ALG`EBRE BILIN´EAIRE

(1)

ALG` EBRE BILIN´ EAIRE

I PRODUIT SCALAIRE

1. D´ eﬁnitions 2. Caract´ erisations 3. Premi` eres propri´ et´ es 4. Des exemples

5. Norme euclidienne associ´ ee ` a un produit scalaire 6. Vecteur unitaire

II ORTHOGONALIT´ E

1. Premiers ´ el´ ements

2. Bases orthogonales et bases orthonormales ou orthonorm´ ees

3. Orthogonal d’un sous-espace vectoriel d’un espace vectoriel euclidien 4. Un exemple classique

III CONSTRUCTION DE BASES ORTHOGONALES ET DE BASES ORTHONORM´ EES

1. L’aspect th´ eorique

2. L’aspect pratique version 1 3. L’aspect pratique version 2 4. Dans un concours

IV PROJECTION ORTHOGONALE

1. D´ eﬁnition

2. Premi` eres caract´ erisations

3. Expression de la projection orthogonale

p_F

dans une base orthonorm´ ee de

F

4. L’aspect pratique

5. Le th´ eor` eme fondamental : la caract´ erisation d’une projection orthogonale par min- imisation de la norme

6. Une remarque importante

7. Une application du th´ eor` eme fondamental. M´ ethode des moindres carr´ es

(2)

V ENDOMORPHISMES ET MATRICES SYM ´ ETRIQUES

0. Quelques rappels sur les matrices sym´ etriques (resp. antisym´ etriques) 1. D´ eﬁnition d’un endomorphisme sym´ etrique

2. Caract´ erisation des endomorphismes sym´ etriques 3. Quelques propri´ et´ es

4. Une nouvelle caract´ erisation des projections orthogonales

5. R´ eduction d’un endomorphisme sym´ etrique et d’une matrice sym´ etrique

6. L’aspect pratique de la r´ eduction des endomorphismes et des matrices sym´ etriques

VI SAVOIR FAIRE VII COMPL´ EMENTS

1. ´ Egalit´ e dans l’in´ egalit´ e triangulaire

2. Matrice d’un endomorphisme sym´ etrique des une base orthonorm´ ee 3. Une caract´ erisation des bases orthonorm´ ees

4. Un peu plus sur les matrices orthogonales 5. Matrice d’un produit scalaire

6. Encore des propri´ et´ es des endomorphismes sym´ etriques 7. Caract´ erisations des matrices sym´ etriques

8. Caract´ erisation des projections orthogonales again 9. Encadrement de Rayleigh

10. Matrices sym´ etriques positives (resp. d´ eﬁnies positives)

11. Racine carr´ ee sym´ etrique et positive (resp. d´ eﬁnie positive) d’une matrice sym´ e- trique et positive (resp. d´ eﬁnie positive) de

Mn(R)

12. R´ ealisation de la distance d’un vecteur ` a un sous-espace dans un espace pr´ ehilber- tien

13. Adjoint d’un endomorphisme d’un espace vectoriel euclidien 14. Endomorphisme orthogonal

15. Base orthonorm´ ee de

Rn[X]

d´ eduite de la base canonique

(1,X, . . . ,Xⁿ)

de

Rn[X]

par le proc´ ed´ e d’orthonormalisation de Schmidt

16. D´ ecomposition polaire d’une matrice inversible de

Mn(R)

17. D´ ecomposition d’Iwasawa d’une matrice inversible de

_Mn(R)

18. D´ ecomposition de Cholesky d’une matrice sym´ etrique d´ eﬁnie positive

19. Th´ eor` eme de Courant-Fischer

(3)

20. Endomorphismes antisym´ etriques

21. D´ ecomposition spectrale d’une matrice sym´ etrique 22. Caract´ erisation des normes euclidiennes

VIII DES ERREURS ` A ´ EVITER

IX PRATIQUES OU RH´ ETORIQUES USUELLES TOUTES FAITES

1. Produit scalaire

2. Orthogonal d’un sous-espace

3. Diagonalisation d’un endomorphisme sym´ etrique

4. Diagonalisation d’une matrice sym´ etrique ` a coeﬃcients r´ eels

X LES BONS COUPS DE BILI-N ´ EAIRE THE KID

POUR AM ´ ELIORER TON EUCLIDIENNE ATTITUDE

(4)

ALG` EBRE BILIN´ EAIRE

ISi vous trouvez quelques ”coquilles” dans ces feuilles merci de me les signaler (jean-francois.cossutta@wanadoo.fr).

P

Mentionne des résultats particulièrement utiles et souvent oubliés dans la pratique de l’algèbre bilinéaire...

⋆ Mentionne des erreurs `a ne pas faire ou des hypoth`eses importantes ou des mises en garde.

SD

Mentionne des r´esultats qu’il serait bon de savoir d´emontrer.

