Universit´ e de Cergy-Pontoise Juin 2007
ELHM L1 et L2
Dur´ee 1 heure 30, documents interdits
Premier Exercice - 7 points
On appelle nombre pyramidal un nombre qui est figur´e par une pyramide de ”boules de billard” (ou de
”boulets de canon” `a base carr´ee). Ainsi, le premier nombre pyramidalP1 est 1, le second estP2= 5 car on construit un carr´e de cot´e deux avec quatre boules et qu’on ajoute une boule au-dessus.
1. Justifier que P3= 14, calculerP4 etP5. 2. D´emontrer la formule :
Pn =n(n+ 1)(2n+ 1) 6
3. On s’int´eresse aux nombres pyramidaux qui sont aussi des carr´es. Montrer que c’est le cas de 4900, c’est-`a-dire qu’il existe ntel que :Pn= 4900. On utilisera une d´ecomposition en facteurs premiers et on pr´ecisera la valeur den.
Second Exercice - 7 points
Dans un manuscrit ancien, on a retrouv´e une multiplication partiellement effac´ee : 25× •4 = 8•9
o`u•repr´esente un chiffre effac´e.
1. En utilisant les derniers chiffres, montrer que la seule base possible pour que cette multiplication soit juste est la baseb= 11.
2. D´eterminer les chiffres manquant et traduire la multiplication en base 10.
Troisi`eme exercice - 6 points
Un exercice de compr´ehension. On trouve dans Euler (Introduction `a l’analyse infinit´esimale), le texte suivant :
«Siy est une fonction impaire dez, r´eciproquementz sera une fonction impaire dey.» En effet, puisqueyest une fonction impaire dez, si l’on ´ecrit−z`a la place dez,y se changera en−y. Donc, si la valeur dezest donn´ee eny, il faut n´ecessairement qu’en mettant−yau lieu dey, zdevienne aussi−z, et par cons´equent zsera une fonction impaire de y; par exemple, si y=z3,y est une fonction impaire de z, et de l’´equationz3=y ouz=y13, on conclura de mˆeme quez est une fonction impaire dey.
1. Traduire dans le langage math´ematique actuel l’´enonc´e de la proposition faite dans ce paragraphe.
On adaptera les notations et on apportera les pr´ecisions n´ecessaires.
2. Que penser de la d´emonstration qui suit l’´enonc´e ?
3. Proposer une d´emonstration, en employant les math´ematiques actuelles.
