Fonction logarithme népérien – Classe de Terminale ES Page 1
Fonction logarithme népérien
1. La fonction logarithme népérien
La fonction exponentielle est strictement croissante sur et prend des valeurs strictement positives. D’après le théorème des valeurs intermédiaires, l’équation admet une unique solution pour tout réel .
Définition. On appelle logarithme népérien du réel strictement positif l’unique solution de l’équation . On note cette solution et on lit
« logarithme népérien de ».
Ainsi à chaque réel strictement positif , on fait correspondre un unique réel . On définit par ce procédé une fonction sur appelée logarithme népérien.
On a donc pour tous réels et avec
Les courbes représentatives des fonctions et sont symétriques par rapport à la droite d’équation .
Exemple
Par définition, la solution de l’équation est , ainsi .
Calculons . Par définition, ce nombre est la solution de l’équation . Mais la solution est , ainsi .
Théorème.
1. La fonction est définie et continue sur .
2. Pour tout réel on a et pour tout réel positif on a 3. et
Exemple
; ; ; .
Théorème. Pour tous réels strictement positifs, on a
Démonstration. D’une part et d’autre part . On a donc , d’où .
Conséquences. Pour , on a
; (et ).
(et ) ;
Fonction logarithme népérien – Classe de Terminale ES Page 2 Exemple
;
;
Pour tout , on a
2. Étude de la fonction
Théorème. La fonction est dérivable sur et sa dérivée est la fonction inverse : pour tout , .
Il en résulte que la fonction est strictement croissante sur et qu’elle est concave sur cet intervalle.
Démonstration. Le fait que la dérivée de est la fonction inverse est admis. Puisque pour tout , , il en résulte que est strictement croissante sur . Enfin comme , la fonction est concave.
Puisque la fonction est strictement croissante sur et que on notera que
si , alors ;
si , alors .
Pour tout réel , l’équation admet une seule solution, à savoir .
Pour résoudre les équations et inéquations on dispose d’un résultat analogue à celui sur exponentielle : pour tous réels strictement positifs et , on a
et
Un exemple d’étude de fonction contenant
Soit la fonction définie sur par . La fonction est dérivable sur et
.
Comme , le tableau de signe puis de variation de est le suivant.
signe de
variations
de
Le maximum de est .
Fonction logarithme népérien – Classe de Terminale ES Page 3 La dérivée seconde de est
On a , donc s’annule en changeant de signe en . Comme , on peut conclure que la courbe représentative de admet un point d’inflexion de coordonnées .
De plus donc une équation de la tangente au point d’inflexion est , soit .
3. Équations et inéquations avec exponentielle
Théorème. Soit et des réels strictement positifs et un entier naturel. L’équation admet dans une unique solution .
Démonstration. Comme chaque membre de l’équation est positif,
Exemple
Résoudre . On a donc finalement .
Exemple
Considérons la suite géométrique définie par . Puisque , on sait que
. Cherchons le plus petit entier tel que . On a déjà vu deux méthodes :
lecture de la table de la calculatrice quand l’entier cherché n’est pas trop grand ;
utilisation d’un algorithme.
On peut calculer directement cet entier en résolvant l’inéquation
Comme l’inconnue est en exposant, on transforme cette inéquation (dont les deux membres sont positifs) à l’aide de la fonction .
Comme , on obtient
et le plus petit entier vérifiant est donc .
