Graphe d’une fonction numérique Définition (Graphe d’une fonction)

Graphe d’une fonction numérique

Définition (Graphe d’une fonction)

Soit f définie sur D _f , le graphe de f (ou courbe représentative de f ) est l’ensemble des points (x , f (x )) tels que x ∈ D _f :

graph(f ) = {(x , f (x ))|x ∈ D _f }.

L’équation y = f (x ) est l’équation cartésienne du graphe (ou de la courbe représentative) de f .

x

y y=x²

y=3

y=√ 3 y=−√

3

Exemple (Puissance entière)

Soit n ∈ N ^∗ . La fonction “puissance n-ième” est la fonction x 7→ x ⁿ définie sur R .

Tracé des graphes pour n = 2, n = 3, n pair et n impair grands.

Exemple (Fonction inverse)

Tracé du graphe de la fonction inverse f : x 7→ ¹ _x .

Exemple (Puissance entière)

Soit n ∈ N ^∗ . La fonction “puissance n-ième” est la fonction x 7→ x ⁿ définie sur R .

Tracé des graphes pour n = 2, n = 3, n pair et n impair grands.

Exemple (Fonction inverse)

Tracé du graphe de la fonction inverse f : x 7→ ¹ _x .

Propriété (Graphe d’une restriction)

x y

graph(f )

x y

graph(f _|A )

A

Exemple

Tracé du graphe de la restriction de la fonction inverse à l’ensemble

R ^∗ ₊ = ]0, +∞[ .

Réciproque, composition des fonctions

Définition (Réciproque)

I Soit A un sous-ensemble de D _f , alors l’image directe de A par f est :

f (A) = {f (x ) : x ∈ A}

I Soit B un sous-ensemble de R , alors l’image réciproque de B par f est :

f ⁻¹ (B) = {x : f (x ) ∈ B}

Exercice

I Donner les images directe et réciproque de l’ensemble [1, 2] par la fonction x 7→ ¹ _x définie sur R .

I Donner les images directe et réciproque de l’ensemble [0, 2] par

la fonction x 7→ x ² définie sur R .

Réciproque, composition des fonctions

Définition (Composée de fonctions)

La fonction composée de f par g est la fonction définie sur f ⁻¹ (D _g ) par :

g ◦ f : x 7→ g (f (x ))

Exercice

Déterminer les fontions g ◦ f et f ◦ g dans les cas suivants :

I f : x 7→ x ² et g : x 7→ x + 1 définies sur R .

I f : x 7→ x ² et g : x 7→ 2 x définies sur R .

I f : x 7→ x ² et g : x 7→ √

x définies sur R + .

Réciproque, composition des fonctions

Définition (Injectivité, surjectivité, bijectivité) On note A une partie de D _f et B une partie de R .

I On dit que f est injective sur A si :

∀x , x ⁰ ∈ A, x 6= x ⁰ = ⇒ f (x) 6= f (x ⁰ ).

I On dit que f est injective si elle est injective sur D _f .

I On dit que f est surjective dans B si :

∀y ∈ B, ∃x , y = f (x ).

I On dit que f est bijective de A dans B si elle est à la fois injective sur A et surjective dans B.

Exercice

Déterminer des ensembles A et B pour lesquels les fonctions

puissance n-ième sont injectives, surjectives, bijectives.

Réciproque, composition des fonctions

Définition (Injectivité, surjectivité, bijectivité) On note A une partie de D _f et B une partie de R .

I On dit que f est injective sur A si :

∀x , x ⁰ ∈ A, x 6= x ⁰ = ⇒ f (x) 6= f (x ⁰ ).

I On dit que f est injective si elle est injective sur D _f .

I On dit que f est surjective dans B si :

∀y ∈ B, ∃x , y = f (x ).

I On dit que f est bijective de A dans B si elle est à la fois injective sur A et surjective dans B.

Exercice

Déterminer des ensembles A et B pour lesquels les fonctions

puissance n-ième sont injectives, surjectives, bijectives.

Réciproque, composition des fonctions

Propriété

Soit f définie sur D _f , A une partie de D _f et B une partie de R . La fonction f est injective sur A si et seulement si tout réel y au plus un antécédent par f dans A.

La fonction f est surjective dans B si et seulement si tout réel y de B a au moins un antécédent par f .

La fonction f est bijective de A dans B si et seulement si tout

élément y de B a exactement un antécédent dans A.

Réciproque, composition des fonctions

Définition (Fonction réciproque)

Si f est bijective de D _f sur son image f (D _f ) alors le procédé qui à tout élément y de E associe son unique antécédent x par f définit une fonction numérique, notée f ⁻¹ .

f ⁻¹ est appelée fonction réciproque ou inverse de f .

Exemple

Fonction réciproque de la fonction racine carrée x 7→ √

x définie sur

R + .

