UNIVERSITÉ DE CERGY-PONTOISE U.F.R. Économie & Gestion

UNIVERSITÉ DE CERGY-PONTOISE U.F.R. Économie & Gestion

LICENCE d’ÉCONOMIE FINANCE & GESTION Première année - Semestre 1

MATHÉMATIQUES

MATH 101 : Pratique des Fonctions numériques

Enseignant responsable : J. Stéphan

1 Quelques outils mathématiques 5

1.1 Symboles et logique . . . 5

1.2 Calcul numérique et littéral . . . 7

1.2.1 Nombres premiers . . . 7

1.2.2 Fractions . . . 7

1.2.3 Radicaux . . . 8

1.2.4 Puissances . . . 9

1.3 Montrer une égalité . . . 11

1.4 Fonctions affines - Equations de droites - Systèmes linéaires 2×2 . . 12

1.4.1 Fonctions affines . . . 12

1.4.2 Équations de droites . . . 13

1.4.3 Propriété : signe de ax+b . . . 17

1.4.4 Évolution . . . 17

1.4.5 Systèmes 2×2 . . . 19

1.5 Dérivation - Tangente à une courbe . . . 21

1.5.1 Fonction dérivable en un réel x₀ . . . 21

1.5.2 Fonction dérivée sur un intervalle . . . 23

1.5.3 Approximation affine . . . 26

2 Fonctions usuelles 29 2.1 Généralités . . . 29

2.1.1 Définitions . . . 29

2.1.2 Variations d’une fonction . . . 31

2.1.3 Composition de deux fonctions . . . 32

2.2 Les fonctions polynômes du second degré . . . 33

2.3 Fonctions polynômes . . . 37

2.4 La fonction Logarithme Népérien . . . 40

2.5 La fonction Exponentielle . . . 43

2.6 Fonctions exponentielles de base a . . . 46

2.7 Fonctions puissances d’exposants réels . . . 48

3 Limite d’une fonction - Continuité 51

3.1 Une introduction . . . 51

3.2 Limite d’une fonction en +∞ ou−∞ . . . 53

3.2.1 Limite infinie en l’infini . . . 53

3.2.2 Limite finie en l’infini . . . 54

3.3 Limite d’une fonction en un réel x₀ . . . 55

3.3.1 Limite infinie en x₀ . . . 55

3.3.2 Limite finie enx₀ . . . 56

3.3.3 Limite à droite / à gauche . . . 57

3.4 Opérations sur les limites . . . 61

3.5 Conséquences graphiques : Asymptote à une courbe . . . 65

3.6 Continuité . . . 68

3.7 Prolongement par continuité . . . 70

3.8 Opérations sur les fonctions continues . . . 71

4 Étude globale d’une fonction - compléments 73 4.1 Schéma général d’étude d’une fonction . . . 73

4.2 Complément sur la continuité - Théorème des valeurs intermédiaires . 76 4.3 Complément sur la dérivabilité d’une fonction . . . 79

4.4 Variations - extrema d’une fonction dérivable . . . 81

4.4.1 Extrema d’une fonction . . . 82

Quelques outils mathématiques

1.1 Symboles et logique

Définition 1. On note R l’ensemble des nombres réels : tous les exemples et exer- cices de ce cours se feront dans cet ensemble de nombres ou un sous-ensemble de R.

On dit qu’un sous ensemble I de R estun intervalle de R, si pour tous réels a et b appartenant à I et pour tout réel x tel que a≤x≤b, alors x appartient à I.

Soient a et b deux réels tels que a < b. On dit que l’intervalle I des réels x est : 1. un intervalle fermé [a;b] (ou un segment) si, pour tout x appartenant à I,

a≤x≤b.

2. un intervalle ouvert ]a;b[ si, pour tout x appartenant à I, a < x < b.

3. un intervalle semi-ouvert à droite[a;b[(respectivement à gauche]a;b]) si, pour tout x appartenant à I, a≤x < b (respect. a < x≤b).

Dans ces trois cas, I est un intervalle dit borné de R.

De la même façon, on définit les intervalles non bornés de R : Exemples 1. x∈[−3; 4] ⇐⇒ −3≤x <4 ; x∈]− ∞; 9]⇐⇒x≤9

Notations : On note :R^∗ =R r{0},R⁻ =]−∞; 0],R^∗− =]−∞; 0[,R+ = [0; +∞[ etR^∗₊ =]0; +∞[.

AinsiR∗=R^∗−∪R^∗₊

Quelques intervalles : Notation de

l’intervalle C’est l’ensemble

des réels xtels que Représentation sur la droite réelle

[a;b] a≤x≤b

[a;b[ a≤x < b ]a;b] a < x≤b ]a;b[ a < x < b

[a; +∞[ x≥a

]a; +∞[ x > a

]−∞;b] x≤b

]−∞;b[ x < b

Définition 2. Lorsqu’un élément a appartient à un ensemble E, on note a ∈ E, dans le cas contraire, on note a /∈E.

Lorsqu’un sous-ensemble F est inclus dans un ensemble E, on note F ⊂ E, et F 6⊂ E dans le cas contraire. Notez que F est inclus dans E si et seulement si tous les éléments de F appartiennent à E, mais qu’il suffit qu’un élément de F n’appartienne pas à E pour que F ne soit pas inclus dans E.

Définition 3. ∃ est le quantificateur existentiel : il signifie « il existe au moins un(e) » . ∃! signifie « il existe un(e) unique » .

∀ est le quantificateur universel : il signifie « Pour tout (s) » ou « Quel(le)s que soient » .

Ces quantificateurs sont des symboles mathématiques et ne doivent être utilisés que dans des assertions mathématiques et surtout pas comme des abréviations dans une copie !

Exemples 2.