Dans ce qui suit, sauf mention du contraire, E est un espace vectoriel sur R .

Notons que le programme d’algèbre bilinéaire de 2014 est très proche du précédent.

I PRODUIT SCALAIRE

I

1. D´ eﬁnitions

Déf. 1 On appelleproduit scalairesurE toute application φdeE×E dansRvérifiant :

1. ∀(x, y, z)∈E³, ∀λ∈R, φ(λ x+y, z) =λ φ(x, z) +φ(y, z) (φest lin´eaire `a gauche).

2. ∀(x, y, z)∈E³, ∀λ∈R, φ(x, λ y+z) =λ φ(x, y) +φ(x, z) (φest linéaire à droite) . 3. ∀(x, y)∈E², φ(y, x) =φ(x, y) (φest symétrique).

4. ∀x∈E, φ(x, x)>0 (φest positive).

5. ∀x∈E, φ(x, x) = 0 =⇒x= 0_E (φest d´eﬁnie).

Ainsi un produit scalaire surE estune forme bilinéaire sur E, symétrique et définie positive.

Dans toute la suite nous utiliserons, le plus souvent la notation < ., . > pour d´esigner un produit scalaire. On trouve assez souvent les notations : (.|.) ou (., .).

Déf. 2 •On appelle espace préhilbertien réel, tout couple (E, < ., . >) o`u E est un espace vectoriel surRet (x, y)→< x, y >un produit scalaire sur E.

•On appelleespace vectoriel euclidien, tout espace préhilbertien réel de dimension finie.

I

2. Caract´ erisations

Th. 1

P

Soit (x, y)→< x, y >une application deE² dansR.

< ., . > est un produit scalaire surE si et seulement si :

1. ∀(x, y, z)∈E³, ∀λ∈R, < λ x+y, z >=λ < x, z >+< y, z >.

2. ∀(x, y)∈E², < y, x >=< x, y >.

3. ∀x∈E, < x, x >>0.

4. ∀x∈E, < x, x >= 0 =⇒x= 0E.

(5)

Th. 2

P

Soit (x, y)→< x, y >une application deE² dansR.

< ., . > est un produit scalaire surE si et seulement si :

1. ∀(x, y, z)∈E³, ∀λ∈R, < x, λ y+z >=λ < x, y >+< x, z >.

2. ∀(x, y)∈E², < y, x >=< x, y >.

3. ∀x∈E, < x, x >>0.

4. ∀x∈E, < x, x >= 0 =⇒x= 0_E.

⋆ Notons donc que< ., . >linéaire à gauche (resp à droite) et symétrique donne< ., . >bilinéaire et symétrique.

NNNDans toute la suite < ., . >est un produit scalaire surE donc (E, < ., . >) est un espace pr´ehilbertien r´eel.

Lorsque cela sera néssaire, nous préciserons siEest un espace euclidien. A défautEest donc un espace préhilbertien.

I

3. Premi` eres propri´ et´ es

Prop. 1 1. ∀x∈E, < x,0E >=<0E, x >= 0.

2. ∀(x, y)∈E², <−x, y >=−< x, y >=< x,−y > .

Prop. 2

P

petq sont deux éléments de N^∗. (xi)16i6p et (yj)16j6q sont deux familles d’éléments de E.

(λ_i)₁₆_i₆_p et (µ_j)₁₆_j₆_q sont deux familles de r´eels. Alors :

<

∑p i=1

λixi,

∑q j=1

µjyj>=

∑p i=1

∑q j=1

λiµj < xi, yj>.

I

4. Des exemples

1 E=Rⁿ. Six= (x1, x2, . . . , xn) ety= (y1, y2, . . . , yn) sont deux ´el´ements deRⁿ, on pose :

< x, y >=

∑n k=1

xkyk.

< ., . > est un produit scalaire surRⁿ. C’est le produit scalaire canonique deRⁿ.

2 E=Mn,1(R). SiX =





 x1

x2

... x_n





et Y =





 y1

y2

... yn





sont deux ´el´ements deMn,1(R), on pose :

< X, Y >=

∑n k=1

xkyk =^tXY =^tY X.

< ., . > est un produit scalaire surMn,1(R). C’est le produit scalaire canonique deMn,1(R).

3 E=Mn,p(R) . SiA= (aij) et B= (bij) sont deux ´el´ements deE on pose

< A, B >=

∑n i=1

∑p j=1

aijbij = tr(^tA×B).

< ., . > est un produit scalaire surE. C’est le produit scalaire canonique deMn,p(R).

(6)

R

k=0 k=0

R

< P, Q >=

∑n k=0

a_kb_k.

< ., . > est un produit scalaire surRn[X]. C’est le produit scalaire canonique deRn[X].

5 E=C([a, b],R) est l’espace vectoriel des fonctions num´eriques continues sur [a, b] (a < b) etpest une fonction num´erique continue et strictement positive sur [a, b].

