PROBLÈME 1 — uniquement pour les 3/2

Lycée Ste-Marie Fénelon – la Plaine Monceau Classe de MP

Année 2018-2019 Mathématiques

Devoir surveillé n ^◦ 1

du jeudi 6 septembre Durée : 3 heures

Toute calculatrice interdite

Instructions générales :

Les candidats sont priés

• de vérifier que le sujet dont ils disposent comporte bien6 pages ;

• de traiter les 4 exercices dans l’ordre qui leur convient le mieux, à condition de respecter scrupuleusement la numérotation des problèmes et questions ;

• si possible traiter les exercices sur des copies différentes ;

• de ne traiter que les problèmes qui leur sont destinés, selon leur statut de 3/2 ou de 5/2 : B problème 1, uniquement pour les 3/2 ;

B problème 2, commun à tout le monde, 3/2 et 5/2 ; B problème 3, commun à tout le monde, 3/2 et 5/2 ; B problème 4, uniquement pour les 5/2.

Enfin, les candidats sont invités à porter une attention particulière à la rédaction : les copies mal rédigées ou mal présentées le sont aux risques et périls du candidat !

Remarque importante :

Si au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre.

Bon courage !

PROBLÈME 1 — uniquement pour les 3/2

A. Étude de deux applications

La notationR2[X] désigne leR-espace vectoriel des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à 2.

On identifiera dans la suite de ce problème les éléments deR2[X]et leurs fonctions polynomiales associées. On note B= (1, X, X²)la base canonique deR2[X]. On définit les deux applications suivantes :

f : R2[X] → R2[X] P 7→ 1

2

P X

2

+P

X+ 1 2

et ϕ : R2[X] → R P 7→ P(1)

On rappelle aussi que l’on notef⁰= Id_R2[X], et pour tout n∈N^∗,fⁿ=f◦fⁿ⁻¹. 1. Vérifier quef est bien à valeurs dansR2[X] et montrer quef est linéaire.

2. Montrer queϕest linéaire.

3. Écrire la matrice def dans la baseBdeR2[X], en indiquant les calculs intermédiaires.

4. L’applicationf est-elle injective ? Surjective ?

5. Déterminer une base de Kerϕ. Quelle est la dimension deKerϕ? 6. L’applicationϕest-elle injective ? Surjective ?

B. Calcul des puissances successives d’une matrice

On noteI₃ la matrice identité deM₃(R)etAla matrice : A=







1 ¹₄ ¹₈ 0 ¹₂ ¹₄ 0 0 ¹₄





. Enfin, on noteB⁰ la famille deR2[X]définie parB⁰ = (1,−2X+ 1,6X²−6X+ 1).

7. Justifier que la familleB⁰ est une base deR2[X].

8. Écrire la matrice de passageQdeBà B⁰.

9. Justifier queQest inversible et calculer son inverse.

10. Écrire la matriceM def dans la baseB⁰ en donnant les calculs intermédiaires.

11. CalculerAⁿ pour toutn∈N. On explicitera les neuf coefficients deAⁿ.

12. Pourn∈NetP =a+bX+cX² avec(a, b, c)∈R³, déterminerfⁿ(P)en fonction dea,b,c.

13. En déduire que : ∀P ∈R2[X], lim

n→+∞ϕ(fⁿ(P)) = Z 1

0

P(t) dt.

PROBLÈME 2 — commun à tout le monde, 3/2 et 5/2

Une secrétaire effectuenappels pour tenter de joindre ncorrespondants distincts. Pour chaque appel, elle a une probabilitépd’obtenir son correspondant, et q= 1−pde ne pas le joindre.

1. On noteX le nombre de correspondants obtenus. Quelle est la loi deX? Donner son espérance et sa variance.

2. La secrétaire tente une deuxième fois de joindre les n−X correspondants qu’elle n’a pas pu joindre la première fois. On noteY le nombre de correspondants joints à la deuxième tentative, etZ=X+Y. Quelles sont les valeurs que peut prendreZ?

3. CalculerP(Z= 0)et démontrer queP(Z= 1) =npq²ⁿ⁻²(1 +q).

4. Démontrer queP(Z =`) =

`

X

k=0

P([X =k]∩[Y =`−k]).

5. CalculerPX=k(Y =h)pour les valeurs dek ethpour lesquelles cela a un sens ; en déduireP(Z=`).

6. Montrer que : n

k

n−k

`−k

= n

` `

k

. En déduire que : P(Z =`) =

n

`

p^{`</sup>(1 +q)<sup>`}(q²)^n−`.