1. ∀x∈R r{−1,0} , 1 x − 1

x+ 1 = 1

x²+x (mise au même dénominateur)

2. ∃x∈R/ x²+3 = 4. (Par exemplex=−1 (oux= 1)). (Le «/» signifie « tel que »)

1.2 Calcul numérique et littéral

1.2.1 Nombres premiers

Définition 4. Un nombre entier supérieur ou égal à 2 est dit premier s’il est divisible uniquement par 1 et par lui même.

Exemple 3. Les dix premiers nombres premiers sont : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29

Application : La décomposition en nombres premiers permet des simplifications dans les calculs :

Exemples 4. (voir paragraphes suivants) : 108 = 2²×3³, donc√

108 = 6√ 3, 240 = 2⁴×3×5, donc 108

240 = 2²×3³

2⁴×3×5 = 2⁻²×3²×5⁻¹. 5

18− 7

24 = 20−21 72 = −1

72 (72 est le PPMC de 18 et 24)

1.2.2 Fractions

Définition 5. La fraction a

b, b 6= 0, est le résultat de la division du nombre a (numérateur) par le nombre non nul b (dénominateur).

1. Propriété : Pour tout réel k6= 0, k×a k×b = a

b. Exemples 5. 60

216 = 5 18; 1

√2 =

√2

2 ; −2 + 2√ 3

2 =−1 +√ 3 ; 1

3−√

2 = 3 +√ 2

7 ; 3a−a² 2a = 3

2− a 2.

2. Addition de deux fractions : •Pour tous réels a, b etc6= 0 : a

c +b

c = a+b c

•Pour tous réels a, b6= 0, c et d6= 0 : a

b + c

d = a×d

b×d + c×b

d×b = ad+bc bd Exemples 6. 7

3+ 2

3 = 3 ; a 3 + 5a

3 = 2a; 3 4 +1

5 = 15 20 + 4

20 = 19 20. 1

18 + 5 24 = 19

72; 1

x− 1

x+ 1 = x+ 1

x(x+ 1) − x

x(x+ 1) = 1 x(x+ 1)

3. Multiplication de deux fractions : Pour tous réels a, b6= 0, c etd6= 0 : a

b × c

d = a×c

b×d, en particulier a× c

d = a×c d Exemples 7. 3

4 ×1 5 = 3

20; 7× 2 3 = 14

3 ; a b × 1

a = 1 b ; x

x−1 × x²−1

3x² = x+ 1 3x

4. Division de deux fractions : Pour tous réels a, b6= 0, c etd6= 0 : a

b ÷ c d = a

b ×d c = ad

bc Exemples 8. 3

4 ÷8 5 = 15

32; n(n+ 1)

n−1 ÷ 1

n²−1 =n(n+ 1)²; 2

(x+ 1)² ÷ x−1

x+ 1 = 2 x²−1

Remarque : Attention à la position des barres de fractions : 3

5 7 = 3

5 ÷7 1 = 3

5 × 1 7 = 3

35 et 3 5 7

= 3 1 ÷5

7 = 3 1 × 7

5 = 21 5

5. Remarque sur le signe « - » : Pour tous réelsaetb6= 0 : −a b = a

−b =−a b

1.2.3 Radicaux

Définition 6. Si a est un réel positif ou nul, la racine carrée de a, notée √ a, est l’unique réel positif (ou nul) tel que (√a)² =a.

1. Conséquence :Pour tout réel positif ou nul a, √ a×√

a=a.

2. Remarque : Si a >0, il y a exactement deux réels dont le carré est a : √ a et−√a. Par exemple, 3 et −3 sont les deux réels dont le carré est égal à 9.

3. Attention ! √

a² n’est pas toujours égal à a! Si a≥0,√

a² =a, mais si a≤0, √

a² =−a. Par exemple, ^q(−5)² =√

25 = 5 =−(−5) 4. Plus généralement,pour touta∈R⁺ et toutn ∈N, sin = 2p, alors√

aⁿ= a^p et si n = 2p+ 1, alors √

aⁿ =a^p√a. Par exemple : √

128 =√

2⁷ = 8√ 2 5. Propriétés : Pour tous réels a≥0 et b >0 : √

a×√ b=√

abet √

√a

b =^ra b Exemple 9. √

18 = √

9×2 = √ 9×√

2 = 3√ 2 6. Attention ! √

a+√

b 6= √

a+b. Par exemple, √ 1 +√

4 = 3 et √

1 + 4 =

√5≈2,2

1.2.4 Puissances

Définition 7. Soit n un entier strictement positif et a un réel : aⁿ=a×a× · · · ×a (n facteurs) Si n = 0 et a 6= 0, on convient de poser a⁰ = 1

1. Exemples 10. 2⁶ = 64 ; (−5)³ =−125 ; 2 3

2

= 4 9; (√

3)⁵ = 9√ 3

2. Remarque sur le Signe de aⁿ : Si n est pair, aⁿ est positif et si n est impair,aⁿ est du signe de a

Exemples 11. (−3)³ =−27, (−6)⁶ = 46656

3. Puissances négatives : Pour tout entier strictement positif n : a⁻ⁿ = 1 aⁿ (a 6= 0)

Exemple 12. 2⁻² = 1 4

4. Propriétés : Soient a et b deux réels non nuls et n et m deux entiers :

Produit de puissances aⁿ×a^m =a^n+m 3⁶×3⁻⁷ = 3⁻¹ Quotient de puissances aⁿ

a^m =a^n−m 3⁶

3⁻⁷ = 3¹³ Puissance de puissances (aⁿ)^m =a^n·m 2⁴⁻³ = 2⁻¹² Puissance de produit (ab)ⁿ =aⁿ×bⁿ 35⁴ = 5⁴×7⁴ Puissance de quotient a

b

n

= aⁿ bⁿ

3 5

3

= 3³ 5³ 5. Puissances rationnelles :