Sif et gsont deux ´el´ements de E on pose :

< f, g >=

∫ b a

f(t)g(t)p(t) dt.

< ., . > est un produit scalaire surE.

I

5. Norme euclidienne associ´ ee ` a un produit scalaire

Th. 3 L’inégalité de Cauchy-Schwarz. Soient xet y deux éléments de E.

1. |< x, y >|6√

< x, x >√

< y, y > et (< x, y >)²6< x, x > < y, y >.

2. |< x, y >|=√

< x, x >√

< y, y >si et seulement si (x, y) est li´ee.

Cor. 1 x= (x₁, x₂, . . . , x_n) ety= (y₁, y₂, . . . , y_n) sont deux ´el´ements deRⁿ.

∑n k=1

x_ky_k6 vu ut∑ⁿ

k=1

x²_k vu ut∑ⁿ

k=1

y²_k.

(∑ⁿ

k=1

x_ky_k )2

6

∑n k=1

x²_k

∑n k=1

y²_k.

Cor. 2 Soitf et gdeux fonctions num´eriques continues sur [a, b].

∫ b a

f(t)g(t) dt6

√∫ b a

f²(t) dt

√∫ b a

g²(t) dt.

( ∫ ^b

a

f(t)g(t) dt )2

6

∫ b a

f²(t) dt

∫ b a

g²(t) dt.

Déf. 3 On appellenormesur unK-espace vectorielE(K=RouC) toute applicationNdeEdansR⁺vérifiant : N1 ∀x∈E, N(x) = 0⇐⇒x= 0_E.

N2 ∀x∈E, ∀λ∈K, N(λx) =|λ|N(x).

N3 ∀(x, y)∈E², N(x+y)6N(x) +N(y).

Th. 4etdéf. 4 L’application qui à tout élément xdeE associe√

< x, x >est une norme sur E.

C’estla norme associ´ee au produit scalaire< ., . >. On parle denorme euclidienne.

Dans la suite nous noterons∥x∥la norme d’un élémentxdeEc’est à dire le réel positif√

< x, x >, nous d´esignerons alors par∥·∥ la norme associ´ee au produit scalaire< ., . >.

(7)

Th. 5 • ∀x∈E, ∥x∥= 0⇔x= 0E.

• ∀x∈E, ∀λ∈R, ∥λx∥=|λ|∥x∥.

• ∀(x, y)∈E², ∥x+y∥6∥x∥+∥y∥ (in´egalit´e de Minkovski).

Th. 6 Inégalité de Cauchy-Schwarz again xety sont deux éléments deE.

1. |< x, y >|6∥x∥ ∥y∥ et (< x, y >)²6∥x∥²∥y∥². 2. |< x, y >|=∥x∥ ∥y∥si et seulement si (x, y) est li´ee.

Prop. 3 • ∀(x, y)∈E², ∥x∥ − ∥y∥6∥x+y∥6∥x∥+∥y∥.

• ∀(x, y)∈E², ∥x∥ − ∥y∥6∥x−y∥6∥x∥+∥y∥. Th. 7 Identités remarquables xety sont deux éléments deE.

∥x+y∥²=∥x∥²+ 2< x, y >+∥y∥². ∥x−y∥²=∥x∥²−2< x, y >+∥y∥².

< x+y, x−y >=∥x∥²− ∥y∥².

Th. 8 Encore une identité remarquable x1,x2, ...,xp sontpéléments de E.

∥x₁+x₂+· · ·+x_p∥²=

∑p i=1

∥x_i∥²+ 2 ∑

16i<j6p

< x_i, x_j>.

Th. 9 Identités de polarisation xety sont deux éléments deE.

< x, y >= 1 2

[∥x+y∥²− ∥x∥²− ∥y∥²]

. < x, y >= 1 2

[∥x∥²+∥y∥²− ∥x−y∥²] .

< x, y >=1 4

[∥x+y∥²− ∥x−y∥²] .

Th. 10 Identit´e du parall´elogramme ∀(x, y)∈E², ∥x+y∥²+∥x−y∥²= 2∥x∥²+ 2∥y∥². I

6. Vecteur unitaire

D´ef. 5 Unvecteur unitaire ou norm´edeE est un vecteur dont la norme vaut 1.

⋆ Au niveau des polynˆomes il ne faudra pas confondre les deux notions d’unitaire. Une bonne lecture du texte ou le contexte permettent de lever les ambiguit´es.

Prop. 4 1. Sixest un vecteur non nul deE, 1

∥x∥xest un vecteur unitaire deE.

2. Un droite vectorielle deE contient exactement deux vecteurs unitaires qui sont oppos´es.

(8)

II ORTHOGONALIT´ E

I

1. Premiers ´ el´ ements

Déf. 6 1. On dit que deux élémentsxetydeEsontorthogonauxsi leur produit scalaire est nul, autrement dit si< x, y >= 0.