7. En justifiant quep(1 +q) = 1−q², reconnaître la loi suivie parZ.

PROBLÈME 3 — commun à tout le monde, 3/2 et 5/2

Dans le plan complexeC, on définit la suite de points (zn)de la façon suivante :z0 = 1, et le triangleOz_nz_n+1,rectangleenz_n, est orienté dans le sens direct, avec|zn+1−zn|= 1(figure ci-contre).

La réunion des segments [zn, zn+1] constitue donc une ligne polygonale infinie L de forme spirale.

1. Calculer|zn| pour toutn∈N. 2. On noteβn un argument de zn+1

z_n ; on le choisit dans l’intervalleh 0,π

2 i

. On note aussiα_n un argument dez_n.

Quel est le lien entreαn,βn et αn+1?

Déterminer β_n en fonction de n et en déduire que pour n > 1, on peut choisir α_n =

n

X

k=1

arctan 1

√ k

comme argument pour le nombre complexezn.

3. Déterminer la naturede la série de terme généralu_n= 2√ n−2√

n−1−arctan(n^−1/2).

4. Établir l’existenced’une constante réelleC, telle queαn= 2√

n−C+O n^−1/2 . 5. Montrer que cette constanteCest strictement positive.

PROBLÈME 4 — uniquement pour les 5/2

Dans tout le texte,Nest l’ensemble des entiers naturels,Rl’ensemble des réels,ndésigne un entier naturel supérieur ou égal à1et Rn[X]est l’ensemble des polynômes à coefficients réels de degré au plusn.

Poura < bdansZ, on note[[a, b]]l’ensemble[a, b]∩Z.

Pourk∈N^∗, on notePk le polynômeX^k−1. On rappelle queRn[X]est unR-espace vectoriel de dimensionn+ 1 dont la famille (P_k)k∈[[1,n+1]] est une base. Pour P ∈Rn[X], on notedeg(P)le degré de P et, lorsqueP est non nul, cd(P)désigne le coefficient dominant deP, c’est-à-dire le coefficient du monômeX^deg(P).

Pourk∈Net j∈[[0, k]], le coefficient binomial k

j

vaut k!

j!(k−j)!.

Pour un ensembleE et f : E →E, on définit l’application f^k : E →E par récurrence sur k∈ Nde la façon suivante :

f⁰ = IdE et f^k+1 = f◦f^k.

Si f est bijective, on notef⁻¹ la réciproque def et pourk∈N, on notef^−k = (f⁻¹)^k. Pourp∈N^∗, on noteM_p(R)l’ensemble des matrices carrées réelles de taillep.

I L’opérateur de translation et l’opérateur de différence

I.A L’opérateur de translation

L’opérateur de translation est l’endomorphismeτ deRn[X]donné par : τ : Rn[X] → Rn[X]

P(X) 7→ P(X+ 1).

I.A.1. Pour un polynôme non nul P ∈Rn[X], exprimerdeg(τ(P))et cd(τ(P))à l’aide dedeg(P)etcd(P).

I.A.2. SoitP ∈Rn[X]. Pourk∈N, donner l’expression deτ^k(P)en fonction deP.

I.A.3. Donner la matrice M = (Mi,j)16i,j6n+1 deτ dans la base(Pk)k∈[[1,n+1]]. On exprimera les coefficientsMi,j en fonction deiet j.

I.A.4. Préciser l’ensemble des valeurs propres de τ. L’applicationτ est-elle diagonalisable ?

I.A.5. L’applicationτest-elle bijective ? Si oui, préciserτ⁻¹. L’expression deτ^j trouvée à la question I.A.2. pourj ∈N est-elle valable pour j∈Z?

I.A.6. Que vaut M⁻¹? Exprimer les coefficients(M⁻¹)i,j en fonction deiet j.

I.A.7. On se donne une suite réelle (uk)k∈Net on définit, pour tout entier k∈N v_k=

k

X

j=0

k j

u_j (I.1)

Déterminer une matriceQ∈ Mn+1(R)telle que











 v₀ v1

... vn













=Q











 u₀ u1

... un











 .

I.A.8. En déduire la formule d’inversion : pour tout entier k∈N, uk=

k

X

j=0

(−1)^k−j k

j

vj (I.2)

I.A.9. On considère un réelλet la suite(uk=λ^k)_k∈N. Quelle est la suite(vk)_k∈Ndéfinie par la formule (I.1) ? Vérifier alors la formule (I.2).