Définition 8. Soient a et b deux réels positifs. Soit q un entier naturel non nul. L’équationa^q=b possède une unique solution appelée racine q^ième de b et notée a=b^1q ou parfois a =√^q

b (cette dernière notation étant moins utilisée) Exemples 13. L’équation x³ = 125 possède une unique solution x = 5 =

√3

125 = 125^1/3

Propriétés : Par définition, on a (a^q)^1q =a^1qq =a

Les propriété du tableau ci-dessus restent valables pour des puissances de la forme 1

q : si a etb sont deux réels positifs et p etq deux entiers non nuls : a^1pa^1q =a^1p+1q ; (ab)^1q =a^1qb^1q ; a^1p

1

q =a^pq1 ; a^−1q = 1

a^1q(a6= 0) Exemples 14. 2^1/3×2^1/9 = 2^4/9; 3^1/31/2 = 3^1/6

Définition 9. Soient a ∈ R^∗+ et p et q deux entiers (p ∈ Z et q ∈ N^∗), on définit

a^pq = (a^p)^1q =a^1qp

Exemples 15. 125^5/3 = (125^1/3)⁵ = 5⁵ = 3125 ; 81^3/4 = (81^1/4)³ = 3³ = 27

Remarque : Soit a >0 : on aa^1/22 =a^21/2 =a, ainsia^1/2 =√ a Propriétés : Soient a et b deux réels positifs et r = p

q et r⁰ = p⁰ q⁰ deux rationnels (p, p⁰ ∈Z, q, q⁰ ∈N^∗)

Produit de puissances a^r×a^r0 =a^r+r0 3^1/3 ×3^−1/4 = 3^1/12 Quotient de puissances a^r

a^r0 =a^r−r0 3^−1/5

3^1/4 = 3^−9/20 Puissance de puissances (a^r)^r0 =a^r·r0 2^3/5−2/3 = 2^−2/5 Puissance de produit (ab)^r =a^r×b^r 45^3/4 = 3^3/2×5^3/4 Puissance de quotient a

b

r

= a^r b^r

3 25

5/6

= 3^5/6 5^5/3

Exemples 16. 2^3/4×8^1/2 = 2^3/4×2^3/2 = 2^9/4 = 4×2^1/4; 72^5/3 = 3^10/3×2⁵ 6. Extension aux puissances réelles : On verra lors de ce semestre que grâce à

la fonction exponentielle on peut donner un sens mathématique aux puissances réelles de nombres strictement positifs, et que dans ce cas les propriétés ci- dessus restent encore valables.

1.3 Montrer une égalité

Principe : Lorsque l’on veut démontrer que deux réels A et B sont égaux, ll y a généralement 3 méthodes possibles :

1. On transforme l’un des deux nombres par une suite de calculs, afin d’obtenir le second :

Par exemple, montrer que 1

√3−1 =

√3 + 1 2 Réponse : 1

√3−1 = (√3 + 1) (√

3−1)(√

3 + 1) = √3 + 1

3−1 = √3 + 1 2

2. On transforme séparémentles deux nombresAetB afin de démontrer qu’ils sont tous les deux égaux à un troisième nombre C :

Par exemple, montrer que (√

2−3)(2−√

2) =−

√ 2− 5

2

2

+ 1 4 Réponse : D’une part (√

2−3)(2−√

2) = 2√

2−2−6 + 3√

2 = 5√ 2−8 D’autre part :−

√ 2− 5

2

2

+1 4 =−

2−5√ 2 + 25

4

+1

4 =−32 4 +5√

2+1 4 = 5√

2− 32 4 = 5√

2−8. L’égalité est démontrée.

3. On montre que la différence A−B est nulle.

Par exemple, montrer que

√5−√

√ 2

3 =

√3

√5 +√ 2 Réponse :

√5−√

√ 2

3 −

√3

√5 +√

2 = (√ 5−√

2)(√ 5 +√

√ 2) 3(√

5 +√

2) −

√3×√

√ 3 3(√

5 +√ 2) = 5−2−3

√3(√ 5 +√

2) = 0. L’égalité est démontrée.

Remarque : Lorsque A et B sont deux expressions en une variable (x par ex.), avant de démontrer queA(x) etB(x) sont égales, il faut vérifier qu’elles sont définies sur le même ensemble. Par exemple, x²+ 3x

x 6=x+ 3 carA(x) = x²+ 3x

x est définie surR^∗ etB(x) =x+ 3 est définie surR (on peut par contre préciser que pour tout x6= 0, x²+ 3x

x =x+ 3)

Par exemple, montrer que pour tout x6= 1 : 2x²−5x−1

x−1 = 2x−3− 4 x−1 Réponse : Pour tout x6= 1, 2x−3− 4

x−1 = (2x−3)(x−1)−4 x−1

= 2x²−2x−3x+ 3−4

x−1 = 2x²−5x−1 x−1

1.4 Fonctions affines - Equations de droites - Sys- tèmes linéaires 2 × 2

1.4.1 Fonctions affines

Définition 10. Une fonction affine f est une fonction définie surR(à valeurs dans R) par :

f(x) =mx+p où m etp sont deux réels Remarques :

1. Lorsque p= 0, la fonctionf est dite linéaire.

2. Lorsque m= 0, f est une fonction constante.

3. Si m > 0, f est strictement croissante sur R, et si m < 0, f est strictement décroissante surR.

Proposition 1. Une fonction affinef est entièrement déterminée par la donnée des images de deux réels distincts : soientx₁ etx₂ deux réels distincts tels quef(xi) =yi

(pour i= 1,2), alors : m= y₂−y₁

x2−x1 et pour tout réel x, f(x) = m(x−xi) +yi(i= 1,2)

Preuve : Par définition, on a : yi = f(xi) = mxi +p (pour i = 1,2), donc par soustraction :y₂−y₁ =mx₂+p−(mx1+p) =m(x2−x₁)

d’où m = y₂−y₁

x1−x1 et f(x)−yi = (mx+p)−(mxi +p) = m(x−xi) (i = 1,2), d’où le résultat

Exemple 17. Déterminer la fonction affineftelle quef(0,01) = 2 etf(−0,02) = 11 Réponse : m = 11−2