2. Unélément x de E est orthogonal à une partie AdeE sixest orthogonal à tous les éléments de A.

3. Deux parties A et B de E sont orthogonalessi tout vecteur deA est orthogonal `a tout vecteur deB.

4. L’orthogonal d’une partie A de Eest l’ensemble des vecteurs deE orthogonaux `a A. On noteA^⊥ cet orthogonal etA^⊥⊥ l’orthogonal deA^⊥.

Th. 11 Théorème de Pythagore. xety sont deux éléments deE xet ysont orthogonaux si et seulement si∥x+y∥²=∥x∥²+∥y∥² ou :< x, y >= 0 ⇐⇒ ∥x+y∥²=∥x∥²+∥y∥².

Prop. 5 Si (x1, x2, . . . , xn) est une famille d’éléments deE deux à deux orthogonaux :

∥x₁+x₂+· · ·+x_n∥²=∥x₁∥²+∥x₂∥²+· · ·+∥x_n∥².

Th. 12 1. E^⊥={0E}.

P

2. {0_E}^⊥ =E.

3. SoitF un sous-espace vectoriel de E.

•F^⊥ est un sous-espace vectoriel deE.

•F∩F^⊥={0E}.

•F ⊂F^⊥⊥.

⋆

P

E^⊥={0_E}s’utilise souvent de la manière suivante. Pour montrer qu’un vecteur deEest nul on montre qu’il est orthogonal à tous les éléments deE. Ou pour montrer que deux vecteursxetydeEsont égaux on montre quex−y est orthogonal à tous les éléments deE.

Prop. 6 F et Gsont deux sous-espaces vectoriels deE. F ⊂GdonneG^⊥⊂F^⊥.

Prop. 7

P

F et Gsont deux sous-espaces vectoriels deE. SiF etGsont orthogonaux alorsF∩G={0_E}. Prop. 8 F et Gsont deux sous-espaces vectoriels deE. Les assertions suivantes sont ´equivalentes.

i)F etGsont orthogonaux.

ii) F⊂G^⊥. iii) G⊂F^⊥.

(9)

Prop. 9 F et Gsont deux sous-espaces vectoriels deE respectivement engendr´es par (u1, u2, . . . , up) et (v1, v2, . . . , vq).

P

1. F^⊥ ={x∈E| ∀i∈[[1, p]], < x, ui>= 0}.

P

2. F et Gsont orthogonaux si et seulement si :∀(i, j)∈[[1, p]]×[[1, q]], < ui, vj>= 0.

I

2. Bases orthogonales et bases orthonormales ou orthonorm´ ees

Déf. 7 Soit (xi)i∈I une famille d’éléments deE.

(xi)i∈I est unefamille orthogonaledeE si les éléments de cette famille sont deux à deux orthogonaux.

(xi)i∈I est unefamillle orthonormaleouorthonorméed’éléments deE si les éléments de cette famille sont unitaires et deux à deux orthogonaux.

Prop. 10 1. Toute famille orthogonale constitu´ee de vecteurs non nuls est libre.

2. Toute famille orthonorm´ee est libre.

D´ef. 8 •On appellebase orthogonaledeE toute famille orthogonale deE qui en est une base.

• On appelle base orthonormale ou orthonorm´eede E toute famille orthonormale ou orthonorm´ee deE qui en est une base.

Avant 2005 le programme parlait de base orthonormale. Entre 2005 et 2103 il parlait de base orthonorm´ee. Apr`es 2014 le programme mentionne les deux appellations. Qu’on se le dise...

Th. 13

PP

Les bases canoniques deRⁿ,Mn,p(R),Mn,1(R),M1,n(R),Rn[X] sont othonorm´ees pour les produits scalaires canoniques de ces espaces vectoriels.

Th. 14

PP

SoitB= (e1, e2, . . . , en) une base orthonormée deE. Soitxun élément deE.

x=

∑n k=1

< x, ek> ek.

Th. 15

PP

Soit B = (e1, e2, . . . , en) une base orthonorm´ee de E. Soient x et y deux vecteurs de E de coordonn´ees respectives (x₁, x₂, . . . , x_n) et (y₁, y₂, . . . , y_n) dans cette base. Soient X et Y les matrices de xet ydansB.

< x, y >=

∑n k=1

xkyk=^tXY =^tXY. ∥x∥= vu ut∑ⁿ

k=1

x²_k =√

tXX =∥X∥.

Prop. 11 B= (e1, e2, . . . , en) est une base d’un espace vectoriel r´eel E.

1. Il existe un produit scalaire< ., . >surEet un seul qui rend la baseB= (e1, e2, . . . , en) orthonorm´ee.

2. ∀x=

∑n k=1

xkek∈E, ∀y=

∑n k=1

ykek ∈E, < x, y >=

∑n k=1

xkyk.