I.B L’opérateur de différence

L’opérateur de différence est l’endomorphismeδ deRn[X]tel que δ=τ−Id_Rn[X] : δ : Rn[X] → Rn[X]

P(X) 7→ P(X+ 1)−P(X).

I.B.1. Pour un polynôme non constantP ∈Rn[X], exprimerdeg(δ(P))et cd(δ(P))à l’aide dedeg(P)etcd(P).

I.B.2. En déduire le noyauKer (δ)etIm (δ)de l’endomorphisme δ.

I.B.3. Plus généralement, pourj ∈[[1, n]], montrer les égalités suivantes :

Ker (δ^j) =Rj−1[X] et Im (δ^j) =Rn−j[X] (I.3) I.B.4. Pourk∈Net P∈Rn[X], exprimerδ^k(P)en fonction desτ^j(P)pourj ∈[[0, k]].

I.B.5. SoitP ∈Rn−1[X]. Montrer que :

n

X

j=0

(−1)^n−j n

j

P(j) = 0. (I.4)

I.B.6. Dans cette question, on veut montrer qu’il n’existe pas d’application linéaire u : Rⁿ[X] → Rⁿ[X] telle que u◦u=δ. On suppose, par l’absurde, qu’une telle applicationuexiste.

(a) Montrer queuetδ² commutent.

(b) En déduire queR1[X]est stable par l’applicationu.

(c) Montrer qu’il n’existe pas de matriceA∈ M₂(R)telle que : A²= 0 1

0 0

! .

(d) Conclure.

I.B.7. Dans cette question, on cherche tous les sous-espaces vectoriels deRⁿ[X]stables par l’applicationδ.

(a) PourP polynôme non nul de degré d6n, montrer que la famille (P, δ(P), . . . , δ^d(P)) est libre. Quel est l’espace vectoriel engendré par cette famille ?

(b) En déduire que si V est un sous-espace vectoriel deRn[X] stable par δ et non réduit à {0}, il existe un entierd∈[[0, n]]tel queV =Rd[X].

Lycée Ste-Marie Fénelon – la Plaine Monceau Classe de MP

Année 2018-2019 Mathématiques

Devoir surveillé n ^◦ 1 – éléments de correction

PROBLÈME 1 — uniquement pour les 3/2

d’après concours commun 2009 mines d’Albi, Alès, Douai, Nantes — toutes filières

A. Étude de deux applications

1. SiP est un polynôme de degré inférieur ou égal à2, alorsP X

2

et P

X+ 1 2

sont des polynômes de même degré queP et doncf(P)est un polynôme de degré inférieur ou égal au degré deP, donc de degré inférieur ou égal à 2. Par conséquent f va bien deR²[X]dansR²[X].

Caractère linéaire de f. SoientP etQdeux polynômes appartenant àR²[X], etα,β deux réels.

f(αP +βQ) = 1 2

(αP +βQ) X

2

+ (αP +βQ)

X+ 1 2

f(αP +βQ) = 1 2

αP X

2

+βQ X

2

+αP

X+ 1 2

+βQ

X+ 1 2

f(αP +βQ) = α×1 2

P X

2

+P

X+ 1 2

+β×1 2

Q

X 2

+Q

X+ 1 2

soit : f(αP+βQ) =αf(P) +βf(Q). Ainsi f est linéaire.

2. ϕest linéaire par le même style d’arguments ;ϕest une forme linéaire surR2[X].

3. f(1) = ¹₂(1 + 1) = 1; f(X) =¹₂ ^X₂ +^X+1₂

= ¹₄+^X₂ ; f(X²) = ¹₂

X²

2 +^(X+1)₂ ²

= ¹₈+^X₄ +^X₄². La matrice def dans la baseBest A=

1 ¹₄ ¹₈ 0 ¹₂ ¹₄ 0 0 ¹₄

! .

4. Nous avonsdetA= 1

8 doncAest inversible, d’oùf est un automorphisme. Ainsi f est injective et surjective.

5. ϕn’étant pas la forme linéaire nulle, la dimension de son noyau est :3−1 = 2.

Les polynômes(X−1)et (X−1)² appartiennent à Ker (ϕ)puisque(X−1)(1) = 0et (X−1)²(1) = 0.