−0,02−0,01 = 9

−0,03 =−300 et f(x) = −300(x−0,01) + 2 = −300x+ 5

1.4.2 Équations de droites

Rappels : • Soient A et B deux points distincts. Le vecteur −→

AB est un vecteur directeur de la droite (AB), et les autres vecteurs directeurs de (AB) sont tous les vecteurs colinéaires à−→AB différents de~0. On caractérise ainsi les points de la droite (AB) :

M ∈(AB) ⇐⇒ −→

AB et−−→

AM sont colinéaires

•Deux vecteurs ~u et−→v sont dits colinéaires si l’un des deux est nul, ou bien s’il existe un réel k tel que −→u =k· −→v .

• Dans le plan muni d’un repère, les vecteurs ~u x y

!

et~v x⁰ y⁰

!

sont colinéaires si et seulement six·y⁰ −x⁰·y= 0.

Théorème 1. La représentation graphique d’une fonction affine est une droite.

Preuve : On considère la fonction affine f définie sur R par f(x) = mx+p. On note C sa représentation graphique. On a ainsi : C ={M(x;y)/y =mx+p}

Considérons les points A(0;p) et B(1;m+p) appartenant à C. On montre que C = (AB)

On a les équivalences suivantes : M(x;y) ∈ (AB) ⇐⇒ −−→

AM et −→

AB sont coli- néaires :

En utilisant les coordonnées : −−→

AM x

y−p

!

et −→

AB 1 m

!

sont colinéaires si et seulement si mx−(y−p) = 0⇐⇒y=mx+p

Conclusion :M(x;y) appartient à la droite (AB) si et seulement si y=mx+p, c’est-à-dire si et seulement si M appartient à C. C est bien la droite (AB) Remarque : m s’appelle le coefficient directeur de la droite (AB) car il définit la direction de (AB) grâce au vecteur directeur −→

AB 1 m

!

, et b est « l’ordonnée à l’origine » de (AB).

Théorème 2. Dans le plan muni d’un repère, toute droite non parallèle à l’axe des ordonnées est la représentation graphique d’une fonction affine (en particulier, elle possède une équation du typey =mx+p).

Preuve : Soit D une droite non parallèle à l’axe des ordonnées : donc D coupe l’axe des ordonnées en un pointA(0;p).

Notons B le point d’abscisse 1 de D et (1;q) les coordonnées de B. Alors la fonction affine définie par f(x) = (q−p)x+p vérifie f(0) = p et f(1) = q; donc A et B appartiennent à la droite représentative de f : D = (AB) est donc la représentation graphique def

Théorème 3. Dans le plan muni d’un repère, toute droite (d) a une équation de la forme :

1) y=mx+p, lorsque (d) est non parallèle à l’axe des ordonnées.

2) x=k, lorsque (d) est parallèle à l’axe des ordonnées.

Preuve :

1) Dans le premier cas, voir le théorème précédent.

2) Dans le second cas, (d) coupe l’axe des abscisses au point C de coordonnées (k; 0). (d) est exactement l’ensemble des points du plan dont l’abscisse est égale à k. Une équation de (d) est ainsi : x=k

Conclusion :On peut résumer les deux cas, en énonçant que toute droite du plan a une équation du type ax+by+c= 0, où a et b ne sont pas simultanément nuls.

Si b = 0, cette droite est parallèle à l’axe des ordonnées et a pour équation réduite x= −c

a =k, si b6= 0 cette droite n’est pas parallèle à l’axe des ordonnées et a une équation réduite de la formey= −a

b x− c

b =mx+p

Définition 11. On appelle équation cartésienne d’une droite D, toute équation de la forme ax+by+c= 0

Remarque importante : Soit D la droite d’équation cartésienneax+by+c= 0.

Alors un vecteur directeur de D est~u −b a

!

En effet, si b 6= 0, les points M(b;−a−c/b) et N(0;−c/b) appartiennent à D et ~u = −−→M N −b

a

!

est un vecteur directeur de D. Si b = 0, le vecteur ~v 0 1

!

est un vecteur directeur de D, mais également le vecteur ~u=a~v 0

a

!

Remarque : lecture graphiqueSoitDla droite passant parA(xA, yA) etB(xB, yB) : six_A6=x_B,Dn’est pas parallèle à l’axe (Oy) et a une équation de la formey=mx+p oùm= yB−yA

x_B−x_A. Graphiquement, il s’agit de pouvoir lire le quotient yB−yA

x_B−x_A = ∆y

∆x

(en faisant attention au signe !) et l’ordonnée à l’origine C(0;p)∈(AB) Si ce n’est pas possible, on détermine pen utilisant l’un des deux points.

Il existe également une formule, dès lors que l’on connaît le coefficient directeur m et un point A(xA, yA) :

D : y=m(x−xA) +yA

Exemple 18. L’équation de la droite de la figure ci-dessous esty= −2 3 x+ 8

Figure 1.1 – Equation réduite d’une droite

Définition 12. Fonction affine par morceaux : Une fonction est dite affine par morceaux si elle est définie par intervalles et que sur chacun de ces intervalles elle est affine.

Exemple 19. Soit f définie sur R par f(x) =











2x+ 3 si x≤ −2

−x+ 2 si −2< x≤3 x+ 2

5 si x >3

Figure 1.2 – Courbe d’une fonction affine par morceaux

Définition 13. Soit x un réel, la valeur absolue de x, notée |x| est définie par :

|x|=x si x≥0 et |x|=−x si x≤0.

Exemples : |3,46|= 3,46 ; | −π|=π; |√

5|=√ 5.

Les propriétés qui suivent sont des conséquences de la définition.