3. Dans les espaces vectoriels r´eels usuels, le produit scalaire canonique est celui qui rend la base canonique orthonorm´ee.

Déf. 9 Une matriceP deMn(R) estorthogonale si elle vérifieP^tP =^tP P =In.

(10)

transpos´ee.

Th. 16 Changement de bases orthonorm´ees.

SoitB= (e₁, e₂, . . . , e_n) etB^′= (e^′₁, e^′₂, . . . , e^′_n) deux bases orthonorm´ees deE.

La matrice de passageP deB`a B^′ est orthogonale. AinsiP^tP =^tP P =In etP⁻¹=^tP.

Prop. 13

SoitB= (e1, e2, . . . , en) une base orthonormée deE. SoitB^′= (e^′1, e^′2, . . . , e^′n) une familled’éléments deE.

SoitP la matrice de la familleB^′ dans la baseB.

B^′ est une base orthonorm´ee deE si et seulement siP est une matrice orthogonale.

Th. 17 Dans un espace vectoriel euclidien on peut compléter une famille orthonormée en une base orthonormée.

Th. 18 Tout espace vectoriel euclidien de dimension non nulle poss`ede une base orthonorm´ee.

Th. 19 On suppose queEest de dimension n .

1. Toute famille orthogonale de n vecteurs non nuls deE est une base orthogonale deE.

2. Toute famille orthonorm´ee de n vecteurs deE est une base orthonorm´ee de E.

I

3. Orthogonal d’un sous-espace vectoriel d’un espace vectoriel euclidien

Th. 20 SoitF un sous-espace vectoriel d’un espace vectoriel euclidien E .

• E=F⊕F^⊥ et F^⊥⊥=F .

•F^⊥ est l’unique suppl´ementaire deF orthogonal `aF.

P SD

Ce résultat ne vaut pas dans un espace préhilbertien réel quelconque. Néanmoins il reste vrai dans le cas important oùEest un espace préhilbertien réel et oùF est un sous-espace vectoriel deEde dimension finie.

⋆⋆ Si F et Gsont deux sous-espaces vectoriels orthogonaux deE, on ´evitera de dire queG=F^⊥ ouF =G^⊥. F etGorthogonaux signiﬁeF⊂G^⊥ ou (et ! !) G⊂F^⊥. Cependant :

Prop. 14 Si F et Gsont deux sous-espaces vectoriels de E orthogonaux et suppl´ementaires alorsG=F^⊥ (etF =G^⊥).

⋆ Notons que ce résultat vaut dans un prélhibertien mais pas sa réciproque.

Prop. 15

P

F est un sous-espace vectoriel de l’espace vectoriel euclidienE distinct de{0_E} etE.

Si B^′ est une base orthonormée de F etB^′′ est une base orthonormée de F^⊥ alorsB^′∪ B^′′ est une base orthonormée deE.

Prop. 16

P

F est un sous-espace vectoriel de l’espace vectoriel euclidienE distinct de{0E} et deE.

Soit (e1, e2, . . . , ep) une base orthonormée deF qui se complète en une base orthonormée (e1, e2, . . . , en) deE.

F^⊥est le sous-espace vectoriel deEengendr´e par (ep+1, ep+2, . . . , en). Mieux (ep+1, ep+2, . . . , en) est une base orthonorm´ee deF^⊥.

(11)

Prop. 17

P

B= (e1, e2, . . . , en) est une base orthonorm´ee deE. a1,a2, ...,an sontnr´eels non tous nuls.

1. L’orthogonal de la droite vectorielle engendr´ee para1e1+a2e2+· · ·+anen est l’hyperplan d’´equation a1x1+a2x2+· · ·+anxn = 0 dansB.

2. L’orthogonal de l’hyperplan d’´equationa1x1+a2x2+· · ·+anxn = 0 dansB est la droite vectorielle engendr´ee para₁e₁+a₂e₂+· · ·+a_ne_n.

I

4. Un exemple classique

Prop. 18 •Dans Mn(R), pour le produit scalaire canonique, l’orthogonal du sous-espace vectorielSn(R) des matrices sym´etriques deMn(R) est le sous-espace vectorielAn(R) des matrices antisym´etriques deMn(R).

•DansMn(R), pour le produit scalaire canonique, l’orthogonal du sous-espace vectorielAn(R) des matrices antisym´etriques deMn(R) est le sous-espace vectorielSn(R) des matrices sym´etriques deMn(R).

Prop. 19 Le sous-espace vectoriel des matrices symétriques de Mn(R) et le sous-espace vectoriel des matrices antisymétriques deMn(R) sont supplémentaires et orthogonaux dansMn(R) muni du produit scalaire canonique.