Ces deux polynômes de degrés différents forment une famille libre et donc une base deKer (ϕ), compte tenu de la remarque sur la dimension deKer (ϕ). Une base possible deKer (ϕ)est donc

(X−1),(X−1)² . 6. ϕn’est pas injective puisque son noyau n’est pas réduit au polynôme nul.

ϕest surjective puisque pour tout réelα:

α=αX(1) =ϕ(αX)

et donc tout élément deRest bien l’image parϕd’un élément deR2[X]. On pourrait aussi invoquer le théorème du rang. Il s’ensuit que ϕest surjective mais non injective.

B. Calcul des puissances successives d’une matrice

7. B⁰est une base deR2[X]car son cardinal est égal à la dimension deR2[X]et qu’elle est constituée de polynômes de degrés strictement croissants qui font de la famille une famille libre.

8. Par construction, les colonnes de la matrice de passage deBàB⁰sont constituées des coordonnées des polynômes deB⁰ dans la baseB. Ainsi la matrice de passage deB àB⁰ est Q=

1 1 1

0 −2 −6

0 0 6

! . 9. C’est le propre d’une matrice de passage d’être inversible ! Donc Qest inversible.

Pour calculer son inverse, on résout le système X=QX⁰, soit :







x = x⁰+y⁰+z⁰ y = −2y⁰−6z⁰ z = 6z⁰

d’où







x⁰ = x+¹₂y+¹₂z−¹₆z y⁰ = −¹₂y−¹₂z z⁰ = ¹₆z

soit







x⁰ = x+¹₂y+¹₃z y⁰ = −¹₂y−¹₂z z⁰ = ¹₆z.

On en déduit Q⁻¹=

1 ¹₂ ¹₃ 0 −¹₂ −¹₂ 0 0 ¹₆

! .

10. On revient à la construction de la matrice d’un endomorphisme relativement à une base. On pourrait aussi, le contexte semble d’ailleurs le suggérer, appliquer la formule de changement de baseM =Q⁻¹A Q. On préfère ici exploiter cette formule ultérieurement. On a :

f(1) = 1; f(−2X+ 1) = 1

2

−2X

2 + 1−2X+ 1 2 + 1

= 1

2(−2X+ 1) = 1

2(−2X+ 1); f(6X²−6X+1) = 1

2

6X² 4 −6X

2 + 1 + 6(X+ 1)²

4 −6X+ 1 2 + 1

= 1 2

3X²−3X+1 2

= ¹₄ 6X²−6X+ 1 . La matrice def dans la baseB⁰ est

1 0 0 0 ¹₂ 0 0 0 ¹₄

!

= diag 1,¹₂,¹₄ .

11. Pour toutn∈N,Aⁿ est la matrice defⁿ relativement à la base B. Relativement à la baseB⁰, la matrice defⁿ est Mⁿ et on obtient (par récurrence immédiate) :Mⁿ=Q⁻¹AⁿQou encoreAⁿ=QMⁿQ⁻¹. On a donc :

Aⁿ =

1 1 1

0 −2 −6

0 0 6

! 1 0 0 0 ₂¹n 0 0 0 ₄¹n

! 1 ¹₂ ¹₃ 0 −¹₂ −¹₂ 0 0 ¹₆

!

=

1 1 1

0 −2 −6

0 0 6

! 1 ¹₂ ¹₃ 0 − ¹

2n+1 − ¹

2n+1

0 0 _6×4¹n

!

soit Aⁿ=







1 ¹₂−₂n+1¹

1

3−₂n+1¹ +_6×4¹_n 0 ₂¹_{n 2}¹_n −₄¹_n

0 0 ₄¹n





.

12. Soitn∈Net P=a+bX+cX²avec(a, b, c)∈R³.

Les composantes de fⁿ(P)dans la baseBsont données par



 an

b_n cn



=Aⁿ



 a b c



. On a donc fⁿ(P) =

a+

1 2− 1

2ⁿ⁺¹

b+ 1

3 − 1

2ⁿ⁺¹ + 1 6×4ⁿ

c

+

1 2ⁿb+

1 2ⁿ − 1

4ⁿ

c

X+ 1

4ⁿc

X². 13. On a :

ϕ(fⁿ(P)) =

a+ 1

2 − 1 2ⁿ⁺¹

b+

1 3 − 1

2ⁿ⁺¹ + 1 6×4ⁿ

c

+

1 2ⁿb+

1 2ⁿ − 1

4ⁿ

c

+ 1

4ⁿc

n→+∞−→ a+1 2b+1

3c

qui correspond bien à Z 1

0

a+bt+ct²

dt. Par suite : ∀P ∈R²[X], lim

n→+∞ϕ(fⁿ(P)) = Z 1

0

P(t) dt.

