Revue de Littérature
lanquetuit.cyril@gmail.com, Université de Cergy Pontoise
Table des matières
1 Green 2
1.1 Regression . . . 3
1.2 Maximum de vraissemblance . . . 3
1.3 Test statistique . . . 3
1.4 Méthode des Moments Généralisée . . . 4
2 Variable Aléatoire 4 2.1 Lois usuelles . . . 4
2.2 Convergences . . . 4
2.3 Loi des Grands Nombres . . . 4
2.4 Théorème Central Limite . . . 4
2.5 Test duχ2 . . . 5
3 RiskTolérance un outils en 3D 5 3.1 Measuring perception of Risk Tolérance . . . 5
3.2 Lotery . . . 5
4 Paradoxe d'Allais 6 5 The Market of "Lemons" 6 6 Kahneman Tversky 7 6.1 Prospect Theory : An Analysis of Decision under Risk 1979 . . . 7
6.2 Advances in Prospect Theory : Cumulative Representation of Un- certainty 1992 . . . 7
7 Thaler 7 8 Fréchet & Hausdor distances 7 8.1 Buchin Wenk, ComputingFrechetDistanceBetweenSimplePoly- gons 2008 . . . 7
8.2 Chamfert Matching Hausdor Distance, Ankur Datta, 2017 . . . 7
9 Robinson Crusoe Model 8
10 Nash 8
11 Paradoxe de Condorcet 8
12 Foundation of Risk Analysis, Terje Aven 8 12.1 Oshore Developpement Project . . . 8 12.2 Bayesian Analysis . . . 9
Abstract
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Lire des livres c'est long...
Références :
Wiliam H. Green, New York University, "EconometricsAnalysis" [8]
Thaler & Sunstein, Chicago & Harvard University, "Nudge" [17]
Becker & Posner, Nobel d'économie en 1992, "Sex & Pop" Chap.1 of "Un- common Sense" [14]
David Louapre,ENS Lyon, https ://sciencetonnante.wordpress.com/2011/02/21/laversion- au-risque/
Kahneman & Tversky, Nobel d'économie en 2002, "Prospect Theory" [18]
1979 & "Advances in Prospect Theory" [19] 1992
M. Allais, Nobel d'économie en 1988, "Le Comportement de l'Homme Ra- tionnel devant le Risque : Critique des Postulats et Axiomes de l'Ecole Ameri- caine" [2]
Stiglitz & Akerlof, Nobel d'économie en 2001, "The Market for Lemons" [1]
Stiglitz, "Pareto Ecient And The New New Welfare Economics", 1987 [16]
Chiappori, Fortin, Lacroix, "Marriage Market, Divorce Legislation and Hou- sehold Labor Supply", 2001 [13]
Chiappori, "Becker's Theory of the allocation of Time", 1965 [3]
"Rationnal Household Labor Supply", 1988 [4]
"Collective Labor Supply & Welfare", 1992 [5]
Mandelbrot, "How Long Is The Britain Coast ?", 1967 [10]
"Fréchet Distance Walking Dog In The Wood", 2008 [7]
Buchin&Wenk, "Computing Frechet Distance Between Simple Polygons", 2008 [9]
Rucklidge, "Comparing Image Using Hausdor Distance", 1992 [15]
Ankur Datta, "Chamfert Matching & Hausdor Distance", 2017 [6]
Nash, "Non-Cooperative Games", 1950 [12]
1 Green
Résumé des premiers chapitres du livre de Wiliam H. Green Econometric- sAnalysis :
2-8 Modèles linéaires 9-15 Modèles non-linéaires 16-18 Vraissemblance et Moments ...Série temporelle et autres exotismes
Le salaire croit jusqu'à 30 ans d'expérience puis décroit.
1.1 Regression
La regression linéaire c'est bien mais si on cherche à modéliser une relation entre deux variable qui n'est pas linéaire, c'est moche...