Mn(R) =Sn(R)

⊕⊥

An(R) . Rappelons que dimSn(R) =n(n+ 1)

2 et dimAn(R) =n(n−1)

2 ·

(12)

III CONSTRUCTION DE BASES ORTHOGONALES ET DE BASES ORTHONORM´ EES

I

1. L’aspect th´ eorique

Th. 1 Soit (u1, u2, . . . , un) une base quelconque deE.

Il existe une base orthonorm´ee deEet une seule (w1, w2, . . . , wn) telle que pour toutkappartenant `a [[1, n]] :

1. Vect(w1, w2, . . . , wk) = Vect(u1, u2, . . . , uk).

2. < wk, uk >est strictement positif.

(w1, w2, . . . , wn) est LA base orthonormée déduite de (u1, u2, . . . , un) par le procédé d’orthonormalisation de Schmidt.

Il convient de noter que :

•w₁est LEvecteur unitaire de Vect(u₁) qui v´eriﬁe< w₁, u₁> >0.

•Pour toutkélément de [[2, n]],w_kestLEvecteur unitaire de la droite vectorielle constituée par l’orthogonal de Vect(u₁, u₂, . . . , u_k₋₁) dans Vect(u₁, u₂, . . . , u_k) qui vérifie< w_k, u_k > >0.

I

2. L’aspect pratique version 1

P

On se replace dans la situation du théorème précédent.

Pour construire la base (w1, w2, . . . , wn) on utilise la m´ethode de Schmidt bas´ee sur l’algorithme suivant.

• On construit d’abordw₁. Pour cela on posew₁=λ u₁ et on chercheλtel que∥w₁∥= 1 et< w₁, u₁>>0.

• Supposons que l’on ait construit (w₁, w₂, . . . , w_k₋₁) pour kdans [[2, n−1]]. On construit alorsw_k. Pour cela on posew_k =λ₁w₁+λ₂w₂+· · ·+λ_k₋₁w_k₋₁+λ_ku_k.

En ´ecrivant quewk est orthogonal `awi on exprimeλi en fonction deλk pour toutidans [[1, k−1]].

On trouve alorsλk en utilisant∥wk∥= 1 et< wk, uk>>0.

Notons que :w1= 1

∥u1∥u1 et∀k∈[[2, n]], wk = 1

∥tk∥tk avectk =uk−

k−1

∑

i=1

< uk, wi> wi. I

3. L’aspect pratique version 2

Le conseil du CoachLa méthode précédente est intéressante mais assez lourde. La machine le fait très bien nous un peu moins bien... Le fait de normer les vecteurs à chaque étape complique les calculs et les expressions. Le mieux est donc de commencer par construire “une” base orthogonale et d’en déduire la base orthonormée mentionnée dans le résultat théorique en multipliant chacun des vecteurs par l’inverse de leur norme. Ce qui suit propose une méthode pour réaliser cet objectif.

(13)

PP

Soit (u1, u2, . . . , un) une base quelconque de E.

Pour construire cette base orthogonale (v1, v2, . . . , vn) à partie de (u1, u2, . . . , un) on procède de la manière suivante.

• On posev1=u1.

• Supposons que l’on ait construit (v₁, v₂, . . . , v_k₋₁) famille orthogonale deE telle que : Vect(v₁, v₂, . . . , v_k₋₁) = Vect(u₁, u₂, . . . , u_k₋₁) (k∈[[1, n−1]]).

On construit alorsv_k. Pour cela on posev_k =u_k+λ₁v₁+λ₂v₂+· · ·+λ_k₋₁v_k₋₁. En ´ecrivant quev_k est orthogonal `a v_i on calculeλ_i pour toutidans [[1, k−1]].

On obtient alorsvk =uk−

k−1

∑

i=1

< uk, vi>

< vi, vi> vi=uk−

k−1

∑

i=1

< uk, vi>

∥vi∥² vi. Th. 2 Soit (u₁, u₂, . . . , u_n) une base quelconque deE.

Soit (v1, v2, . . . , vn) la famille d’éléments deE définie par la récurrence suivante : v₁=u₁et ∀k∈[[2, n]], v_k =u_k−

k−1

∑

i=1

< uk, vi>

< v_i, v_i> v_i=u_k−

k−1

∑

i=1

< uk, vi >

∥v_i∥² v_i.

1. (v₁, v₂, . . . , v_n) est une base orthogonale deE telle que :

∀k∈[[1, n]], Vect(v1, v2, . . . , vk) = Vect(u1, u2, . . . , uk).

2. Posons∀k∈[[1, n]], w_k= 1

∥v_k∥v_k. (w₁, w₂, . . . , w_n) est l’unique base orthonorm´ee deE telle que : 1. Vect(w1, w2, . . . , wk) = Vect(u1, u2, . . . , uk).

2. < wk, uk >est strictement positif.

PP

La pratique pour les esprits simples...

Soit (u1, u2, . . . , un) une base quelconque deE.

Pour construire une base orthonormée (w1, w2, . . . , wn) à partie de (u1, u2, . . . , un) on procède de la manière suivante.