Logarithme Népérien

Définition (Logarithme Népérien)

On appelle Logarithme Népérien, noté ln, l’unique fonction définie sur R ^∗ ₊ = ]0, +∞[ telle que

ln(1) = 0 et ln ⁰ (x ) = 1

x pour tout x > 0

x y

y=ln(x)

e

Logarithme Népérien

Propriété (Logarithme Népérien)

I La fonction ln est une bijection croissante de R ^∗ + = ]0, +∞[

dans R .

I Il existe un unique réel e tel que ln(e) = 1, et e ' 2, 72.

I Pour tous réels a > 0 et b > 0 :

ln (a b) = ln(a) + ln(b)

I Pour tous réels a > 0 et b > 0 : ln a

b

= ln(a) − ln(b)

I Pour tout réel a > 0 et tout entier relatif n ∈ Z :

ln(a ⁿ ) = n ln(a)

Logarithme Népérien

Exercice

Calculer ou simplifier les expressions suivantes : ln(e ² ); ln(1000); ln(24) − ln(8); ln

1 e

.

Logarithme en base a

Définition (Logarithme en base a)

Soit a 6= 1 un nombre réel strictement positif fixé. On appelle Logarithme en base a, noté log _a , la fonction définie sur R ^∗ + par

log _a : x 7→ log _a (x ) = ln(x ) ln(a) .

Exemple

Ainsi le Logarithme en base 2 est la fonction log ₂ : x 7→ log _a (x ) = ln(x )

ln(2) Le Logarithme en base 10 est la fonction

log ₁₀ : x 7→ log ₁₀ (x ) = ln(x )

ln(10)

Logarithme en base a

Définition (Logarithme en base a)

Soit a 6= 1 un nombre réel strictement positif fixé. On appelle Logarithme en base a, noté log _a , la fonction définie sur R ^∗ + par

log _a : x 7→ log _a (x ) = ln(x ) ln(a) . Exemple

Ainsi le Logarithme en base 2 est la fonction log ₂ : x 7→ log _a (x ) = ln(x )

ln(2) Le Logarithme en base 10 est la fonction

log ₁₀ : x 7→ log ₁₀ (x ) = ln(x )

ln(10)

Logarithme en base a

Logarithme en base a

I La fonction log _a est une bijection croissante de R ^∗ + = ]0, +∞[

dans R .

I On a log _a (1) = 0 et log _a (a) = 1

I Pour tous réels c > 0 et d > 0 :

log _a (c d ) = log _a (c ) + log _a (d ), log _a c

d

= log _a (c ) − log _a (d ).

I Pour tout réel c > 0 et tout entier relatif n ∈ Z : log _a (c ⁿ ) = n log _a (c)

et en particulier log _a (c ⁻¹ ) = log _a 1

c

= − log _a (c )

Logarithme en base a

Exemple Simplifier :

a) log ₂ (4) − log ₂ (2) b) log ₂ (8) − log ₂ (0, 5)

c) log ₂ (1) + log ₁₀ (1) + log ₁₀ (10)

Logarithme en base a

Logarithme en base a bis

I Pour tout réel c > 0 on a

log _a (a c) = log _a (c) + 1

I On suppose que a > 1. Dans ce cas, pour tout réel c > 0 on a :

n est la partie entière de log _a (c) (c’est-à-dire n ≤ log _a (c) < n + 1) si et seulement si

a ⁿ ≤ c < a ⁿ⁺¹

Logarithme en base a

Exemple

Dans le cas du Logarithme en base 10, c’est-à-dire a = 10, on obtient

log ₁₀ (10 c) = log ₁₀ (c) + 1,

et la partie entière de log ₁₀ (c ) est le nombre entier n tel que 10 ⁿ ≤ c < 10 ⁿ⁺¹

ou autrement dit tel que c est dans l’intervalle [10 ⁿ , 10 ⁿ⁺¹ [ . Exemple

Le pH d’une solution est donné par la formule

pH = − log ₁₀ ([H ⁺ ])

où [H ⁺ ] est la concentration en ions [H ₃ O ⁺ ].

Fonction exponentielle

Définition (Exponentielle)

La fonction exponentielle, notée exp, est l’unique fonction définie sur R qui vaut 1 en x = 0 et qui est égale à sa dérivée sur R :

exp(0) = 1 et exp ⁰ (x ) = exp(x ) pour tout réel x

x

y y=exp(x)

e

1 1

Fonction exponentielle

fonction exponentielle

I La fonction exp est la fonction réciproque de la fonction ln : c’est une bijection strictement croissante de R dans

R ^∗ + = ]0, +∞[ , et

∀x , ln(exp(x )) = x et ∀x > 0, exp(ln(x )) = x

I en particulier : exp(1) = e.

I Pour tous réels a et b :

exp(a + b) = exp(a) exp(b),

exp(a − b) = exp(a)

exp(b) , exp(−a) = 1 exp(a)

I Pour tout réel a et tout entier relatif n ∈ Z :

exp(n a) = exp(a) ⁿ

Fonction exponentielle

Exemple

Calculs de exp(2x ), exp(x ² ) et exp(2 ln(2)) (deux méthodes pour ce dernier).

Notation

Pour tout nombre réel a strictement positif et pour tout nombre réel b on pose

a ^b = exp(b ln(a)).

