Universit´e de Cergy Pontoise Structures Alg´ebriques
L3, d´ecembre 2009
0 [3]
1. [1] ´Ecrire un ´el´ement d’ordre 6 dans le groupe additif Z/4Z×Z/15Z.
2. [1] Lequel entreI et J est un id´eal deR[x]? Justifier la r´eponse.
I ={p(x)∈R[x]|p(0) = 1}, J ={p(x)∈R[x]|p(1) = 0}.
3. [1] Calculer l’ordre et le signe de la permutation
σ = (137)(23)(45)(164)(1256)∈S7. A [5]
Soit
K = Z/5Z[x]
(x2+x+ 1). 1. [1] D´emontrer que K est un corps.
2. [1] En justifiant le r´eponse, donner le cardinal deK.
3. [1] SoitGle groupe (K\ {0},·).Calculer l’ordre de la classe dex(not´eex), puis l’ordre dex+ 1 et ensuite l’ordre dex+ 2.
4. [1] D´emontrer que Gest un groupe cyclique.
5. [1] Donner la liste des sous-groupes de cardinal 4 de G.
B [3]
1. [1] Soient G, H deux groupes et soit ϕ : G → H un morphisme de groupes.
Soit g∈G un ´el´ement d’ordren. D´emontrer que l’ordre deϕ(g) divisen.
2. [2] Peut il exister un morphisme surjectifde groupes Z/4Z×Z/8Z→Z/16Z? Justifier la r´eponse.
C [2]
Soitn≥3.D´emontrer que il n’existe pas un ´el´ementσ ∈Sn tel queσ3= (123).
2
D [11,5]
1. [1] Soit
QZ[x] ={a(x)∈Q[x]|a(0)∈Z}.
D´emontrer queQZ[x] est un sous-anneau de Q[x].
2. [1] Calculer l’ensemble QZ[x]∗des ´el´ements inversibles de QZ[x].
3. [1] Soit I l’id´eal de QZ[x] d´efini par I ={a(x) ∈ QZ[x]|a(0) = 0}. Donner un isomorphisme d’anneaux
QZ[x]
I 'Z.
4. [1,5] Donner la d´efinition d’anneau factoriel.
5. [3] D´emontrer que QZ[x] n’est pas factoriel.
6. [2] D´emontrer que l’id´ealI n’est pas principal.
7. [2] Calculer F rac(QZ[x]).
