Universit´ e de Cergy-Pontoise Juin 2012 SV-S1- Maths pour les Sciences
L1, seconde session
Dur´ee 1 heure 30, documents interdits, calculatrice autoris´ee
Premier Exercice -nombres complexes - 5 points
On suppose que le nombre complexe zv´erifie l’´egalit´e : 2z+iz = 1 +i 1. Montrer que z v´erifie ´egalement l’´egalit´e :
2z−iz= 1−i
2. En ´eliminant zentre ces deux ´egalit´es, calculer la valeur de z.
3. Montrer qu’il n’existe aucun nombre complexe u tel queu−u= 1 +i
Second Exercice - fonctions et int´egration -8 points
On note I l’intervalle I =]0,+∞[ et on consid`ere les deux fonctions d´efinies sur I par : f(x) =xlnx et g(x) =x2lnx
1. Montrer que, pour toutx de I, on af(x)≤g(x).
2. D´eterminer le tableau de variation de f.On pr´ecisera les limites de f lorsquex tend vers 0 et lorsque xtend vers +∞.
3. D´eterminer le tableau de variation de g. On pr´ecisera les limites de g lorsquex tend vers 0 et lorsque xtend vers +∞.
4. Tracer les courbes repr´esentatives de f et de g sur le mˆeme graphique.
5. Calculer, au moyen d’un int´egration par parties, l’int´egrale
F(x) = Z x
1
tlntdt et v´erifier que c’est une primitive def sur I.
Troisi`eme exercice - ´Equations diff´erentielles -7 points 1. R´esoudre l’´equation diff´erentielle
y0+ 2xy =x
On commencera par r´esoudre l’´equation sans second membre et on montrera qu’il y a une solution particuli`ere constante.
2. R´esoudre l’´equation diff´erentielle
y00+y0+y= 2x+ 1
On commencera par r´esoudre l’´equation sans second membre, et on cherchera une solution particuli`erey0 de l’´equation compl`ete de la forme : y0(x) =ax+bo`uaetbsont des r´eels
`
a d´eterminer.