Variance :σ2=E[Z(x)2] −E[Z(x)]2
Propriété :V ar(∑iλiZ(xi)) = ∑(i,j)λiλjC(xixj)
Covariance :C(h) =E[Z(x+h)Z(x)]−E[Z(x+h)]E[Z(x)]et on a−C(0) ≤ C(h) ≤C(0)
Coecient de correlationρ∶1≤σxy/(σxσy) ≤1
Regression linéaire :(Z1−m1)/σ1=ρ(Z2−m2)/σ2 oùρ=σ12/(σ1σ2) Regression linéaire multiple :
y=Xb+ moindres carrés : e=y−Xb
minimiser e'e revient à annulerd(e′e)/dbc'est à direX′y=X′Xbautrement ditb= (X′X)−1X′y formule similaire au cas simpleb= (x′y)/(x′x)
puisque Z1 = σ1/σ2∗ (Z2−m2) +m1 = (σ12/σ22)(Z2−m2) +m1doncY = a+bXavecb=σ12/σ22
σ122=E[(XY −E[XY])2] = ∑(xiyi−x′y/n)2/n= ∑(xiyi)2/n+ (x′y/n)2− 2(x′y)(x′y)/n2= ∑(xiyi)2/n− (x′y/n)2
σ22 = E[(X −E[X])2] = ∑(xi− ∑(xi)/n)2/n = ∑(xi2)/n+ (∑(xi)/n)2− 2∑(xi) ∑(xi)/n2= ∑(xi2)/n− (∑(xi)/n)2
b=x′y(1−(mxy/x′y)2)12/(x′x(1−mx2/(x′x))) = (x′y)/(x′x)∗(1−(1/n)2)12/(1− mx2/x′x)
(1− (1/n)2)12/(1−mx2/x′x)− >1 puisque (1−mx2/x′x) (1− (1/n)) (1− (1/n)2)12 doncb= (x′y)/(x′x)
Si on noteRxyz2 le carré de la corrélation entre les mesures et le modèle obtenu en prédisant X par Y et Z deux autres variables, Rx, yz2 = Rx, y2+ (1−Rx, y2)ryz2 où ryz est la corrélation partielle entre y = X −ρxy∗Y et z=X−ρxz∗Z résidus des regression linéaire de Y et Z sur X
En résumé :
On cherche les paramètresθi d'un modèle à partir des données expérimen- talesyi et des certaines variables explicativesxi
Le modèle sera une fonction m et on cherchera à vérier si on a bienyi = m(θj, xk)
Pour la regression linéaire multiple les paramètre à estimer c'est les coef- cient de b, la matrice X les variable explicatives et les yi les valeurs prises expérimentalement par la variable Y
1.2 Maximum de vraissemblance
La probabilité d'obtenir un résultat connaissant les paramètres du modèle peut être vu comme une proba des paramètre connaissant les résultatf(data∣θ) = f(y1, ..., yn∣θ1<i<m) =P i(f(yi∣θ1<i<m)) =L(θ∣y1<i<n) =L(θ∣data)
b= (X′X)−1(X′y)est l'estimateur de b qui maximise la vraissemblance
1.3 Test statistique
Condence intervalle test, Likelihood Ratio test, Wald Test, ... On formule
tuelle de la valeur estimée d'un paramètre à un intervalle de conance, par exemple 95% d'une loi normale donne un intervalle [a,b] dans lequel doit se trouver la moyenne
1.4 Méthode des Moments Généralisée
mk = sum(yik)/n, F or1 < k < K, mk = µk(θ1<i<K) K équations indépen- dantes, K paramètres à estimer
2 Variable Aléatoire
2.1 Lois usuelles
BernouilliB(p)P(X=1) =pP(X=0) =1−p"pile ou face"
BinomialeB(n, p)P(X=k) =Cn, k∗pk∗(1−p)(n−k)"k succès sur n lancés pile ou face"
Poisson P(λ) =lim(T− > ∞)B(T, λ/T)P(X = k) = exp(−λ) ∗λk∗k!λ>=
5=>poisson− >N(λ, λ)
"La pêche !" P(lambda=nombre de lancé*proba d'avoir une touche)P(X = ktouches) =exp(−λ) ∗λk∗k!lorsque le nombre de lancés est grand
Si X suit B(n, p) avec n grand (>20 à 50), n*p petit (<5 à 7), X suit P(λ=n∗p)
Si X suit B(n, p) avec n grand (>20 à 50), n*p grand (>7 à 10), X suit N(µ=n∗p, σ2=n∗p∗ (1−p))
GéométriqueG(p)P(X=k) =p∗ (1−p)(k−1)"1 pile sur k lancés"
UniformeU(a, b)f(x) =1/(b−a)
NormaleN(µ, σ2)f(x) =exp(−(x−µ)2/(2∗σ2))/√
(2∗Π) ∗σ2 χ2(n) < −Σ(i=1..n)Xi2oùXisuitN(0,1)
2.2 Convergences
