1. Montrer que la famille { 1; 2 ; 3 est libre. }

PanaMaths Janvier 2013

Soit \ considéré comme un _ − espace vectoriel.

1. Montrer que la famille { 1; 2 ; 3 est libre. }

2. Montrer que la famille { ^{ln / p p ∈` et p premier} } est libre.

Analyse

Rappelons, pour la première question, que les réels 2 et 3 sont irrationnels.

Dans la deuxième question, les propriétés algébriques du logarithme népérien nous permettent de « transformer » le problème d’algèbre linéaire en un « problème » d’arithmétique …

Résolution

Question 1.

Soit α, β et γ trois rationnels tels que α β+ 2+γ 3=0.

On a donc : β 2+γ 3= −α puis, en élevant au carré : ^{2β2+3γ2+βγ 6= −}

( )

^{α 2 =α2.}

D’où : βγ 6 =α²−2β²−3γ².

Si on suppose βγ ≠0, il vient :

2 2 2

2 3

6 α β γ

βγ

− −

= ∈_, ce qui est absurde puisque le réel

6 n’est pas rationnel.

On a donc β =0 ou γ =0. Supposons, par exemple : β =0.

On a alors : α γ+ 3=0 puis, nécessairement, γ =0 (sans quoi 3 α

= − ∈γ _, ce qui est absurde puisque 3 est irrationnel) et, enfin, α =0.

On raisonne de façon similaire en supposant γ =0.

En définitive : α β γ= = =0 et la famille

{

^{1 ; 2 ; 3}

}

est libre.

La famille

{

^{1 ; 2 ; 3}

}

est libre.

PanaMaths Janvier 2013 Question 2.

Soit

{

p1; p2;p3; ... ;p_n

}

une famille finie quelconque d’entiers naturels premiers et

{

lnp1; lnp2; lnp3; ... ; lnp_n

}

la famille associée de leurs logarithmes népériens.

Soit alors α α α₁, ₂, ₃, ...,α_n n rationnels tels que : α₁lnp₁+α₂lnp₂+ +... α_nlnp_n =0

( )

^{E .}

Il vient alors :

( )

1 2

1 2

1 2

1 1 2 2

1 2

1 2

1 2

ln ln ... ln 0

ln ln ... ln 0

ln ... ln1

... 1

n

n

n

n n

n

n

n

p p p

p p p

p p p

p p p

α

α α

α

α α

α

α α

α +α + +α =

⇔ + + + =

⇔ × × × =

⇔ × × × =

Supposons que les α_i ne soient pas tous nuls.

En supposant chaque α_i écrit sous la forme ⁱ

i

a

b avec

(

a bi^, i

) (

∈ ] `^{, *}

)

avec a_i et b_i premiers entre eux, on peut considérer m=PPCM

(

b b1, 2, ...,b_n

)

. On a alors :

( )

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

... 1

... 1

... 1

... 1

n

n

n

n n

m m

n m

m m

n n

p p p

p p p

p p p

p p p

α

α α

α

α α

α

α α

β

β β

× × × =

⇔ × × × =

⇔ × × × =

⇔ × × × =

où les β_i sont des entiers.

Comme tous les p_i sont supérieurs ou égaux à 2, leurs logarithmes népériens sont strictement positifs et, nécessairement, l’égalité

( )

^E entraîne que certains α_i (et les β_i correspondants) sont strictement négatifs et d’autres strictement positifs. On a donc :

1 2

1 2

0 0

... ⁿ 1

i j

i j

n

i j

p p p

p p

β

β β

β β

β β

−

> <

× × × =

⇔

∏

=

∏

On obtient ainsi deux décompositions en facteurs premiers égales alors que les facteurs premiers apparaissant dans chacune d’elles sont différents. Ceci est absurde (cf. le théorème fondamental de l’arithmétique) et on en conclut que tous les α_i, sont tous nuls. Ainsi, la famille

{

lnp1; lnp2; lnp3; ... ; lnp_n

}

est libre.

PanaMaths Janvier 2013

Ce qui précède étant valable pour une famille

{

lnp1; lnp2; lnp3; ... ; lnp_n

}

finie quelconque, on en déduit finalement que la famille

{

^{lnp p/ ∈`et ppremier}

}

est libre.

La famille

{

^{lnp p/ ∈`et ppremier}

}

est libre.