Propriétés 1. 1. ∀x∈R,|x| ≥0 et |x|= 0⇔x= 0. 2. ∀x∈R,|x|=| −x|.

3. ∀(x, y)∈R²,|xy|=|x||y| et si y 6= 0.

x y

= |x|

|y|. 4. ∀x∈R,∀n ∈N,|xⁿ|=|x|ⁿ.

5. ∀x∈R,√

x² =|x| et ∀x≥0,√

x² =|x|=x.

6. Inégalité triangulaire : ∀x∈R,∀y∈R,|x+y| ≤ |x|+|y| Définition 14. La fonction valeur absolue est définie sur R par

f(x) =|x|=

( −x si x≤0 x si x >0 Cette fonction est donc affine par morceaux.

Figure 1.3 – Courbe de la fonction « Valeur absolue »

Remarque : Si l’on considère la droite réelle munie d’un repère (O;~i), la valeur absolue de x est alors la distance du pointO au point M d’abscisse x.

Plus généralement, si M(x) etN(y) sont deux points de la droite réelle, alors la distanceM N =|y−x|.

1.4.3 Propriété : signe de ax + b

Théorème 4. La résolution de l’inéquation (I) : ax+b >0 (où a 6= 0) permet de déterminer le signe de ax+b :

x −∞ −b

a +∞

signe de ax+b signe de −a 0 signe de a Exemples 20.

1. Résoudre l’inéquation (2x−5)(1−x)<0.

Réponse :

x −∞ 1 2,5 +∞

2x−5 − − 0 +

1−x + 0 − −

(2x−5)(1−x) − 0 + 0 −

Conclusion :S =]−∞; 1[∪]2,5; +∞[

2. Résoudre l’inéquation 3x+ 1 2−x ≥1.

Réponse : 3x+ 1

2−x ≥1⇐⇒ 3x+ 1

2−x −1≥0⇐⇒ 4x−1 2−x ≥0

x −∞ 1

4 2 +∞

4x−1 − 0 + +

2−x + + 0 −

Quotient − 0 +

−

Conclusion :S =1 4; 2

1.4.4 Évolution

Définition 15. On considère l’évolution d’une variable qui passe de la valeur y₀ à la valeur y₁ (où y₀ et y₁ sont deux réels)

• La variation absolue de y0 à y1 est la différence y1−y0.

• La variation relative, ou taux d’évolution de y0 à y1 est le quotient : t= y₁−y₀

y0 (t sera donné sous forme de fraction, de réel arrondi ou de pourcentage)

• Le coefficient multiplicateur de y₀ à y₁, est le réel c= y₁ y0.

Exemple 21. Une PME de 128 salariés décide de se développer et de recruter 24 salariés supplémentaires. Le taux d’évolution est t = 24

128 = 0,1875, soit une augmentation de 18,75%.

Proposition 2. Sous les notations de la définition, on a : c= 1 +t Preuve : 1 +t= 1 + y₁−y₀

y0 =· · ·= y₁

y0 =c

Exemple 22. Une ville compte actuellement 36 000 habitants : les services de la mairie pensent que le nombre d’habitants va être multiplié par 1,2 d’ici 5 ans.

Il y aura 36000×1,2 = 43 200 habitants en 2022. Le taux d’évolution est t = c−1 = 0,2, soit une augmentation de 20%.

Remarque : Taux global d’évolution

On considère des évolutions successives d’une variable qui prend les valeurs y₁, puis y2, puis y3 : réels strictement positifs. On note c1 (respectivementc2) le coeffi- cient multiplicateur entre y1 et y2 (respectivement entre y2 et y3) et c le coefficient multiplicateur « global » entrey₁ ety₃, on a :

c= y3

y₁ = y3

y₂ × y2

y₁ =c2×c1

Si on note t₁ (respectivement t₂) le taux d’évolution entrey₁ et y₂ (respectivement entrey₂ ety₃), et t le taux global d’évolution entre y₁ ety₃, on a alors

t= y₃−y₁

y₁ =c−1 =c₁×c₂ −1 = (1 +t₁)(1 +t₂)−1

On retiendra : lors d’évolutions successives, les coefficients multiplicateurs sont mul- tipliés, mais pas les taux d’évolution (ni les pourcentages).

Exemple 23. Le nombre de salariés d’une PME était de 1 150 fin 2011. En 2012, ce nombre a augmenté de 8%, puis en 2013 il a diminué de 5% et enfin en 2014 il a augmenté de 7% Quelle a été l’évolution du nombre de salariés de cette entreprise entre début 2012 et fin 2014 ?

Réponse : Le taux global d’évolution a été de t= 1,08×0,95×1,07−1≈9,78%

Définition 16. Considérons une variable dont on connaît les taux d’évolutions t1, t2,· · · , tn sur n périodes de même durée (l’année par exemple).

Le taux d’évolution périodique moyen est le taux t calculé de telle sorte que l’évolution globale soit la même si la variable avait évolué à ce tauxtsur chacune des périodes.

On dit que le coefficient multiplicateur c= 1 +t est la moyenne géométrique des coefficients multiplicateurs c_i = (1 +t_i), i∈[[1, n]]

Exemple 24. Supposons qu’une variable connaisse les taux d’évolution successifs t₁, t₂ ett₃ : le taux global d’évolution t vérifie donc : t= (1 +t₁)(1 +t₂)(1 +t₃)−1

Si cette variable avait connu un taux d’évolution constant égal à t pendant ces trois années, le taux d’évolution global aurait été det= (1 +t)³−1

t vérifie donc l’égalité

(1 +t)³ = (1 +t₂)(1 +t₂)(1 +t₃)

Pour résoudre une telle équation, il faut utiliser les puissances rationnelles : soit A >0, (1 +t)ⁿ=A⇐⇒1 +t =A^1/n ⇐⇒t=A^1/n−1

Exemple 25. La valeur d’une action augmente de 6% la première année, de 4%

la seconde année et de 8% la troisième année. Déterminer le taux global d’évolution puis le taux moyen annuel.