en Proba∀>0, lim(n− > ∞)P(∣Xn−X∣ >)− >0 en Loi∀f ∈Cb0(Rd, R), lim(n− > ∞)E[f(Xn)] =E[f(x)]
converge en proba => converge en Loi
2.3 Loi des Grands Nombres
La moyenne d'une somme de v.a.r. i.i.d. de même espérence mu converge en proba vers une v.a.r. constante mu
2.4 Théorème Central Limite
Si (Xi) v.a.r. i.i.d,∀1<=i<=n, E[Xi] =µ, V ar[Xi] =σ2alorsn1/2∑(i=1,n)(Xi− µ)/σsuit une loi normale centrée réduite
Echantillonnage , statistiques , proba : Données -> Stats -> Modèle pro- pabiliste théorique -> Test statistique : adéquation données-modèle (indice de conance)
La densité d'une somme de VA est la convolé des densités
2.5 Test du χ
2Pour tester si une population répartie en r classes est bien distribuée selon une loi de proba données on test si∑(i=1,r)(Oi−T i)2/T i>χ2(r−1)
Si la proba que X suivant une loiχ2 à r-1 degré de liberté soit supérieur à
∑(Oi−T i)2/T iest <1/2, l'hypothèse de distribution est réfutée
3 RiskTolérance un outils en 3D
theta l'aversion au risque, lambda l'aversion aux pertes, gamma la déforma- tion des proba
lambda> <theta
-1vs1,p=1/2 ou 0 1 ou 0vs2,p=1/2
Loterie de Type2 :L(r0, r1, r2,1/2)où r0 rendement certain, r1 rendement défavorable, r2 rendement favorable, 0<r1<r0<r2 => évalue theta
Loterie de Type3 :L(r0, r1, r2, )oùr1<0<r0<r2 et epsilon proba faible d'issue défavorable
Loterie de Type4 :L(r0, r1, r2,1−)oùr1<r0<<r2et epsilon proba faible d'issue favorable plus utilisé depuis Juin 2014
3.1 Measuring perception of Risk Tolérance
RiskTolerance = 1/(aversion)
RiskAppetite RiskTolerance : min/max threshold level of risk Grable Lytton scale better than Survey of Consumer Finances one Girls are more risk averse than boy on both scales
RiskTolerance f croissante of Education, of Ownership of risky asset
3.2 Lotery
La lotterie Li permet de dire si on est + ou - risque averse que le seuil thetai S1 S2
L4r inf -4% -11.00%
r safe 3% -4%
r sup 16% 9%
L2r inf -4% -11%
r safe 3% -4%
r sup 12% 5%
L6r inf -2% -9%
r safe 3% -4%
r sup 16% 9%
L1r inf -4% -11%
r safe 3% -4%
r sup 11% 4%
L3
r safe 3% -4%
r sup 14% 7%
L5r inf -3% -10%
r safe 3% -4%
r sup 16% 9%
L7r inf -1% -8%
r safe 3% -4%
r sup 16% 9%
-Type 2 Type 3 Type 4 AMF : S1 OEE : S1 OEE : S4 AMF : S2 OEE : S2 AMF : S3 OEE : S3 L4 r inf -4r safe 3r sup 16proba rinf 0.5 0.06 0.92 seuils 1.84 1.91 1.87 1.97 0.55 0.67 espérance 6.00L2 r inf -4r safe 3r sup 12proba rinf 0.5 0.13 0.94 seuils 3.27 3.39 3.07 3.15 2.68 2.79 espérance 4.00L6 r inf -2r safe 3r sup 16proba rinf 0.5 0.01 0.88 seuils 5.31 5.51 4.55 4.61 4.61 4.71 espérance 7.00L1 r inf -4r safe 3r sup 11proba rinf 0.5 0.17 0.95 seuils 6.67 6.92 6.03 6.09 6.4 6.49 espérance 3.50L3 r inf -4r safe 3r sup 14proba rinf 0.5 0.09 0.93 seuils 8.95 9.29 8.34 8.38 9.69 9.75 espérance 5.00L5 r inf -3r safe 3r sup 16proba rinf 0.5 0.03 0.9 seuils 12.01 12.47 11.68 11.7 12.72 12.77 espérance 6.50L7 r inf -1r safe 3r sup 16proba rinf 0.5 0.005 0.85 seuils 16.39 17.01 13.67 13.68 17.02 17.06 espérance 7.50
4 Paradoxe d'Allais
mentionné en 1953 par l'économiste (et prix Nobel d'économie) français Maurice Allais.
