Université de Cergy-Pontoise Janvier 2013
L1-SV Mathématiques pour les Sciences
Durée 2 heures, documents interdits
Premier Exercice
On étudie donc la fonction f(x) = e(1/x)√ x+ 4.
1. Le domaine de définition def estDf = [−4,0[∪]0,+∞[
2. On a f0(x) =−x12e(1/x)+ e(1/x)2√1x+4 = 2xe2(1/x)√x+4(x2−2x−8). Les racines de l’équation x2−2x−8 = 0 sont −2 et4. On en déduit donc que f0 est positive sur ]−4,−2[∪]4,+∞[et négative sur ]−2,0[∪]0,4[.
3. On af(−4) = 0,limx→0−f(x) = 0,limx→0+f(x) = +∞ etlimx→+∞f(x) = +∞.
4. Tableau de variation def. x
f0(x)
f(x)
−4 −2 0 4 +∞
+ 0 − − 0 +
0 0
0.86 0.86
0 +∞
3.63 3.63
+∞
+∞
5. Courbe représentative def
1 2 3 4 5 6 7 8 9
−1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
−1
−2
−3
−4
Second Exercice
On considère les deux nombres complexes z1= 12 +
√3
2 ietz2=
√2 2 −
√2
2 i. On pose z3=z1z2. 1. On aRe(z3) = 12 ×
√ 2 2 −
√ 3 2 ×(−
√ 2 2 ) =
√ 2+√
6
4 etIm(z3) = 12 ×(−
√ 2 2 ) +
√ 3 2 ×
√ 6 4 = −
√ 2+√
6
4 .
2. |z1|=|z2|= 1. Un argument de z1 est π3 et un argument de z2 est−π4. On en déduit donc que z1 = eiπ3 etz2 = e−iπ4
3. En utilisant les formes trigonométriques de z1 etz2, on obtientz3 = ei(−π4+π3) = ei12π
4. On sait quez3= cos(12π) +isin(12π). En utilisant la question 1, on obtient :cos(12π) = Re(z3) =
√ 2+√
6
4 .
1
Troisième Exercice
1. On utilise une intégration par parties en posant u0(x) = 1 d’où u(x) = x et v(x) = arctanx, d’où v0(x) = 1+x12. Ce qui donne :
R1
0 arctanx dx=h
xarctanxi1 0
−R1 0
x
1+x2dx= π4 −h
1
2ln(1 +x2)i1
0 = π4 −12ln 2.
2. Posonsu=√
t. On a alorsdu= 1
2√
tdt, ce qui donne R4
1 1−√
t
t dt=R2 1
1−u
u2 2u du= 2R2
1(u1 −1)du= 2h
lnu−ui2
1 = 2 ln 2−2
Quatrième Exercice
1. Soit f la fonction définie par : f(x) = x(x21+1) sur I =]0,+∞[ On cherche a, b et c telles que, pour toutx deI,f(x) = ax+xbx+c2+1. Onf(x) = (a+b)xx(x22+cx+a+1) . En procédant par identification, on obtient a= 1, b=−1 etc= 0.
2. f(x) = ax −x2x+1. Les primitives de f sont données par F(x) = lnx−12ln(1 +x2) +C, oùC ∈R. 3. Soit l’équation différentielle :xy0−y= 1+xx 2 (E)
(a) L’équation sans second membre esty0−1xy= 0. Les solutions sonty(x) =Celnx=Cx, avecC ∈R. (b) On applique la méthode de variation de la constante. On ay0(x) =C0(x)x+C(x). En remplaçant dans l’équation avec second membre, on obtientx(C0(x)x+C(x))−C(x)x= x2x+1. D’oùC0(x) = x(x12+1). D’après la question 2,C(x) = lnx−12ln(1 +x2). Une solution particulière de l’équation complète est donc y0(x) =xlnx+12xln(1 +x2).
(c) Les solutions de(E) sont y(x) =Cx+xlnx+12xln(1 +x2), où C∈R.
Cinquième Exercice
1. L’équation caractéristique est r2−4r+ 13 = 0. Les racines de cette équation sont 2 + 3i et2−3i. Les solutions de l’équation différentielle sont doncy(x) =Ae2xcos(3y) +Be2xsin(3y) avec AetB réels.
2. L’équation caractéristique est r2−3r+ 2 = 0. Les racines de cette équation sont 1 et2. Les solutions de l’équation différentielle sont doncy(x) =Aex+Be2x avec A etB réels.
2