Réponse :

• Le taux global d’évolutiont vérifie :t= 1,06×1,04×1,08−1≈19,06%

• Le taux annuel moyen d’évolution t vérifie :

(1 +t)³ = 1,06×1,04×1,08⇐⇒ t = (1,06×1,04×1,08)^1/3−1≈ 0,05987.

En moyenne l’action augmente de 5,99% par an.

1.4.5 Systèmes 2 × 2

Définition 17. Un système de deux équations linéaires à deux inconnues x ety est de la forme :

( ax+by = c a⁰x+b⁰y = c⁰

où a, b, c, a⁰, b⁰, c⁰ sont des réels tels que a etb (respectivement a⁰ et b⁰) ne soient pas simultanément nuls.

Trouver une solution de ce système, c’est déterminer un couple de réels (x0, y0) tels que ax₀ +by₀ = c et a⁰x₀ +b⁰y₀ = c⁰. Le but étant de déterminer toutes les solutions.

Remarque : interprétation graphique :Soit (d) la droite d’équationax+by=c (droite verticale si b = 0) et (d⁰) la droite d’équation a⁰x+b⁰y = c⁰, les solutions du système correspondent alorsaux coordonnées des points d’intersection de (d) et (d’). Il y a donc trois cas envisageables :

1. Si (d) et (d⁰) sont sécantes en un pointM0(x0;y0), le système admet une unique solution : le couple (x0;y0).

2. Si (d) et (d⁰) sont strictement parallèles, le système n’admet pas de solution.

3. Si (d) et (d⁰) sont confondues, le système admet une infinité de solutions, tous les couples de coordonnées des points de d.

Théorème 5. Soit (S) le système

( ax+by = c

a⁰x+b⁰y = c⁰ . Notons D le nombre : D

= ab⁰ −a⁰b (appelé déterminant du système). Si D est non nul, (S) admet une unique solution, et si D est nul, le système admet ou bien aucune solution ou bien une infinité de solutions.

Preuve : Le système admet une unique solution signifie que graphiquement les droites (d) d’équation ax+by = c et (d⁰) d’équation a⁰x+b⁰y = c⁰ sont sécantes.

Un vecteur directeur de (d) est~u −b a

!

, et un vecteur directeur de (d⁰) est ~v −b⁰ a⁰

!

, ainsi, (d) et (d⁰) sont sécantes si et seulement si ~u et~v sont non colinéaires, ce qui équivaut à :ab⁰−a⁰b6= 0

Exemple 26. Résoudre le système : (S)

( 2x +5y = −1 (L1) x +3y = −1 (L2)

Le déterminant de (S) est D= 16= 0 : on sait donc que (S) possède une unique solution.

(S)⇐⇒

( 2x +5y = −1

2x +6y = −2 (L2 ←2L2) ⇐⇒

( 2x +5y = −1

y = −1 (L2 ←L2−L1)

⇐⇒

( x = 2

y = −1 D’oùS ={ (2;−1)} Exemple 27. Résoudre le système : (S)

( 3x +7y = 2 (L1) 2x +3y = 5 (L2)

Le déterminant de (S) est D = 9−14 =−56= 0 : on sait donc que (S) possède une unique solution.

(S)⇐⇒

( 6x +14y = 4 (L1 ←2L1) 6x +9y = 15 (L2 ←3L2) ⇐⇒

( 3x +7y = 2

5y = −11 (L2 ←L₁−L₂)

⇐⇒











y = −11 5 x = 1

3

2−7(−11

5 )= 29 5

. D’où S = 29 5 ;−11

5

Exemple 28. Résoudre le système : (S)

( 3x +9y = 4 (L1) x +3y = −2 (L2) . Le déterminant de (S) est D= 0. On remarque que

(S)⇐⇒

( 3x +9y = 4 (L1) 3x +9y = −6 (3L2) .

Ces deux équations sont incompatibles : (S) n’a pas de solution et S =∅

1.5 Dérivation - Tangente à une courbe

1.5.1 Fonction dérivable en un réel x

Rappels : Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert I, et a < b deux réels de I. On appelle taux d’accroissement de f (ou taux de variation de f, ou accroissement moyen de f) entre a et b le rapport f(b)−f(a)

b−a . Dans un repère orthogonal, ce rapport est le coefficient directeur de la droite (AB) oùA(a, f(a)) et B(b, f(b)). (Voir figure 1)

f(b)−f(a)

b−a = y_B−y_A xB−xA

=m

Définition 18. Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert I et x0 un réel appartenant à I. f est dite dérivable en x₀ si ∆f(x,x0) = f(x)−f(x0)

x−x0 admet une limite réelle (= finie) ` lorsque x tend vers x₀.

Dans ce cas, cette limite est notéef⁰(x0) et est appelée nombre dérivé de f en x₀

Figure 1.4 – Nombre dérivé en x0

Remarque : ∆f(x,x0) représente le coefficient directeur de la sécante (M M0) où M(x, f(x)) etM0(x0, f(x0)). Dire que ∆f_(x,x0) possède une limite quandxtend vers x0 revient à dire que la courbe représentative def possède au pointM0 une tangente de coefficient directeurf⁰(x0). (tangente non verticale).

Ainsi, lorsque f est dérivable en x₀ l’équation de la tangente à Cf est y=f⁰(x0)(x−x₀) +f(x0)

(remarquer que cette droite a pour coefficient directeurf⁰(x0) et passe parM0(x0, f(x0)).