A : gagner 100¿ de manière certaine ; B : gagner 150¿ avec 90% de chance ; C : gagner 100¿ avec 10% de chance ; D : gagner 150¿ avec 9% de chance ;
Entre A et B, la majorité va choisir l'option A, avec un gain certain.
Entre C et D, la majorité va choisir l'option D, car le gain est plus élevé et la diérence de probabilité nous paraît négligeable.
5 The Market of "Lemons"
Asymetric information implies disadvantage for seller : q< buyer price < 3/2 * q
if no quality info for buyer, hyp : q = 1/2 => buyer max price = 3/4 in such condition a seller who sell good quality automobile (q=1) can not nd a buyer with selling price of 1
6 Kahneman Tversky
6.1 Prospect Theory : An Analysis of Decision under Risk 1979
In prospect theory 2 phases in the choice process :
The editing phase : preliminary analysis of the oered prospects, which often yields a simpler representation of these prospects
The evaluation phase : edited prospects are evaluated and the prospect of highest value is chosen
it's easier to discriminate a change between 3° and 6° than between 13° and 16° like it makes happier to increase gains from 100 to 200 than from 1100 to 1200=> concavity of utility fonction
we hypothesize that the value function for changes of wealth is normally concave above the reference point (v"(x) < 0, for x > 0) and often convex below it (v"(x) > 0, for x < 0)
6.2 Advances in Prospect Theory : Cumulative Represen- tation of Uncertainty 1992
gamma : déformation des proba
Prelec formula :w(p) =pγ/(pγ+ (1−p)γ)1/γ
Expected Utility :U((a, pa, b, pb)) =w(pa)U(a) +w(pb)U(b)
7 Thaler
Thaler Sunstein, Chicago Harvard University, "Nudge"
Human perception is deformed : "Nous ne sommes pas des écônes !"
p42-43 : Table example [Adapté de Shepard 1990]
8 Fréchet & Hausdor distances
8.1 Buchin Wenk, ComputingFrechetDistanceBetween- SimplePolygons 2008
The Fréchet distance is bounded from below by the Hausdor distance for any given pair of piecewise-linear curves(δF≥δH)because for convex polygo- nal curves the Fréchet and Hausdor distances are equal while for other path geometries the Fréchet distance can become arbitrarily larger than the Hausdor distance
8.2 Chamfert Matching Hausdor Distance, Ankur Datta, 2017
Appliction of Hausdor distance to detect the shape of a hand in a video
9 Robinson Crusoe Model
J.B.Hill, University of North Carolina, "Classical-Model"
Robinson Crusoe Model : 1 worker, 1 rm, coconuts leisure
10 Nash
Non-Cooperative Games Nash, 1950 (27 pages Thesis)
Pierre < papier < ciseau : pas de stratégie pure gagnante mais la stratégie mixte qui consiste à jouer aléatoirement chaque choix avec la probabilité 1/3 constitue un équilibre de Nash
11 Paradoxe de Condorcet
(1785) : intransitivité de la majorité 1/3 préfère Pierre<Feuille<Ciseau 1/3 préfère Feuille<Ciseau<Pierre 1/3 préfère Ciseau<Pierre<Feuille
Donc 2/3 préfère Pierre<Feuille, 2/3 préfère Feuille<Ciseau et pourtant 2/3 préfère Ciseau<Pierre
Si pour une élection il y a 3 candidats ABC que les % de votant se répartissent selon les préférences suivantes :
40 ABC 30 BCA 3 BAC 15 CAB 12 CBA
En cas d'arontement au second tour d'une élection : 55 AB
73 BC 57 CA
Ce qui conduit au paradoxe A>B>C>A
Pratiquement, le scrutin uninominal majoritaire à deux tours peut faire ar- river en troisième place un candidat qui battrait en duel les deux qualiés du second tour : malgré l'existence du paradoxe de Condorcet, il existe des cas où le vainqueur suivant la méthode de Condorcet serait établi sans conit, et pourtant il perd avec les méthodes de scrutin appliquées.
12 Foundation of Risk Analysis, Terje Aven
12.1 Oshore Developpement Project
A p=0,15 x 1m x 50M/m
B p=0,1x0,5mx50M/m + 0,05x1,5mx50M/m + 0,01x2,5mx50M/m
=>Delay Cost = 7,5M What is a good decision ?