Etape 1 On pose´ v1=u1.

Etape 2 On pose´ v2=u2+α v1et on cherche αpour quev2soit orthogonal `a v1.

Etape 3 On pose´ v₃=u₃+β v₁+γ v₂et on cherche β etγ pour quev₃ soit orthogonal `av₁et v₂. Et ainsi de suite...

Ne reste plus qu’ `a poser, pour toutkdans [[1, n]],w_k = 1

∥v_k∥v_k. (w₁, w₂, . . . , w_n) est une base orthonorm´ee deE.

Mieux c’est LA base orthonormée deEdéduite de (u1, u2, . . . , un) par le procédé d’orthonormalisation de Schmidt.

I

4. Dans un concours

Dans les concours les deux questions classiques sont :

Construire la base orthonormée déduite de (u1,u2, . . . ,un) par le procédé d’orthonormalisation de Schmidt.

Montrer que (w1,w2, . . . ,wn) est la base orthonormée déduite de (u1, u2, . . . , un) par le procédé d’orthonormalisation de Schmidt.

(14)

IV PROJECTION ORTHOGONALE

Dans cette section, sauf mention du contraire,E est un espace vectoriel euclidien .

On note< ., . >le produit scalaire défini surEet∥.∥la norme associée. On rappelle alors que siF est un sous-espace vectoriel deE,F etF^⊥ sont supplémentaires.

I

1. D´ eﬁnition

Déf. 1 SoitF un sous-espace vectoriel de l’espace vectoriel euclidienE. Laprojection orthogonalesurF n’est autre que la projection surF parallèlement àF^⊥.

⋆ Si F est un sous-espace vectoriel de l’espace préhilbertien E on peut définir la projection orthogonale surF dès que F^⊥ est un supplémentaire de F dansE. C’est par exemple le cas siF est de dimension finie.

I

2. Premi` eres caract´ erisations

Prop. 1 F est un sous-espace vectoriel de l’espace vectoriel euclidienE. p_F est la projection orthogonale surF. Sixet y sont deux ´el´ements deE:

pF(x) =y ⇐⇒

{y∈F

x−y∈F^⊥ .

En clair les propriétéspF(x)∈F et x−PF(x)∈F^⊥ sont caractéristiques de la projection orthogonale dexsurF.

Th. 3

PP

F est un sous-espace vectoriel de l’espace vectoriel euclidienE. pF est la projection orthogonale surF.

Sixety sont deux ´el´ements deE:

p_F(x) =y ⇐⇒

{y∈F

∀z∈F, < x−y, z >= 0 .

On retiendra de ce r´esultat qu’il n’est pas n´ecessaire de connaˆıtre F^⊥ pour trouver la projection orthogonale de x sur F.

I

3. Expression de la projection orthogonale

pF

dans une base orthonorm´ ee de

F

.

Th. 4

PP

F est un sous-espace vectoriel deE et (u₁, u₂, . . . , u_p) est une base orthonormée deF . p_F est la projection orthogonale sur F. Pour tout élémentxdeE:

pF(x) =

∑p k=1

< x, uk> uk.

⋆ J’ai not´epla dimension deF alors que c’estkdans programme... Mais j’assume...

(15)

Th. 5

P

E est un espace vectoriel euclidien etBest unebase orthonorm´eedeE.

F est un sous-espace vectoriel deE et (u1, u2, . . . , up) est une base orthonorm´ee deF.

Pour toutkdans [[1, p]],Uk est la matrice deuk dans la baseB. pF est la projection orthogonale surF. Alors la matrice dep_F dans la baseB est

∑p k=1

U_k^tU_k, donc M_B(p_F) =

∑p k=1

U_k^tU_k.

Notons que ce r´esultat est un ”+” du programme 2014.

Cor. 1

P

Dest une droite vectorielle de Eet p_D est la projection orthogonale sur D.

Siuestun vecteur unitaire de D, pour tout ´el´ement xdeE: p_D(x) =< x, u > u.

Siuest un vecteur non nul de D, pour tout ´el´ementxdeE: pD(x) =< x, u >

∥u∥² u.

Cor. 2

P

Eest un espace vectoriel euclidien de dimension nsupérieure ou égale à 2. H est un hyperplan deE etp_H est la projection orthogonale surH.

Siuestun vecteur unitaire orthogonal à H, pour tout élément xdeE: pH(x) =x−< x, u > u.

Siuestun vecteur non nul orthogonal à H, pour tout élémentxdeE: pH(x) =x−< x, u >

∥u∥² u.

I

4. L’aspect pratique

P

(E, < ., . >) est un espace vectoriel euclidien (ou un pr´ehilbertien....). F est un sous-espace vectoriel deE etpF est la projection orthogonale surF. (u1, u2, . . . , up) est une basequelconquedeF.

xest un ´el´ement de E. Pour trouverpF(x) on peut :

M1 •Utiliserp_F(x)∈F etx−p_F(x)∈F^⊥ (resp. p_F(x)∈F et∀z∈F, < x−p_F(x), z >= 0).

