TD 1 : Théorie des Graphes

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Université de Picardie Jules Verne AU 2018-2019 M2 3EA RoVA Systèmes Robotiques Hétérogènes et Coopératifs

Fabio Morbidi

TD 1 : Théorie des Graphes

Exercice I : Connectivité d'un graphe orienté Pour les trois graphes orientés suivants:

1. Déterminer s'il s'agit d'un graphe faiblement connexe ou fortement connexe, 2. Déterminer le degré entrant de chaque sommet.

Exercice II : Graphes et matrices

Déterminer la matrice des degrés, la matrice d'adjacence, la matrice d'incidence et la matrice laplacienne des (di)graphes suivants:

1. G = S

5

2. G = C

6

3. G = P

3

4. G = K

4

5. D = C

5

(cycle orienté),

6. D = P

5

(chaîne orientée ou chemin),

7. Les deux digraphes D montrés ci-dessous:

Attention: Pour les digraphes considérer la notion de degré entrant.

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Université de Picardie Jules Verne AU 2018-2019 M2 3EA RoVA Systèmes Robotiques Hétérogènes et Coopératifs

Fabio Morbidi

Exercice III : Étude des propriétés d'un graphe [Matlab]

1. Écrire une fonction Matlab qui prend en entrée un graphe non orienté arbitraire (à vous de choisir la représentation la plus adaptée) et qui fournit en sortie la valeur propre et le vecteur propre de Fiedler de sa matrice laplacienne,

2. Écrire une fonction Matlab qui prend en entrée un graphe orienté ou non orienté arbitraire et qui fournit en sortie la matrice d'incidence du graphe,

3. Écrire une fonction Matlab qui prend en entrée un graphe non orienté arbitraire et qui fournit en sortie le nombre de cycles dans le graphe, une variable booléenne qui vaut 1 si le graphe est connexe et 0 sinon, et un vecteur qui contient le degré des sommets du graphe,

4. Créer une fonction Matlab qui permet d'étudier comment la valeur propre la plus forte de la matrice laplacienne du graphe G = C

_n

varie pour n qui tend vers l'infini.

Exercice IV : Operations sur les graphes

Etant donnés deux graphs G

¹

= ( V

1

, E

1

) et G

²

= ( V

2

, E

2

), l'union et l'intersection de G

¹

et G

²

sont définies respectivement:

G

1

∪ G

2

= ( V

1

∪ V

2

, E

1

∪ E

2

), G

1

∩ G

2

= ( V

1

∩ V

2

, E

1

∩ E

2

).

1. Déterminer l'union et l'intersection de G

1

= K

3

et

G

2

= K

3

et de G

1

= P

3

et

G

2

= C

4

, 2. Existe-t-il une relation entre le spectre de la matrice laplacienne de G

¹

(ou de G

²

)

et celui de la matrice laplacienne de G

¹

∪ G

²

et G

¹

∩ G

²

?

Exercice V : Graphes aléatoires [Matlab]

Les graphes aléatoires peuvent être utilisés pour la modélisation d'un système en réseaux où le nombre de sommets (les agents) et/ou d'arêtes (les canaux de communication) n'est pas fixe mais suit un processus aléatoire.

Il existe plusieurs modèles de graphes aléatoires dans la littérature. Un des modèles les plus simples et étudiés est le graphe aléatoire uniforme, souvent noté G ( n,p ). Dans un graphe aléatoire uniforme G( n,p ), chacune des n ( n –1)/2 arêtes est présente avec probabilité p et absente avec probabilité 1 - p , cela indépendamment du statut des autres arêtes. Le cas p = 0.5 a été étudié par le fameux mathématicien Paul Erdös dès 1947.

Écrire une fonction Matlab qui prend en entrée le paramètres p et n d'un graphe aléatoire

uniforme et qui utilise les outils graphiques de Matlab pour en dessiner une réalisation.