Bank 1+X vs Invest 1+Y : X < Y ?
But what about the dev of oshore oil and gas eld ?
=>cost, environment, safety, reputation politics issues...
==>multi criteria decision Basic cost-benet Risk analysis :
Word = Y => Uncertainty assessment, Risk analysis = P(Y) => Cost- Benet Analysis = perf(Y) => Managerial review judgement => Decision
Basic utility decision making process :
Word =Y=> Utility Uncertainty assessment, Risk analysis =u(Y), P(Y)=>
Opti+proba calculus =EU(Y)=> Managerial review judgement => Decision EU= ∑(Pi∗Ui)
12.2 Bayesian Analysis
Medical Test : X=1 disease, X=0 sain vs Observations : Y=2 serious ill, Y=1 ill, Y=0 not ill
P(Y=2)=2%, P(Y=1)=10%, P(Y=0)=88%
P(X=1/Y=2)=90%, P(X=1/Y=1)=60%, P(X=1/Y=0)=10%
likelyhood function L(Y) : f(Y/X) = L(Y)f(Y)/f(X) P(Y=2/X=1)=P(X=1/Y=2)*P(Y=2)/P(X=1)=0,11 P(Y=1/X=1)=0,36
P(Y=0/X=1)=0,53
with a second independant test with same probabilities :
P=P(Y=2/X1=1,X2=1)=P(X1=1/Y=2)*P(Y=2/X2=1)/P(X1=1/X2=1)
P=P(X1=1/Y=2)*P(Y=2/X2=1)/[P(X1=1/Y=2)*P(Y=2/X=1)+P(X1=1/Y=1)*P(Y=1/X=1)+P(X1=1/Y=0)*P(Y=0/X=1)]
proba that 2 positifs tests detect a serious ill patient P=0,27 better than 0,11 whith only one test
=>Bayes' Theory is used to update probabilities when new informtion be- comes avaiable
Figure 1 Feynman & NASA [11]
Références
[1] George A. Akerlof. The market for lemons. The Quarterly Journal of Economic, 84 :488500, 1970.
[2] Maurice Allais. Le comportement de l'homme rationnel devant le risque : Critique des postulats de l'ecole américaine. Econometrica, 21 :503546, 1953.
[3] Gary S. Becker. A theory of the allocation of time. Economic Journal, 75 :493517, 1965.
[4] Pierre-André Chiappori. Rationnal household labor supply. Econometrica, 56 :6390, 1988.
[5] Pierre-André Chiappori. Collective labor supply & welfare. Econometrica, 3 :437467, 1992.
[6] Ankur Datta. Chamfert matching & hausdor distance. 2017.
[7] Je Erickson Sylvain Lazard Francis Lazarus Shripad Thite Erin Wolf Chambers, Eric Colin de Verdière. Homotopic fréchet distance bet- ween curves or, walking your dog in the woods in polynomial time. Elsevier, 43 :295311, 2008.
[8] Wiliam H. Green. EconometricsAnalysis. New York University, 2012.
[9] Carola Wenk Kevin Buchin, Maike Buchin. Computing fréchet distance between simple polygons. Elsevier, 41 :220, 2008.
[10] Benoit Mandelbrot. How long is the britain coast ? Science, 156 :636638, 1967.
[11] Ottaviani & Myrick. Feynman. Vuibert, 2017.
[12] John Forbes Nash. Non-Cooperative Games. PhD thesis, Princeton, 1950.
[13] Guy Lacroix Pierre-André Chiappori, Bernard Fortin. Marriage market, di- vorce legislation and household labor supply. Journal of Political Economy, 110 :3772, 2001.
[14] Gary S. Becker & Richard A. Posner. Uncommon Sense. University of Chicago, 2009.
[15] William J. Rucklidge. Comparing image using hausdor distance. IEEE, 15 :850863, 1992.
[16] Joseph E. Stiglitz. Pareto ecient and the new new welfare economics.
Elsevier, 2 :9911042, 1987.
[17] Richard Thaler & Cass R. Sunstein. Nudge. Chicago & Harvard University, 2008.
[18] Daniel Kahneman & Amos Tversky. Prospect theory. Econometrica, 47 :263291, 1979.
[19] Daniel Kahneman & Amos Tversky. Advances in prospect theory. Econo- metrica, 5 :297323, 1992.
