Universit´ e de Cergy-Pontoise - L1-M2
Examen de Math´ ematiques - Session 2 - Mercredi 6 juin 2007 Dur´ee: 2h - Ni document ni calculatrice autoris´es
Les 2 exercices sont ind´ependants
Exercice I(13 points)
Pour chaqueα∈IR, on consid`ere une application lin´eaireφα :IR3 →IR dont la matrice dans la base canoniqueB={e1, e2, e3}deIR3 est:
Aα=
1 −2 1
0 α 2
0 0 3
1. Calculer le d´eterminant de la matrice Aα en fonction de α. Pour quelles valeurs de α la matriceAα est-elle inversible ?
2. On suppose dans cette question queα=−1. D´eterminer, si elle existe, la matrice inverse de A−1.
3. On suppose dans cette question queα= 0.
(a) Trouver une base de Kerφ0.
(b) En d´eduire la dimension de l’image deφ0. (c) Montrer que Imφ0=V ect{e1, e1+ 2e2+ 3e3}.
(d) Montrer que Kerφ0⊕Imφ0=IR3.
4. On suppose dans cette question queα= 2. On pose:
f1=e1
f2=−2e1+e2
f3=−3e1+ 4e2+ 2e3. (a) Montrer queB0={f1, f2, f3}est une base deIR3. En d´eduire que si on pose
P =
1 −2 −3
0 1 4
0 0 2
alors la matriceP est inversible. Quelle est la signification deP?
(b) Calculer A2(f1), A2(f2) etA2(f3) en fonction def1, f2 et f3 et en d´eduire la matrice deφ2dans la baseB0.
(c) Justifier (sans calcul) l’identit´e:
P−1A2P=
1 0 0 0 2 0 0 0 3
.
Exercice II(7 pts)
On consid`ere le polynˆomeB(X) =X3−3X+ 2.
1. Montrer que 1 est racine double deB(X).
2. En d´eduire la factorisation deB(X) surIR[X].
3. On pose A(X) = (X −1)2007. SoitQ(X) le quotient et soit R(X) le reste dans la division du polynˆomeA(X) par le polynˆomeB(X).
(a) Donner l’expression de A en fonction de B, Q et R. Quel est le degr´e maximal de R(X) ?
(b) Montrer que (X −1)2 divise R(X). En d´eduire qu’il existe un nombre r´eel a tel que R(X) =a(X−1)2.
(c) Montrer que (X−1)2005=Q(X)(X+ 2) +aet en d´eduire que a=−32005.
