Universit´ e de Cergy-Pontoise D´ ecembre 2007
SVT-S1- Maths pour les Sciences L1 et L2
Dur´ee 2 heures, documents et calculatrice interdits
Premier Exercice - 10 points Calculs directs:
1. D´eterminer
x→1lim x2−1
lnx et lim
x→+∞
px2+ 1−x 2. Trouver tous les complexes qui v´erifient
z+1 z = 1
On calculera le module et un argument de chacune des solutions.
3. En faisant des int´egrations par parties, calculer : J =
Z 1
0
t2sin 2tdt 4. R´esoudre l’´equation diff´erentielle
2y00−y0−y=x2
On r´esoudra l’´equation sans second membre puis on cherchera une solution particuli`ere qui soit un polynˆome.
Second Exercice - 6 points
1. Soitf la fonction d´efinie par :
f(x) = 1
x(x2+ 1) sur I=]0,+∞[
Montrer qu’il existe des constantes a, betc telles que, pour toutxdeI, f(x) = a
x+ bx+c x2+ 1 2. En d´eduire les primitives def surI.
3. On consid`ere maintenant l’´equation diff´erentielle : xy0−y= x
1 +x2 (E) (a) R´esoudre l’´equation sans second membre surI.
(b) Trouver une solution particuli`ere de l’´equation compl`ete surI, par la m´ethode de variation de la constante.
(c) Trouver toutes les solutions de l’´equation (E).
Troisi`eme exercice - 4 points
SoitI(x) la fonction d´efinie pourx >0 par : I(x) =
Z x
0
√t t+ 1dt
CalculerI(x). On pourra introduire une nouvelle variableutelle queu=√
x. V´erifier le r´esultat obtenu en calculant la d´eriv´ee deI(x).
