Graphe d’une fonction numérique

Graphe d’une fonction numérique

Définition (Graphe d’une fonction)

Le graphe de f (ou courbe représentative de f ) est l’ensemble : graph(f ) = { (x, f (x)) : x ∈ D f } .

L’équation y = f (x) est l’équation cartésienne du graphe de f .

x

y y=x²

y=3

y=√ 3 y=−√

3

Graphe d’une fonction numérique

Exemple (Puissance entière)

Soit n ∈ N ^∗ . La fonction “puissance n-ième” est la fonction x �→ x ⁿ

définie sur R (à connaître pour n = 2, n = 3, n grand).

Graphe d’une fonction numérique

Exemple (Fonction inverse)

Tracé des graphes de la fonction inverse f : x �→ ¹ _x et x �→ E (x).

Définition (Image et antécédent)

Si x ∈ D f , le nombre f (x) est appelé image de x par f . L’ensemble

f (D f ) = {f (x) : x ∈ D f } est l’ensemble image de f .

Si y ∈ R, on appelle antécédent de y par f tout réel x tel que

f (x) = y.

Remarque

Un réel peut n’avoir aucun antécédent, peut en avoir un seul, ou

plusieurs.. voire une infinité.

Définition (Restriction d’une fonction)

Soit A un sous-ensemble de D f , on appelle restriction de f à A la fonction notée f _{| A} définie sur D f

= A par f _{| A} (x ) = f (x) pour tout x ∈ A.

Exemple

Expression de la restriction x �→ | x | à R − = ] − ∞ , 0].

Propriété (Graphe d’une restriction)

x y

graph(f )

x y

graph(f _| A )

A Exemple

Tracé du graphe de la restriction de la fonction inverse à l’ensemble

R ^∗ + = ]0 , + ∞ [ .

Image directe - image réciproque

Définition (Réciproque)

� Soit A inclus dans D f , l’image directe de A par f est : f (A) = { f (x) : x ∈ A }

� Soit B inclus dans R, l’image réciproque de B par f est :

f ⁻¹ (B ) = {x : f (x) ∈ B}

Réciproque, composition des fonctions

Définition (Composée de fonctions)

La fonction composée de f par g est la fonction définie sur f ⁻¹ (D g ) par :

g ◦ f : x �→ g (f (x))

Réciproque, composition des fonctions

Exemple

Déterminer les fontions g ◦ f et f ◦ g dans les cas suivants :

� f : x �→ x ² et g : x �→ x + 1 définies sur R.

� f : x �→ x ² et g : x �→ √

x définies sur R ⁺ .

Réciproque, composition des fonctions

Définition (Injectivité)

On note A une partie de D f et B une partie de R .

� On dit que f est injective sur A si :

∀ x, x ^� ∈ A, x � = x ^� = ⇒ f (x) � = f (x ^� ).

� On dit que f est injective si elle est injective sur D f .

Réciproque, composition des fonctions

Définition (Surjectivité)

� On dit que f est surjective dans B si :

∀ y ∈ B, ∃ x, y = f (x).

Réciproque, composition des fonctions

Définition (Bijectivité)

On note A une partie de D f et B une partie de R .

� On dit que f est bijective de A dans B si sa restriction f _| A est

à la fois injective sur A et surjective dans B.

Réciproque, composition des fonctions

injectivité / surjectivité / bijectivité en termes d’antécédent.

Réciproque, composition des fonctions

Définition (Fonction réciproque)

Si f est bijective de D f sur son image f (D f ) alors le procédé qui à tout élément y de E associe son unique antécédent x par f définit une fonction numérique, notée f ⁻¹ .

f ⁻¹ est appelée fonction réciproque ou inverse de f .

Exemple

Fonction réciproque de la fonction racine carrée x �→ √

x définie sur

R + .

Réciproque, composition des fonctions

Logarithme Népérien

Définition (Logarithme Népérien)

On appelle Logarithme Népérien, noté ln, l’unique fonction définie sur R ^∗ + = ]0, + ∞ [ telle que

ln(1) = 0 et ln ^� (x) = 1

x pour tout x > 0

x y

y=ln(x)

Logarithme Népérien

� La fonction ln est une bijection croissante de R ^∗ + = ]0 , + ∞ [ dans R .

� Il existe un unique réel e tel que ln(e ) = 1, et e � 2 , 72.

x y

y=ln(x)

Logarithme Népérien

� Pour tous réels a > 0 et b > 0 :

ln (a b) = ln(a) + ln(b) et ln � a b

� = ln(a) − ln(b)

� Pour tout réel a > 0 et tout entier relatif n ∈ Z : ln(a ⁿ ) = n ln(a)

x y

y=ln(x)

Logarithme Népérien

Exercice

Calculer ou simplifier les expressions suivantes : ln(e ² ); ln(1000); ln(24) − ln(8); ln

� 1 e

�

.

Logarithme en base a

Définition (Logarithme en base a)

Soit a � = 1 un nombre réel strictement positif fixé. On appelle Logarithme en base a, noté log _a , la fonction définie sur R ^∗ + par

log _a : x �→ log _a (x) = ln(x)

ln(a) .

Logarithme en base a

Définition (Logarithme en base a)

Soit a � = 1 un nombre réel strictement positif fixé. On appelle Logarithme en base a, noté log _a , la fonction définie sur R ^∗ + par

log _a : x �→ log _a (x) = ln(x) ln(a) .

� On a log a (1) = 0 et log _a (a) = 1

Logarithme en base a

Exemple Simplifier :

a) log ₂ (4) − log ₂ (2) b) log ₂ (8) − log ₂ (0, 5)

c) log ₂ (1) + log ₁₀ (1) + log ₁₀ (10)

Logarithme en base a

Logarithme en base a bis

� On suppose que a > 1, alors pour tout réel c > 0 on a :

a ⁿ ≤ c < a ^{n+ 1} ⇔ n est la partie entière de log a (c )

Logarithme en base a

Fonction exponentielle

Définition (Exponentielle)

La fonction exponentielle, notée exp, est l’unique fonction définie sur R qui vaut 1 en x = 0 et qui est égale à sa dérivée sur R :

exp(0) = 1 et exp ^� (x) = exp(x) pour tout réel x

x

y y=exp(x)

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Fonction exponentielle

fonction exponentielle

� La fonction exp est la fonction réciproque de la fonction ln : c’est une bijection strictement croissante de R dans

R ^∗ + = ]0, +∞[ , et

∀ x, ln(exp(x)) = x et ∀ x > 0 , exp(ln(x)) = x

� en particulier : exp(1) = e.

x

y y=exp(x)

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