PanaMaths Janvier 2013
Soit \ considéré comme un _ − espace vectoriel.
1. Montrer que la famille { 1; 2 ; 3 est libre. }
2. Montrer que la famille { ln / p p ∈` et p premier } est libre.
Analyse
Rappelons, pour la première question, que les réels 2 et 3 sont irrationnels.
Dans la deuxième question, les propriétés algébriques du logarithme népérien nous permettent de « transformer » le problème d’algèbre linéaire en un « problème » d’arithmétique …
Résolution
Question 1.
Soit α, β et γ trois rationnels tels que α β+ 2+γ 3=0.
On a donc : β 2+γ 3= −α puis, en élevant au carré : 2β2+3γ2+βγ 6= −
( )
α 2 =α2.D’où : βγ 6 =α2−2β2−3γ2.
Si on suppose βγ ≠0, il vient :
2 2 2
2 3
6 α β γ
βγ
− −
= ∈_, ce qui est absurde puisque le réel
6 n’est pas rationnel.
On a donc β =0 ou γ =0. Supposons, par exemple : β =0.
On a alors : α γ+ 3=0 puis, nécessairement, γ =0 (sans quoi 3 α
= − ∈γ _, ce qui est absurde puisque 3 est irrationnel) et, enfin, α =0.
On raisonne de façon similaire en supposant γ =0.
En définitive : α β γ= = =0 et la famille
{
1 ; 2 ; 3}
est libre.La famille
{
1 ; 2 ; 3}
est libre.PanaMaths Janvier 2013 Question 2.
Soit
{
p1; p2;p3; ... ;pn}
une famille finie quelconque d’entiers naturels premiers et{
lnp1; lnp2; lnp3; ... ; lnpn}
la famille associée de leurs logarithmes népériens.Soit alors α α α1, 2, 3, ...,αn n rationnels tels que : α1lnp1+α2lnp2+ +... αnlnpn =0
( )
E .Il vient alors :
( )
1 2
1 2
1 2
1 1 2 2
1 2
1 2
1 2
ln ln ... ln 0
ln ln ... ln 0
ln ... ln1
... 1
n
n
n
n n
n
n
n
p p p
p p p
p p p
p p p
α
α α
α
α α
α
α α
α +α + +α =
⇔ + + + =
⇔ × × × =
⇔ × × × =
Supposons que les αi ne soient pas tous nuls.
En supposant chaque αi écrit sous la forme i
i
a
b avec
(
a bi, i) (
∈ ] `, *)
avec ai et bi premiers entre eux, on peut considérer m=PPCM(
b b1, 2, ...,bn)
. On a alors :( )
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
... 1
... 1
... 1
... 1
n
n
n
n n
m m
n m
m m
n n
p p p
p p p
p p p
p p p
α
α α
α
α α
α
α α
β
β β
× × × =
⇔ × × × =
⇔ × × × =
⇔ × × × =
où les βi sont des entiers.
Comme tous les pi sont supérieurs ou égaux à 2, leurs logarithmes népériens sont strictement positifs et, nécessairement, l’égalité
( )
E entraîne que certains αi (et les βi correspondants) sont strictement négatifs et d’autres strictement positifs. On a donc :1 2
1 2
0 0
... n 1
i j
i j
n
i j
p p p
p p
β
β β
β β
β β
−
> <
× × × =
⇔
∏
=∏
On obtient ainsi deux décompositions en facteurs premiers égales alors que les facteurs premiers apparaissant dans chacune d’elles sont différents. Ceci est absurde (cf. le théorème fondamental de l’arithmétique) et on en conclut que tous les αi, sont tous nuls. Ainsi, la famille
{
lnp1; lnp2; lnp3; ... ; lnpn}
est libre.PanaMaths Janvier 2013
Ce qui précède étant valable pour une famille
{
lnp1; lnp2; lnp3; ... ; lnpn}
finie quelconque, on en déduit finalement que la famille{
lnp p/ ∈`et ppremier}
est libre.La famille