Puisque ln(e ) = 1, cela permet de donner une autre notation pour la fonction exponentielle :

pour tout réel x, exp(x ) = e ^x .

Fonction exponentielle

Exemple

Calculs de exp(2x ), exp(x ² ) et exp(2 ln(2)) (deux méthodes pour ce dernier).

Notation

Pour tout nombre réel a strictement positif et pour tout nombre réel b on pose

a ^b = exp(b ln(a)).

Puisque ln(e ) = 1, cela permet de donner une autre notation pour la fonction exponentielle :

pour tout réel x, exp(x ) = e ^x .

Fonction exponentielle

Remarque

Cette notation est bien compatible avec celle des fonctions puissances, au sens que pour tout réel x et pour tout entier n > 0 on a

x ⁿ = exp(n ln(x )) = e ^{n ln(x)} = x × x . . . × x

| {z }

n fois

.

Racine n-ième

Pour tout entier n > 0, la fonction définie sur R + = [0, +∞[ par x 7→ x

=

e

^ln(x) si x > 0,

0 si x = 0

est la fonction réciproque de la fonction x 7→ x ⁿ définie sur R + , autrement dit c’est la fonction racine n-ième :

x

= √

x .

Fonction exponentielle

Remarque

Cette notation est bien compatible avec celle des fonctions puissances, au sens que pour tout réel x et pour tout entier n > 0 on a

x ⁿ = exp(n ln(x )) = e ^{n ln(x)} = x × x . . . × x

| {z }

n fois

.

Racine n-ième

Pour tout entier n > 0, la fonction définie sur R + = [0, +∞[ par x 7→ x

=

e

^ln(x) si x > 0,

0 si x = 0

est la fonction réciproque de la fonction x 7→ x ⁿ définie sur R + , autrement dit c’est la fonction racine n-ième :

x

= √

x .

Fonction exponentielle

Règles de calcul

Pour tous réels a > 0 et b > 0 et tous réels c et d on a a ⁰ = 1,

a ^c+d = a ^c a ^d , a ^c−d = a ^c a ^d , a

b c

= a ^c

b ^c , (a ^c ) ^d = a ^{c d} .

Fonction exponentielle

Définition

Soit a un nombre réel, la fonction puissance a est définie sur R ^∗ ₊ = ]0, +∞[ par

x 7→ x ^a = e ^{a ln(x)} .

Lorsque a > 0, on définit ces fonctions sur R + = [0, +∞[ en

posant 0 ^a = 0.

Fonction exponentielle

x y

a < 0 a = 0 0 < a < 1 a = 1 a > 1

1

1

Fonction exponentielle

Définition

Soit a un nombre réel strictement positif, la fonction exponentielle de base a est définie sur R par

x 7→ a ^x = e ^{x ln(a)} . Remarque

La fonction exponentielle correspond au cas a = e .

Fonction exponentielle

x

y a > 1

0 < a < 1

Transformation de graphes

Propriété (Translation verticale)

Le graphe de la fonction g : x 7→ g (x ) = f (x ) + c s’obtient en déplaçant le graphe de f de c unités vers le haut dans le cas où c > 0, ou en le déplaçant de c unités vers le bas dans le cas où c < 0 :

x y

y=f(x) y=f(x) +1

Exemple

Tracer du graphe de la fonction x 7→ _x ¹ + 1 définie sur R ^∗ .

Transformation de graphes

Propriété (Translation horizontale)

Le graphe de la fonction g : x 7→ g (x ) = f (x + c ) s’obtient en déplaçant le graphe de f de c unités vers la gauche dans le cas où c > 0, ou en le déplaçantde c unités vers la droite dans le cas où c < 0 :

x y y=f(x+1)y=f(x)

Exercice

Tracer le graphe de la fonction x 7→ (x − 1) ² − 2 définie sur R .

Transformation de graphes

Propriété (Dilatation ou contraction verticale) Soit a 6= 0. Graphe de x 7→ g (x ) = a f (x ) :

I si a > 0 : contraction ou dilatation verticale d’un facteur a ;

I si a < 0 : contraction ou dilatation verticale d’un facteur |a|

après une symétrie par rapport à l’axe des abscisses ;

x y

y=f(x) y=2f(x)

x y

y=f(x)

y=−¹₂f(x)

Transformation de graphes

Exercice

On rappelle que la fonction gaussienne est définie sur R par f : x 7→ e ⁻

2 2

:

x y

y = f (x)

Tracer les graphes des fonctions x 7→ 2 f (x ) et x 7→ −f (x ).

Transformation de graphes

Propriété (Dilatation ou contraction verticale) Soit a 6= 0. Graphe de x 7→ g (x ) = f (a x ) :

I si a > 0 : contraction ou dilatation horizontale d’un facteur ¹ _a ;

I si a < 0 : contraction ou dilatation horizontale d’un facteur _|a| ¹ après une symétrie par rapport à l’axe des ordonnées ;

x y

y=f(x)

y=f(2x)

x y

y=f(x) y=f −¹₂x