PROBLÈME 2 — commun à tout le monde, 3/2 et 5/2

d’après concours d’école de commerce, source exacte perdue. . .

1. C’est une loi binomiale de paramètres(n, p). On a en particulier E(X) =np etV(X) =np(1−p). 2. La variableZ représente le nombre total de correspondants obtenus. On a donc Z(Ω) ={0,1, . . . , n}.

3. On aZ = 0siX = 0etY = 0, donc si la secrétaire fait deux tours complets sans qu’un seul appel réussisse. On a donc P(Z = 0) = (1−p)²ⁿ.

PourZ = 1, on a soitX= 0etY = 1, soitX = 1etY = 0. Attention, les deux cas n’ont pas la même probabilité !

• SiX = 0etY = 1, lesnpremiers appels ont échoué, et un appel a réussi parmi lesnderniers sur un total de2n appels. Soit une probabilité de(1−p)ⁿ× ⁿ₁

p(1−p)ⁿ⁻¹=npq²ⁿ⁻¹.

• Pour le cas X = 1 etY = 0, un appel parmi lesn premiers a réussi, et on a donc retentén−1 appels qui ont tous raté. Soit une probabilité de ⁿ₁

p(1−p)ⁿ⁻¹×(1−p)ⁿ⁻¹=npq²ⁿ⁻².

Ces explications sont formalisées par l’utilisation du système complet d’événements([X= 0],[X = 1])et la formule des probabilités composées totales

P(Z = 1) = P([X = 0])·P_[X=0]([Y = 1]) +P([X = 1])·P_[X=1]([Y = 0]).

Au total, on obtient : P(Z= 1) =npq²ⁿ⁻²+npq²ⁿ⁻¹=npq²ⁿ⁻²(1 +q).

4. Comme précédemment, si on a ` appels réussis au total, c’est qu’on en a euk∈[[0, `]]réussis au premier tour, et

`−kau second tour, autrement dit queX =ketY =`−k. De façon plus rigoureuse, à l’aide du système complet d’événements([X =k])0≤k≤` et la formule des probabilités totales : P(Z=`) =

`

X

k=0

P([X =k]∩[Y =`−k]).

5. On sait queX=k, il y a doncn−kappels à retenter au deuxième tour. La probabilité conditionnelleP_[X=k](Y =h) est donc la probabilité de réussirhappels parmin−k. Cette probabilité est non nulle sih∈[[0, n−k]]et elle vaut alors

n−k h

p^h(1−p)^n−k−h. On a donc P(Z=`) =

`

X

k=0

P(X=k)PX=k(Y =`−k) =

`

X

k=0

n k

p^kq^n−k n−k

`−k

p^{`−k</sup>q<sup>n−`}

d’où P(Z=`) =

`

X

k=0

n k

n−k

`−k

p^{`</sup>q<sup>2n−k−`}.

6. Il suffit de calculer : n

k

n−k

`−k

= n!

k!(n−k)!× (n−k)!

(`−k)!(n−`)! = n!

k!(`−k)!(n−`)! = n!

`!(n−`)!× `!

k!(`−k)!

et il vient n

k

n−k

`−k

= n

` `

k

. On reprend alors le calcul deP(Z =`):

P(Z=`) =

`

X

k=0

n k

n−k

`−k

p^{`</sup>q<sup>2n−k−`}=

`

X

k=0

n

` `

k

p^{`</sup>q<sup>2n−k−`}

= n

`

p^{`</sup>q<sup>2n−2`}

`

X

k=0

` k

q^`−k= n

`

p^{`</sup>q<sup>2n−2`}(1 +q)^`

et on obtient comme espéré P(Z=`) = n

`

(p(1 +q))^{`</sup>(q<sup>2</sup>)<sup>n−`}. 7. Nous avonsp(1 +q) = (1−q)(1 +q) = 1−q², donc P(Z =`) =

n

`

(1−q²)^{`</sup> q<sup>2n−`}

. La variable aléatoireZ suit une loi binomiale de paramètres(n,1−q²).