Exemple 29. Soit f : f(x) = x². Pour x₀ = 1, on a ∆f(x,1) = x²−1

x−1 =x+ 1 donc lim

x→1∆f(x,1) = 2. f est dérivable en 1 et f⁰(1) = 2. La tangente à Cf au point A(1,1) a pour équation : y= 2(x−1) + 1 soit : y= 2x−1

Remarque : Avec le changement de variable x = x0+h, on a l’énoncé suivant : f est dérivable en x₀ si et seulement si f(x0+h)−f(x0)

h admet une limite finie lorsque h tend vers zéro.

1.5.2 Fonction dérivée sur un intervalle

Définition 19. Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert I. Si f est dérivable en tout réel de I, on dit que f est dérivable sur I et on peut alors définir la fonction dérivée de f, notée f’, sur I par :

f⁰ : I −→R

x7−→f⁰(x) = lim

h→0

f(x+h)−f(x) h

Les étudiants doivent connaître le tableau des fonctions dérivées des fonctions de références suivantes (Les fonctions « Logarithme Népérien » et « Exponentielles » seront (re)vues dans le courant du semestre) :

f : f(x) = ... f⁰(x) = ... Ensemble de validité

ax+b a R

xⁿ (n∈Z^∗) nxⁿ⁻¹ ]− ∞; 0[∪]0; +∞[

√x 1

2√

x ]0; +∞[

x^α (α∈R^∗) αx^α−1 ]0; +∞[

e^x e^x R

lnx 1

x ]0; +∞[

Opérations usuellesSoient f etg deux fonctions dérivables sur un intervalle I :

Fonction Dérivée Condition

f+g f⁰+g⁰

k.f k.f⁰ k ∈R

f×g f⁰×g+f ×g⁰ 1

g −g⁰

g² ∀x∈I, g(x)6= 0 f

g

f⁰ ×g −f ×g⁰

g² ∀x∈I, g(x)6= 0

Exemples 30. Déterminer les dérivées des fonctions suivantes, définies et déri- vables sur D :

f1 : f1(x) = −3x³+ 2x²−7x+ 19 surD1 =R. ∀x∈R, f₁⁰(x) =−9x²+ 4x−7 f₂ : f₂(x) = x√

x surD2 =]0; +∞[. ∀x >0, f₂⁰(x) = √

x+ x 2√

x = 3 2√

x

f₃ : f₃(x) = 1 x³ − 1

x surD3 =R^∗ ∀x6= 0, f₃⁰(x) = −3 x⁴ + 1

x²

f₄ : f₄(x) = x+ 1

x−1 surD4 =R r{1} ∀x6=−1, f₄⁰(x) = 1(x−1)−1(x+ 1) (x−1)²

= −2

(x−1)²

f₅ : f₅(x) = x−1

x²+ 1 surD5 =R

∀x∈R, f₅⁰(x) = (x²+ 1)−2x(x−1) (x²+ 1)²

= −x² + 2x+ 1 (x²+ 1)² f6 : f6(x) = x^1/3(1−x)^2/3 surD6 =]0; 1[.

∀x∈]0; 1[, f₆⁰(x) = 1

3x^−2/3(1−x)^2/3+ 2

3(−1)x^1/3(1−x)^−1/3

= 1

3x^−2/3(1−x)^−1/3(1−x)−2x= 1

3x^−2/3(1−x)^−1/3(1−3x) Théorème 6. Dérivée d’une fonction composée

Soient f et g deux fonctions dérivables sur respectivement I et J tels quef(I)⊂ J. Alors la fonction composée g◦f est dérivable sur I et pour tout x∈I,

(g◦f)⁰(x) =f⁰(x)×(g⁰◦f) (x) On obtient ainsi les dérivées suivantes :

Fonction Dérivée Condition fⁿ (n ∈Z^∗) nf⁰×fⁿ⁻¹ ∀x∈I, f(x)6= 0

qf f⁰ 2√

f ∀x∈I, f(x)>0

lnf f⁰

f ∀x∈I, f(x)>0 exp(f) f⁰×exp(f)

Exemples 31.

f1(x) = (−3x²+ 2x+ 1)⁵ sur I =R ∀x∈R, f₁⁰(x) = 5(−6x+ 2)(−3x²+ 2x+ 1)⁴ f₂(x) =√

16−x² sur I =]−4; 4[ ∀x∈]−4; 4[, f₂⁰(x) = −2x

2√16−x² = −x

√16−x²

Exemples 32. lorsqu’une fonction dépend d’une variable et d’un (ou plusieurs paramètres) on dérive selon la variable ! le paramètre ayant le rôle d’une constante

f₁(x) = 3nx⁵+n² surI =R ∀x∈R, f₁⁰(x) = 15nx⁴ f₂(x) =x²y⁵ sur I =R ∀x∈R, f₂⁰(x) = 2xy⁵ f3(y) =x²y⁵ surI =R ∀y ∈R, f₃⁰(y) = 5x²y⁴ f₄(a) = a

x²+ 1 sur I =R ∀a ∈R, f₄⁰(a) = 1 x²+ 1 f₅(x) = a

x²+ 1 surI =R ∀x∈R, f₅⁰(x) = −2ax (x²+ 1)²

f₆(x) = 5nx

x²−n² (n >0) sur I =]n; +∞[ ∀x > n, f₆⁰(x) = 5n(x²−n²)−10nx²

(x²−n²)² = −5n(n²+x²) (x² −n²)² f7(x) = 15x^1/3y^2/3 (y >0) sur I =R^∗+ ∀y >0, f₇⁰(x) = 5x^−2/3y^2/3

f₈(y) = 15x^1/3y^2/3 (x >0) sur I =R^∗₊ ∀y >0, f₈⁰(y) = 10x^1/3y^−1/3

1.5.3 Approximation affine

Dans cette partie, x₀ est un réel, et Ix0 est un intervalle ouvert contenant x₀.

