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Université de Cergy-Pontoise Janvier 2013

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

Université de Cergy-Pontoise Janvier 2013

L1-SV Mathématiques pour les Sciences

Durée 2 heures, documents interdits

Premier Exercice

On étudie donc la fonction f(x) = e(1/x)√ x+ 4.

1. Le domaine de définition def estDf = [−4,0[∪]0,+∞[

2. On a f0(x) =−x12e(1/x)+ e(1/x)21x+4 = 2xe2(1/x)x+4(x2−2x−8). Les racines de l’équation x2−2x−8 = 0 sont −2 et4. On en déduit donc que f0 est positive sur ]−4,−2[∪]4,+∞[et négative sur ]−2,0[∪]0,4[.

3. On af(−4) = 0,limx→0f(x) = 0,limx→0+f(x) = +∞ etlimx→+∞f(x) = +∞.

4. Tableau de variation def. x

f0(x)

f(x)

−4 −2 0 4 +∞

+ 0 − − 0 +

0 0

0.86 0.86

0 +∞

3.63 3.63

+∞

+∞

5. Courbe représentative def

1 2 3 4 5 6 7 8 9

−1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

−1

−2

−3

−4

Second Exercice

On considère les deux nombres complexes z1= 12 +

3

2 ietz2=

2 2

2

2 i. On pose z3=z1z2. 1. On aRe(z3) = 12 ×

2 2

3 2 ×(−

2 2 ) =

2+

6

4 etIm(z3) = 12 ×(−

2 2 ) +

3 2 ×

6 4 =

2+

6

4 .

2. |z1|=|z2|= 1. Un argument de z1 est π3 et un argument de z2 est−π4. On en déduit donc que z1 = eiπ3 etz2 = e−iπ4

3. En utilisant les formes trigonométriques de z1 etz2, on obtientz3 = ei(−π4+π3) = ei12π

4. On sait quez3= cos(12π) +isin(12π). En utilisant la question 1, on obtient :cos(12π) = Re(z3) =

2+

6

4 .

1

(2)

Troisième Exercice

1. On utilise une intégration par parties en posant u0(x) = 1 d’où u(x) = x et v(x) = arctanx, d’où v0(x) = 1+x12. Ce qui donne :

R1

0 arctanx dx=h

xarctanxi1 0

−R1 0

x

1+x2dx= π4 −h

1

2ln(1 +x2)i1

0 = π412ln 2.

2. Posonsu=√

t. On a alorsdu= 1

2

tdt, ce qui donne R4

1 1−

t

t dt=R2 1

1−u

u2 2u du= 2R2

1(u1 −1)du= 2h

lnu−ui2

1 = 2 ln 2−2

Quatrième Exercice

1. Soit f la fonction définie par : f(x) = x(x21+1) sur I =]0,+∞[ On cherche a, b et c telles que, pour toutx deI,f(x) = ax+xbx+c2+1. Onf(x) = (a+b)xx(x22+cx+a+1) . En procédant par identification, on obtient a= 1, b=−1 etc= 0.

2. f(x) = axx2x+1. Les primitives de f sont données par F(x) = lnx−12ln(1 +x2) +C, oùC ∈R. 3. Soit l’équation différentielle :xy0−y= 1+xx 2 (E)

(a) L’équation sans second membre esty01xy= 0. Les solutions sonty(x) =Celnx=Cx, avecC ∈R. (b) On applique la méthode de variation de la constante. On ay0(x) =C0(x)x+C(x). En remplaçant dans l’équation avec second membre, on obtientx(C0(x)x+C(x))−C(x)x= x2x+1. D’oùC0(x) = x(x12+1). D’après la question 2,C(x) = lnx−12ln(1 +x2). Une solution particulière de l’équation complète est donc y0(x) =xlnx+12xln(1 +x2).

(c) Les solutions de(E) sont y(x) =Cx+xlnx+12xln(1 +x2), où C∈R.

Cinquième Exercice

1. L’équation caractéristique est r2−4r+ 13 = 0. Les racines de cette équation sont 2 + 3i et2−3i. Les solutions de l’équation différentielle sont doncy(x) =Ae2xcos(3y) +Be2xsin(3y) avec AetB réels.

2. L’équation caractéristique est r2−3r+ 2 = 0. Les racines de cette équation sont 1 et2. Les solutions de l’équation différentielle sont doncy(x) =Aex+Be2x avec A etB réels.

2

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