PROBLÈME 3 — commun à tout le monde, 3/2 et 5/2

d’après E3A 2009 PC maths 2

1. Le théorème de Pythagore donne |zn+1|²=|zn|²+ 1, d’où, à partir de|z0|= 1: ∀n∈N, |zn|=√ n+ 1.

2. Soitn∈Netβnun argument de z_n+1 zn

. On aβn=−−→\ Ozn;−−−−→

Ozn+1

(2π)d’où, dans le triangleOznzn+1 rectangle en zn :

tan(βn) =|zn+1−zn|

|z_n| = 1

|z_n| = 1

√n+ 1. On peut choisirβn compris entre0et π

2 donc prendreβn= arctan 1

√n+ 1

et on a alorsβn=αn+1−αn. Puis, par télescopage :

α_n=

n−1

X

k=0

(α_k+1−α_k) =

n−1

X

k=0

β_k =

n−1

X

k=0

arctan 1

√k+ 1

.

Enfin, il est clair qu’on obtient un argument dezn par

\ −−→

Oz₀;−−→

Oz_n

=

n−1

X

k=0

\ −−→

Oz_k;−−−−→

Oz_k+1

=

n−1

X

k=0

β_k.

Enfin, partant deα₀= 0, et en réindexant on obtient un argument dez_n parα_n =

n

X

k=1

arctan 1

√ k

.

3. √

n−1 =√ n

r 1− 1

n =√ n

1− 1

2n− 1 8n² +o

1 n²

, arctan

1

√n

= 1

√n− 1 3n^3/2 +o

1 n^3/2

. un= 7

12n^3/2+o 1

n^3/2

. La sérieP

un est, à partir d’un certain rang, à termes positifs, et par comparaison avec la série de Riemann X

n>1

1

n^3/2 : Pu_n converge.

4. αn= 2√ n−

n

X

k=1

uk= 2√ n−

+∞

X

k=1

uk+Rn, oùRn =

+∞

X

k=n+1

uk.

À partir d’un certain indice, d’après l’équivalent de la question 3 et la décroissance det7→t^3/2 surR^∗+ : uk 6 1

k^3/2 6 Z k

k−1

dt t^3/2. Pour nassez grand, en sommant de k=n+ 1 à+∞, on obtient06Rn 6

Z +∞

n

dt

t^3/2 soit 06Rn6 2

√n . 5. Avec la quantité conjuguée :

un= 2

√n+√

n−1 −arctan 1

√n

donc

u_n> 1

√n−arctan 1

√n

>0.

(En effet, siϕ(x) =x−arctanxpour x >0,ϕ⁰(x) = 1− 1

1 +x² doncϕ⁰(x)>0; ainsiϕest strictement croissante et commeϕ(0) = 0, il vientϕ >0surR^∗+.) Par conséquent C=

+∞

X

k=1

u_k >u₁>0.

PROBLÈME 4 — uniquement pour les 5/2

d’après Centrale 2016 PC maths 2

I L’opérateur de translation et l’opérateur de différence

I.A L’opérateur de translation

I.A.1. SoitP =Pd

k=0a_kX^k, un polynôme non nul deRn[X], de degréd= deg(P)(i.e.a_d6= 0).

Alors,τ(P)est de la forme : P(X+ 1) =

d

X

k=0

a_k(X+ 1)^k=a_dX^d+ (da_d+a_d−1)X^d−1+

d−2

X

k=0

b_kX^k.

Commead6= 0:

deg(τ(P)) = deg(P)etcd(τ(P)) = cd(P). I.A.2. Notons queτ⁰(P) =P.

Et que siτ^k(P)(X) =P(X+k), alorsτ^k+1(P)(X) =τ(τ^k(P))(X) =P((X+k) + 1) =P(X+ (k+ 1)).

Ainsi, par récurrence

∀k∈N, τ(P)(X) =P(X+k).

I.A.3. D’après la formule du binôme de Newton (changement de variable i=h+ 1),

∀j∈Nn+1, τ(Pj)(X) = (X+ 1)^j−1=

j−1

X

h=0

j−1 h

X^h=

j

X

i=1

j−1 i−1

Pi.

M est donc triangulaire supérieure et les coefficients deM vérifient donc

∀(i, j)∈[[1, n+ 1]]², (M)i,j=

( _j−1

i−1

pour i6j 0 sinon

I.A.4. La matrice M est triangulaire supérieure, donc ses valeurs propres se trouvent sur la diagonale. Il s’agit des nombres ^j−1_j−1

= 1.

CommeM et τ ont les mêmes valeurs propres,

Sp(τ) ={1} .

Si M était diagonalisable, elle serait alors semblable à la matrice unité, et donc elle serait égale à la matrice unité.

