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(1)

Correction du TD de Probabilité de la première année d’IUT Chimie de Castres.

Feuille TD sur les v.a. discrètes.

Exercice 1 :

C’est une application simple et brutale des formules du cours.

 

_i

 

_i 2 0,2 4 0,5 6 0,3 4,2

i

E X 



x p x        ^.

1

 

_i²

 

_i ² 4 0,2 16 0,5 36 0,3 4,2² 1,96

i

V X 



x p x x        

 

^{1,96 1,4}

  V X   . Exercice 2 :

Dans le cadre d’une v.a. discrète on peut donner sa loi sous la forme d’un tableau.

Quelles sont les valeurs de X ? X 



0,1,2,3



.

 

² ³ ⁸

3 27

p FFF      ^ ^X ^³,

   

² ²¹ ⁴

3 3 27

p FFP  p PFF      ^ ^X ^²,

 

² ²¹ ⁴

3 3 27

p FPF      ^ ^X ^¹,

     

¹ ² ² ²

3 3 27

p FPP  p PPF  p PFP      ^ ^X ^¹,

et

 

¹ ³ ¹

3 27

p PPP      ^ ^X ^⁰. Calcul de l’espérance :

   

3 ⁸ 2 ⁴ 2 1 ² 3 ⁴ 0 ¹ ⁵⁰

27 27 27 27 27 27

i i

i

E X  x p x            

   



^.

Calcul de la variance :

 

²

 

² ³² ⁸ ²² ⁸ ¹⁰ ⁵⁰ ² ⁵⁷⁸

27 27 27 27 729

i i

i

V X 



x p x x         ^.

Et finalement (mais ce n’était pas demandé) :

 

⁵⁷⁸ ^0,8904

V X 729

    .

Exercice 3 :

1On utilise la formule du dit : « théorème de Koenig » qu’on devrait plutôt appelé « théorème de Koenig-Huyghens ». Il s’agit ici de Samuel König (il y des homonymes, même en mathématiques, comme en théorie des graphes ou théorie des ensembles) qui était un mathématicien allemand, né en 1712 à Budingen (Hesse), mort en 1757. Il enseigna les mathématiques et fut nommé en 1740 membre de l'Académie des sciences de Paris.

(2)

a) L’univers est

 

^1,6 ² (pour ce qui ne connaissent pas cette notation, les crochets doublés signifie qu’on ne prend que les entiers.)

Dénombrons le nombre de possibilité d’obtenir 6 :

         



1,5 , 2, 4 , 3,3 , 4,2 , 5,1



Donc



⁶



⁵

p Y  36. b)

c)

 

i

 

i i

E Y 



y p y 



^{2 12}



¹



^{3 11}



²



^{4 10}



³



^{5 9}



⁴ ²



^{6 8}



⁵ ⁷ ⁶ ⁷

36 36 36 36 36 36

                  

d)

 

i²

 

i ² i

V Y 



y p y y 



²² ¹²²



₃₆¹



³² ¹¹²



₃₆²



⁴² ¹⁰²



₃₆³



⁵² ⁹²



₃₆⁴ ²



⁶² ⁸²



₃₆⁵ ⁷² ₃₆⁶ ⁴⁹

                   

35

 6 , et

 

³⁵ ^2,42

Y V Y 6

    .

Exercice 4 :

L’univers est composé de triplets composés à partir des 12 éléments qui en contiennent trois défectueux. Il n’est pas nécessaire d’écrire toutes les combinaisons, mais il faut les dénombrer ! La question est : faut-il utiliser la formule des combinaisons ou celle des arrangements ? Autant se poser la question : fait-on la différence entre cette issue DDDet celle-ci_DDD ? Non car le tirage se fait simultanément (sans tenir compte d’un ordre de tirage). Donc ce sont les combinaisons.

12 12 11 10

# 220

3 3 2

   

      . (# est une autre façon de noter le cardinal d’un ensemble).

Soit X la variable aléatoire qui compte le nombre d’articles défectueux.

Combien de possibilités d’avoir des triplets bons a-t-on ? Il y a 9 articles de bons sur les 12.

On doit donc calculer le nombre de combinaison de trois articles parmi 9 bons.

Calculons la probabilité de n’avoir aucun article défectueux.

On a :

 

3

9 84

0 220 220

p X

  

    .

 1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6 7

2 3 4 5 6 7 8

3 4 5 6 7 8 9

4 5 6 7 8 9 10

5 6 7 8 9 10 11

6 7 8 9 10 11 12

(3)

De même

 

2 1

9 3 108

1 220 220

p X

  

  

  

   ,

 

1 2

9 3 27

2 220 220

p X

  

  

  

   …

Exercice 5 :

La correction est déjà sur le polycopié.

La seule remarque que l’on peut faire c’est qu’il ne faut pas oublier que 1 n’est pas un nombre premier !