Universit´ e de Cergy-Pontoise Mai 2010
L3-M-MI-MP Alg` ebre lin´ eaire et bilin´ eaire
Premi`ere session - Dur´ee 3 heures, documents et calculatrices interdits
Premier Exercice - Questions de cours - 4 points
1. Donner la d´efinition d’un produit scalaire (dans unR-espace vectoriel)
2. ´Enoncer, en pr´ecisant les hypoth`eses, ce qu’est la d´ecomposition de Dunford d’un endomorphisme d’unK-espace vectoriel de dimension finie.
Deuxi` eme Exercice - Exercices de cours - 6 points
1. Soituun endomorphisme d’unR-espace vectorielE.
M ontrerquelescoef f icients
(an) satisfont la relation de r´ecurrence
an+1= an
(2n+ 2)(2n+ 1) 2. On suppose de plus quef(0) = 1. Montrer que
∀n∈N, an = 1 (2n)!
3. Quel est le rayon de convergence de la s´erie enti`ere solution ? 4. Pourx∈I=]− ∞,0[, on pose
g(x) = cos(√
−x) Montrer quegest solution de (E) sur l’intervalleI.
5. Comparerf etg sur l’intervalleI.
Troisi` eme Exercice - Int´ egrales multiples - 5 points
SoitD le sous-ensemble deR2 d´efini par :
D= [0,1]×[0,1]
∆ le disque de centre (0,0) et de rayon 1, etE le sous ensemble d´efini par : E={(x, y)∈R20≤x≤y≤1}
1. Calculer
I= Z Z
D
(ax2+by2)dxdy 2. Calculer
J = Z Z
∆
(ax2+by2)dxdy On utilisera des coordonn´ees polaires.
3. Calculer
K= Z Z
E
2ydxdy (1 +x2+y2)2
Quatri` eme Exercice - Int´ egrales impropres- 5 points
Soitn∈N. On consid`ere l’int´egrale
In= Z +∞
1
dx xn√
x2−1 On notera
fn(x) = 1 xn√
x2−1
1. Donner un ´equivalent defn lorsquextend vers +∞et en d´eduire queIn converge d`es que n≥1.
2. Donner un ´equivalent defn lorsquextend vers 1 et en d´eduire queIn converge pour toutndeN. 3. Au moyen d’une int´egration par parties, montrer que :
In= (n+ 1)(In−In+2) On fera le d´ecoupage suivant :
fn(x) = 1
xn+1. x
√x2−1
4. Calculer I1. On pourra faire le changement de variable d´efini paru=√
x2−1. En d´eduireI3, I5
et I2p+1 o`upest un entier.
5. Calculer la d´eriv´ee de √u
u2+1 et en d´eduireI2,I4et I2p o`upest un entier non nul.