Ainsi,

M etτ ne sont pas diagonalisables. I.A.5. 0 n’étant pas valeur propre deτ,

τ est bijective. Puis si on considère τ:Rn[X]→Rn[X], P(X)7→P(X−1),

on montre qu’il s’agit d’un endomorphisme deRn[X]. Il vérifie :τ◦τ=τ◦τ = Id:

∀P ∈Rn[X], τ(τ(P))(X) =τ(P)(X+ 1) =P(X) =τ(τ(P))(X)

Donc

τ⁻¹(P)(X) =P(X−1).

Puis, comme pour la question2), on montre que pour tout k∈N,τ^−k(P)(X) =P(X−k).

Donc la formule est toujours vraie :

∀k∈Z, τ^k(P)(X) =P(X+k).

I.A.6. Avec l’expression deτ⁻¹, on applique la même méthode qu’en3) et on obtient :

∀j∈Nn+1, τ⁻¹(P_j)(X) = (X−1)^j−1=

j−1

X

h=0

j−1 h

(−1)^j−1−hX^h=

j

X

i=1

(−1)^j−i j−1

i−1

P_i.

Puis

∀i, j∈[[1, n]],(M⁻¹)_i,j =

( (−1)^{j−i j−1}_i−1

pour i6j

0 sinon.

I.A.7. Lak+ 1^e ligne du calculV =Q×U est justement v_k=

n+1

X

j=1

Q_k+1,ju_j−1=

k

X

j=0

k j

u_j.

On peut identifier (après changement d’indice) :Qk,j =

( _k−1

j−1

pour j6k 0 sinon.

On a donc

Q=M^T .

I.A.8. M est inversible, doncQ=M^T également etQ⁻¹= (M^T)⁻¹= (M⁻¹)^T. Puis par équivalence : V =Q×U ⇐⇒U =Q⁻¹×V = (M⁻¹)^T×V. Lak+ 1^e ligne de ce calcul donne alors

uk=

n+1

X

j=1

(M⁻¹)^T

k+1,jvj−1=

n+1

X

j=1

(M⁻¹)

j,k+1vj−1=

n

X

j=0

(M⁻¹)

j+1,k+1vj.

uk=

k

X

j=0

(−1)^k−j k

j

vj .

I.A.9. On a alors

v_k =

k

X

j=0

k j

λ^j = (λ+ 1)^k .

On vérifie bien :

k

X

j=0

(−1)^k−j k

j

v_j =

k

X

j=0

k j

(λ+ 1)^j(−1)^k−j= ((λ+ 1)−1)^k =u_k .

I.B L’opérateur de différence

I.B.1. Avec les mêmes notations qu’en I.A.1 avecP non constant on a : δ(P)(X) =adX^d+ (dad+a_d−1)X^d−1+

d−2

X

k=0

bkX^k−adX^d−a_d−1X^d−1−

d−2

X

k=0

akX^k=dadX^d−1+

d−2

X

k=0

ckX^k.

Commea_d6= 0:

siP, non constant,deg(δ(P)) = deg(P)−1et cd(δ(P)) = deg(P)×cd(P).

I.B.2. D’après la question précédente, siP n’est pas constant,deg(P)>1 etdeg(δ(P))>0, doncδ(P)n’est pas nul.

Ainsi, siδ(P) = 0, alorsP est constant.

Réciproquement, si P est constant, le calcul (simple) donneδ(P) = 0. Donc Ker (δ) =R0[X]. La question précédente montre aussi que Im (δ)⊂Rn−1[X].

Or d’après le théorème du rang : dim(Im (δ)) =n+ 1−dim(Ker (δ)) =n= dim(Rn−1[X]).

Donc Im (δ) =Rn−1[X] .

I.B.3. SiKer (δ^j) =Rj−1[X], avecj < n.

P ∈Ker (δ^j+1)⇐⇒δ^j+1(P) = 0 =δ^j(δ(P))⇐⇒δ(P)∈Rj−1[X].

Donc

P ∈Ker (δ^j+1)⇐⇒deg(P) = deg(δ(P)) + 16(j−1) + 1 =j⇐⇒P ∈Rj[X].

Ainsi, par récurrence : ∀j∈[[1, n]],Ker (δ^j) =Rj−1[X]. Si P ∈Im (δ^j), alors il existe Q∈Rn[X]tel que P =δ^j(Q).

Or une récurrence simple (suite arithmétique) montre que degP = deg(Q)−j, doncdeg(P)6n−j.

