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Universit´e de Cergy-Pontoise Date: Mai 2017
Examen MS4
Dur´ee: 3h, les documents et les calculatrices ne sont pas autoris´es Exercice 1.
(a) Enoncer l’in´egalit´e de Bienaym´e-Tchebychev.
(b) Enoncer le th´eor`eme de la limite centrale.
Exercice 2.
Une urne A contient 15 boules blanches et 5 boules rouges, alors que l’urne B contient 8 boules blanches et 2 boules rouges. Un joueur tire successive- ment, sans remise, 2 boules dans l’urne A. Si les deux boules tir´ees sont toutes blanches, alors le joueur tire une troixi`eme boule dans l’urne B. Dans le cas contraire, le joueur ne tire pas de boule dans l’urne B.
(a) Dresser un arbre pond´er´e.
(b) Calculer la probabilit´e des ´ev`enements suivants:
C={le joueur a tir´e exactement une boule rouge }.
D={ le joueur a tir´e au moins une boule blanche}.
(c) Sachant que le joueur a tir´e exactement une boule rouge, quelle est la probabilit´e qu’il n’avait pas effectu´e de tirage dans l’urne B?
(d) Le joueur gagne le jeu s’il a tir´e au moins une boule rouge. Calculer la probabilt´e que le joueur gagne.
(e) Le joueur joue 5 fois ce mˆeme jeu. Soit X la variable al´eatoire qui repr´esente le nombre de jeux gagn´es. Quelle est la loi de probabilit´e de X?
Calculer E(X) et V(X). Quelle est la probabilit´e que le joueur gagne au moins une fois?
Exercice 3.
Une machine fabrique des pi`eces cylindriques caract´eris´ees par deux param`etres:
le diam`etre D de la pi`ece et la longueur L de la pi`ece.
On suppose que:
le diam`etre D, en mm, est une variable al´eatoire suivant la loi normale N(m, σ2) o`um= 8 etσ = 0,5,
et la longueurL en mm est ´egalement une variable al´eatoire suivant la loi normaleN(m, σ2) o`u m= 20 etσ= 0,25.
En plus on suppose queDestLsont deux variables al´eatoire ind´ependantes.
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On consid`ere qu’une pi`ece fabriqu´ee est conforme si 7,5≤D≤8,5 et 19,5≤L≤20,5 (a) Calculer les probabilit´es suivantes:
p(D <8,5);
p(7,5≤D≤8,5);
p(19,5≤L≤20,5)
(b) En d´eduire la probabilit´e qu’une pi`ece fabriqu´ee soit conforme.
(Remarque: deux ´ev`enements A et B sont ind´ependants ssi p(A∩B) = p(A)×p(B).)
(c) Une pi`ece non-conforme est rectifiable si D >8,5 et L >20,5.
Calculerp((D >8,5)∩(L >20,5)).
(d) Une pi`ece coˆute 10 euros `a fabriquer. Si elle est conforme, alors elle sera vendue 15 euros. Si elle est non-conforme mais rectifiable, alors on la rec- tifie et le surcoˆut de l’op´eration ´etant de 3 euros. On appelle Gla variable al´eatoire associ´ee au gain de l’entreprise pour une pi`ece.
(1) Donner la loi de probabilit´e deG.
(2) D´eterminer l’esp´erance de gain pour la production d’une pi`ece. En d´eduire l’esp´erance de gain pour 1000 pi`eces fabriqu´ees.
Exercice 4.
Soit X une variable al´eatoire qui suit une loi exponentielle de param`etre λ >0.
(a) V´erifier que ∀t >0,P(X > t) = e−λt. (b) En d´eduire que∀t≥0 et ∀s≥0,
P{X>t}(X > s+t) =P(X > s).
Exercie 5.
Une entreprise souhaite faire une ´etude de satisfaction d’un nouveau pro- duit. Pour cela, elle effectue un sondage aupr`es des consommateurs. Un consommateur int´errog´e est pri´e de donner une note enti`ere de 0 `a 5 au produit. SoitN la variable al´eatoire ´egale `a la note donn´ee par un consom- mateur. On a int´errog´e 100 consommateurs et on a obtenu la distribution statistique suivante:
Notes 0 1 2 3 4 5
Nombre de consommateurs 2 20 15 40 15 8
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(a) Calculer la moyenne empirique et la variance empirique obtenus `a partir de cette distribution.
(b) D´eterminer l’expression de l’intervalle de confiance de N au risque 5% .
T able statistique
