire C . Montrons que A et C sont supplémentaires dans S .

Pour tout x ∈ S , il existe a ∈ A et b ∈ B tel que x = a + b . Comme A ∩ B et C sont supplémentaires dans B , il existe u ∈ A ∩ B et c ∈ C tels que b = u + c . On peut donc écrire

x = a + b = a + u

| {z }

∈A

+ c ∈ A + C

De plus, A ∩ C = (A ∩ C) ∩ B = (A ∩ B) ∩ C = {0

_E

} car (A ∩ C) ⊂ B .

Les sous-espaces sont donc bien supplémentaires dans S . On en déduit (proposition 3.) dim S = dim(A) + dim C

dim B = dim(A ∩ B) + dim C )

⇒ dim S = dim(A + B) = dim A + dim B − dim(A ∩ B).

On trouvera plus loin une autre démonstration utilisant le thérème du rang.

Remarque. Signalons deux conséquences de la proposition précédente pour deux sous-espaces A , B d'un K -espace vectoriel E de dimension nie.

1. Si dim(A) + dim(B) = dim(E) et A + B = E alors A et B sont supplémentaires car dim A ∩ B = 0 .

2. Si dim(A) + dim(B) = dim(E) et A +B = E alors A∩ B 6= {0

E

} car dim A ∩ B = dim A + dim B − dim E > 0 .

Proposition 24. Soient F

1

, · · · , F

p

des sous-espace vectoriels d'un K -espace vectoriel E . Alors : dim (F

₁

+ · · · + F

_p

) ≤ dim F

₁

+ · · · + dim F

_p

avec égalité si et seulement si F

₁

, · · · , F

_p

sont en somme directe.

Preuve. Notons S = F

₁

+ · · · + F

_p

. Formons une famille F en concaténant (mettant bout à bout) une base de chaque F

_i

. Cette famille contient

dim F

1

+ · · · + dim F

p

vecteurs et engendre S . On en déduit dim S ≤ dim F

1

+ · · · + dim F

p

.

Supposons maintenant dim S = dim F

1

+ · · · + dim F

p

la famille F est toujours génératrice de S et elle contient dim S éléments. C'est donc une base de S . Pour montrer que les sous-espaces sont en somme directe, considérons x ∈ S admettant deux décompositions dans la somme

x = a

1

+ · · · + a

p

x = a

⁰₁

+ · · · + a

⁰_p

)

⇒ 0

_E

= (a

₁

− a

⁰₁

) + · · · + (a

_p

− a

⁰_p

).

En décomposant chaque a

i

− a

⁰_i

dans la base de son F

i

, on forme une combinaison linéaire nulle des vecteurs de F . Comme F est libre tous les coecients sont nuls donc a

i

= a

⁰_i

pour tous les i . Ceci assure l'unicité de la décomposition donc le fait que les F

i

sont en somme directe.

IV. Suites vériant une relation de récurrence linéaire

Fixons a , b dans K . Notons E l'ensemble des suites vériant la relation de récurrence linéaire dénie à partir de a et b .

(x

n

)

n∈N

∈ E ⇔ (∀n ∈ N , u

n+2

= au

n+1

+ bu

n

) .

On suppose a et b non nuls pour que la récurrence soit vraiment d'ordre 2. Une suite dans E est complètement dénie par récurrence à partir de ses deux premiers termes (indices 0 et 1 ). On peut donc dénir deux suites particulières :

(z

_n

)

_n∈N

∈ E dénie par z

₀

= 1, z

₁

= 0, (u

_n

)

_n∈N

∈ E dénie par u

₀

= 0, u

₁

= 1.

La famille (z

n

)

_n∈N

, (u

n

)

_n∈N

) est une base de E .

Le point important pour la preuve est que, pour tous x

0

et x

1

dans K , la suite x

0

(z

n

)

_n∈N

+ x

1

(u

n

)

_n∈N

est la suite de E dénie par récurrence par les conditions initiales x

0

et x

1

.

Si cette combinaison est la suite nulle, les conditions initiales sont aussi nulles donc x

0

= x

1

= 0 . La famille est libre.

Pour n'importe quelle suite (x

n

)

n∈N

∈ E , on a (x

n

)

n∈N

= x

0

(z

n

)

n∈N

+ x

1

(u

n

)

n∈N

avec les conditions initiales x

0

et x

1

donc la famille est génératrice.

On en déduit que E est de dimension 2 . On peut alors réinterpréter la partie correspondante du cours sur les suites

particulières en termes de bases.