Par conséquent,P ∈Rn−j[X], et doncIm (δ^j)⊂Rn−j[X].

Le théorème du rang assure par ailleurs que ces deux espaces ont même dimension, donc :

∀j∈[[1, n]], Im (δ^j) =Rn−j[X]. I.B.4. Notons∆, la matrice deδdans la base(Pk).

Par construction deδ=τ−Id, on a ∆ =M −I_n+1.

Puis commeM commute avecIn+1, alors d’après la formule du binôme de Newton :∆^k =

k

X

j=0

k j

(−1)^k−jM^j. Ce qui permet d’affirmer, en revenant aux endomorphismes :

∀k∈N, δ^k =

k

X

j=0

(−1)^k−j k

j

τ^j .

I.B.5. SiP ∈Rn−1[X] = Ker (δⁿ), alorsδⁿ(P) = 0. Donc : 0(X) = [δⁿ(P)] (X) =





n

X

j=0

(−1)^n−j n

j

τ^j(P)



(X) =

n

X

j=0

(−1)^n−j n

j

τ^j(P) (X) =

n

X

j=0

(−1)^n−j n

j

P(X+j).

Il s’agit bien du polynôme nul.

Et en particulier en évaluant en0 :

n

X

j=0

(−1)^n−j n

j

P(j) = 0.

I.B.6.

(a) u◦δ²=u◦[u²◦u²] =u⁵= [u²◦u²]◦u=δ²◦u. Donc

uetδ²commutent. (b) SoitP ∈R1[X] = Kerδ², alors

δ²(u(P)) =u(δ²(P)) =u(0) = 0.

Doncu(P)∈Ker (δ²) =R1[X]. Par conséquent

R1[X]est stable paru . (c) SiA=_{a b}

c d

vérifieA²=_{0 1}

0 0

, alors _{0 a}

0 c

=A×A²=A³=A²×A=_{c d}

0 0

donca=detc= 0; ainsiA=_{a b}

0 a

, puisA²=_a² _2ab

0 a²

, et ainsi nécessairementa= 0, puis2ab= 0; ce qui est contradictoire avecab= 1. Donc

aucune matriceA ne vérifieA²=_{0 1}

0 0

. (d) PuisqueR1[X]est stable paru, notonsu˜:R1[X]→R1[X], P 7→u(P).

Considérons alorsA, la matrice deu˜ dans la base(P1, P2)deR1[X].

AlorsA² est égale à la matrice deδ surR1[X]donc_{0 1}

0 0

. Or d’après la question précédente, ceci est impossible. Donc

Il n’existe pas d’endomorphismeudeRn[X]tel que u²=δ . I.B.7.

(a) On a vu (questions I.B.3) quedeg(δⁱ(P)) = deg(P)−i=d−i.

Ainsi, la famille(P, δ(P), . . . , δ^d(P))est une famille échelonnée en degré (dedà 0).

C’est une famille libre etVect (P, δ(P), . . . , δ^d(P)) =Rd[X]. (b) SoitV stable parδ.

Si P ∈V, alorsδⁱ(P)∈V et donc Rdeg(P)[X] = Vect (P, δ(P), . . . , δⁿ(P))⊂V. Il reste à montrer l’égalité, il faut prendre le polynôme en degré maximum. . . V est un sous-espace vectoriel deRn[X]. Notonsd= dim(V)−1.

Notons(e₀, . . . , e_d)une base deV. Nécessairement, l’un dese_i est un polynôme de degré supérieur ou égal à d.

Sinon, on aurait une famille libre de d+ 1vecteurs deRd[X], ce qui est impossible.

Donc il existeP dansV de degrér>d.

SidegP =r > d, alors d’après la remarque précédente,Rr[X] = Vect (P, δ(P), . . . , δ^r(P))⊂V etV ne peut être de dimension d+ 1. Donc il existe P de degréddansV etRd[X]⊂V et par égalité des dimensions :

il existed∈[[0, n]]tel queV =R^d[X].

Lycée Ste-Marie Fénelon – la Plaine Monceau Classe de MP

Année 2018-2019 Mathématiques

Devoir surveillé n ^◦ 1 – correctif

Dans le problème 3, commun à tout le monde (3/2 et 5/2) : à la question 2.

il faut lire

« Quel est le lien entre α _n , β _n et α _n+1 ? »

(au lieu de « Quel est le lien entre α _n , β _n et β _n+1 ? »).