Universit´ e de Cergy-Pontoise, Math´ ematiques,

Universit´ e de Cergy-Pontoise, Math´ ematiques,

Examen de Probabilit´ e - L3, 13 janvier 2011, dur´ ee 3 heures

Exercice 1. Soienta, b∈R,a < betX1, . . . , Xn des variables al´eatoires ind´ependantes, de la mˆeme loi uniforme sur [a, b].

1) ´Ecrire la densit´e de la variable al´eatoireX₁, puis calculer son ´esp´erance et la variance.

2) On poseV_n = max{X₁, . . . , X_n}. Trouver la fonction de r´epartition deV_n et en d´eduire la limite lim_n→∞P(|Vn−b| ≥ε) pour toutε >0.

3) Calculer la densit´e, l’´esp´erance et la variance et la fonction caract ´eristique deVn.

Exercice 2. On consid`ere une chaˆıne de Markov (X_n) sur l’espace d’´etats {1,2,3,4,5} avec la matrice de transition













0 1/4 1/4 1/4 1/4 1/4 0 1/4 1/4 1/4 1/4 1/4 0 1/4 1/4 1/4 1/4 1/4 0 1/4 1/4 1/4 1/4 1/4 0













(1) D´ecrire le graphe associ´e `a la chaˆıne (X_n).

(2) Cette chaˆıne de Markov est elle irr´eductible? D´eterminer la p´eriode de chaque ´etat.

(3) Calculer la loi invariante.

(4) Pour toutn∈N, on noteµn = (αn, βn, γn, εn, θn) la loi deXn :

P(X_n = 1) =α_n, P(X_n= 2) =β_n, P(X_n= 3) =γ_n, P(X_n= 4) =ε_n, P(X_n= 5) =θ_n et on suppose queµ0= (1,0,0,0,0). Calculerµ1et µ2.

(5) Montrer que pour toutn∈N,

αn+1= (1−αn)/4,

(6) Verifier que la suitezn=αn−1/5 est g´eom´etrique et en d´eduire la limiteα= limnαn. (7) Formuler le th´eor`eme de Doeblin et v´erifier que la chaˆıne de Markov (Xn) v´erifie ses condi-

tions.

(8) Calculer les limitesβ = limnβn,γ= limnγn, ε= limnεn etθ= limnθn.

Exercice 3.

(1) On posef(t) = log(pe^t+ 1−p), f^∗(x) = sup_t∈R xt−f(t)

, f₊^∗(x) = sup_t≥0 xt−f(t) etf₋^∗(x) = sup_t≤0 xt−f(t)

. Calculerf^∗(x), f₊^∗(x) etf₋^∗(x) pour a) 0< x < p

b) x=p c) p < x <1.

(2) SoientX1, . . . , Xn des variables al´eatoires ind´ependantes et de la mˆeme loi de Bernoulli du param`etrep >0. On poseSn=X1+· · ·+Xn.

a) CalculerE e^tX

et en d´eduireE e^tSn .

b) Citer l’in´egalit´e de Markov et montrer que pour tousx >0 ett >0, P

Sn

n ≥x

≤ exp

−n xt−f(t)

(Indication: Appliquer l’in´egalit´e de Markov `a une variable al´eatoire bien choisie) c) En d´eduire que pourx∈[p,1[,

P Sn

n ≥x

≤ exp(−nf^∗(x)) d) Montrer que pourx∈]0, p],

P S_n

n ≥x

≥ 1−exp(−nf^∗(x)).

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