Théorème 7. Théorème d’approximation affine

Soient x0 ∈Retf une fonction définie au moins surIx0.f est dérivable en x0 si et seulement s’il existe une fonction εdéfinie et continue sur I_x0, telle queε(x0) = 0 et un nombre réel A tels que :

∀x∈Ix0, f(x) =f(x0) +A(x−x0) + (x−x0)ε(x) (∗) Preuve : Si la relation (∗) est vérifiée, alors :

Pour tout x 6= x₀, ∆f(x,x0) = f(x)−f(x0)

x−x0 = A+ε(x) a pour limite A ∈ R lorsque x tend vers x0. Donc f est dérivable enx0 et f⁰(x0) = A.

Réciproquement, si f est dérivable enx0, il suffit de poser A =f⁰(x0) et ε(x) = f(x)−f(x0)

x−x₀ −f⁰(x0), (x6=x₀) et ε(x0) = 0 pour obtenir la relation (∗)

Figure 1.5 – Approximation affine

Remarque : On peut donner une autre expression de l’égalité (∗) en posant x=x0+h(avec h« petit », i.e. proche de zéro) et écrire une approximation affine :

∀h∈R tel que x0+h∈I_x^∗₀ : f(x0+h)≈f(x0) +h.f⁰(x0) L’approximation étant d’autant plus précise queh est proche de zéro.

Exemple 33. La hausse des prix a été de 0,4% pendant trois mois consécu- tifs : donner une valeur approchée du pourcentage d’augmentation global sur cette période.

Réponse : Soit c le coefficient multiplicateur sur cette période de trois mois : c = 1 + 0,4

100

3

= (1,004)³. Soit f la fonction définie sur R par f(x) = x³. f est dérivable enx0 = 1 etf⁰(x0) = 3. Doncf(1+0,004) ≈1³+3×0,004 soitc'1,012.

Le pourcentage est environ 1,2%. On sait que les pourcentages ne s’additionnent pas, mais pour de très petites valeurs on peut donner une bonne approximation en additionnant les pourcentages. (la calculatrice donne une augmentation d’environ 1,2048064%)

Fonctions usuelles

2.1 Généralités

2.1.1 Définitions

Définition 20. Soit E une partie de R (en pratique, E sera un intervalle ou une union d’intervalles de R). Une fonction (numérique) définie sur E est un procédé qui permet d’associer à tout réel x appartenant à E au plus un réel y=f(x).

On note : f : E −→ R

x 7−→ y =f(x)

On pourra également noter plus simplement f : f(x) = y (notation personnelle qui permet d’éviter des phrases du type « La fonction f(x) = ...»)

Définition 21. On dit que y est l’image de x par la fonction f, et que x est un antécédent de y par la fonction f.

Définition 22. L’ensemble de définition d’une fonction f : E → R est l’ensemble des éléments de E qui ont une image par f. Cet ensemble sera noté D^f ou plus simplementD.

Recherche d’ensembles de définition 1. f(x) = A(x)

B(x) : la fonction f est un quotient défini en xsi et seulement si A et B sont définies enx et B(x)6= 0.

Exemples : f : f(x) = x²−7x−3

x²−9 est définie sur R r{−3; 3} et g : g(x) = 4−x

7 + 2x est définie sur R r

−7 2

.

2. f(x) = ^qA(x) : la fonction f est définie en x si et seulement si A l’est et A(x)≥0.

Exemples : f : f(x) = √

3x−7 est définie sur 7 3; +∞

, et g : g(x) =

√−x²+ 6x est définie sur [0; 6].

3. f(x) = A(x)

qB(x) : la fonction f est définie en xsi et seulement siA etB le sont etB(x)>0.

Exemple : f :f(x) = 3x+ 8

q(x−1)(x−2) est définie sur ]− ∞; 1[∪]2; +∞[.

4. f(x) = ln(A(x)) : la fonction f est définie en x si et seulement si A l’est et A(x)>0

Exemple : f :f(x) = ln(−7x+ 3) est définie sur ⁱ− ∞;3 7

h .

Définition 23. Le plan étant muni d’un repère (O;~i,~j), on appelle la courbe re- présentative de la fonctionf (oureprésentation graphiquedef), l’ensemble des points M de coordonnées (x;y), tels que x ∈ D^f et y =f(x), cette courbe sera notée Cf.

On dit alors que l’équation y = f(x) est l’équation de la courbe Cf dans le repère considéré.

Remarque : Test des verticales

Par définition, tout réel x a AU PLUS une image par la fonction f, cela signifie graphiquement que pour tout réelx0 fixé, il y a au plus un point de Cf d’abscisse x0

(Si x0 appartient à Df, il y a un point deCf d’abscisse x0, sinon il n’y pas de point d’abscisse x0). On en conclut que toute verticale (i.e. toute parallèle à l’axe (Oy)) coupe la courbe Cf en AU PLUS un point.

Voir illustration page suivante

Figure 2.1 – Test des verticales

2.1.2 Variations d’une fonction

Définition 24. Soit f une fonction définie sur un intervalle I.

On dit que f est croissante sur I si :

∀(x0, x1)∈I×I, x0 < x1 ⇒f(x0)≤f(x1) On dit que f est strictement croissante sur I si :

∀(x0, x₁)∈I×I, x₀ < x₁ ⇒f(x0)< f(x1) On dit que f est décroissante sur I si :

∀(x0, x1)∈I×I, x0 < x1 ⇒f(x0)≥f(x1) On dit que f est strictement décroissante sur I si :

∀(x0, x₁)∈I×I, x₀ < x₁ ⇒f(x0)> f(x1)

On retiendra qu’une fonction croissante conserve l’ordre des inégalités, et une fonction décroissante inverse l’ordre des inégalités.

Théorème 8. Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I.

1. Si ∀x∈I, f⁰(x)≥0 alors f est croissante sur I.

2. Si ∀x∈I, f⁰(x)≤0 alors f est décroissante sur I. 3. Si ∀x∈I, f⁰(x) = 0, alors f est constante sur I.