M2 •Construire une base orthonorm´ee (w₁, w₂, . . . , w_p) deF et utiliser :p_F(x) =

∑p k=1

< x, w_k > w_k.

M3 • Poserp_F(x) =

∑p k=1

x_ku_k. On cherche alors (x₁, x₂, . . . , x_p) en ´ecrivant quex−p_F(x) est orthogonal

`

a F donc à tous les éléments de la base (u1, u2, . . . , up) deF. On obtient rapidement :

∀i∈[[1, p]], < x, ui>=< pF(x), ui >=

∑p k=1

< uk, ui> xk=

∑p k=1

< ui, uk > xk.

Ceci donne un système linéaire depéquations àpinconnues que l’on résout.

Ce système s’écrit matriciellementAX=B oùA= (< u_i, u_j>),X=





 x₁ x₂ ... xp





etB=







< x, u1>

< x, u2>

...

< x, up>





.

A est une matrice inversible de Mp(R) (A est la matrice de la restriction du produit scalaire `a F dans la base (u₁, u₂, . . . , u_p)). Le syst`eme admet donc une solution et une seule (ce qui n’est pas un scoop...).

•Ne pas oublier de regarder au pr´ealable siF est un hyperplan. Dans ce cas on d´eterminep_F⊥ (F^⊥est une droite vectorielle...) et on utilisepF = IdE−p_F⊥.

(16)

imisation de la norme

Déf. 2 SoientAune partie non vide d’un espace préhilbertienE etxun élément deE.

La distance de x `a Aest la borne inf´erieure de l’ensemble{∥x−z∥;z∈A}. On la noted(x,A).

d(x, A) = Inf

z∈A∥x−z∥.

⋆ Il convient de remarquer qued(x, A) existe toujours car{∥x−z∥; z∈A} est une partie non vide et minorée de R mais qu’il n’existe pas toujours un élément a deA tel que d(x, A) = ∥x−a∥. Autrement dit Min

z∈A∥x−z∥ n’existe pas toujours.

Th. 6 ”Th´eor`eme de meilleure approximation”

SoitF un sous-espace vectoriel de l’espace vectoriel euclidien Eetp_F (resp. p_F⊥) la projection orthogonale surF (resp. F^⊥).

Soitxun ´el´ement deE.

1. • ∀z∈F, ∥x−pF(x)∥6∥x−z∥.

•Si test un ´el´ement deF tel que :∀z∈F, ∥x−t∥6∥x−z∥ alorst=pF(x).

2. Autrement dit Min

z∈F∥x−z∥ existe et vaut ∥x−pF(x)∥. De pluspF(x) est l’unique élément de F qui réalise ce minimum.

p_F(x) est donc l’unique ´el´ement de F tel que d(x, F) =∥x−p_F(x)∥.

La projection orthogonale dexsurF estla meilleure approximation dexpar un ´el´ement deF. 3. d²(x, F) =∥x−p_F(x)∥²=∥x∥²− ∥p_F(x)∥²=∥x∥²−< x, p_F(x)>=∥p_F⊥(x)∥².

⋆ On est prié de remarquer que ce théorème contient 3 choses.

• L’EXISTENCE d’un minimum pour la partie{∥x−z∥ |z∈F}deR⁺.

•pF(x) est l’unique élément deF qui réalise ce minimum ou qui ”réalise la distance dexà F”.

•Le carr´e de la distance dex`a F vaut∥x−pF(x)∥² ou∥x∥²− ∥pF(x)∥²ou∥x∥²−< x, pF(x)>ou encore

∥p_F⊥(x)∥².

P

Notons que la quantit´e∥x∥²−< x, p_F(x)>est souvent la plus simple `a calculer.

La formulation du programme...

Th. 7 Caract´erisation de la projection orthogonale par minimisation de la norme.

SoitF un sous-espace vectoriel de l’espace vectoriel euclidien E etpF la projection orthogonale surF. xety sont deux ´el´ements deE.

y=p_F(x)⇐⇒y∈F et ∥x−y∥= Inf

z∈F∥x−z∥ ou y=p_F(x)⇐⇒y∈F et ∥x−y∥= Min

z∈F∥x−z∥. I

6. Une remarque importante

⋆⋆ Il est important de savoir que ce qui précède vaut encore dans un espace préhilbertien réel E pourvu que F ⊕F^⊥ = E. Rappelons que c’est le cas lorsque F est de dimension finie. D’où l’importance de connaˆıtre les démonstrations de ces résultats que les concepteurs recyclent souvent lorsqu’ils souhaitent vous faire travailler dans les préhilbertiens réels quelconques.

(17)

I

7. Une application du th´ eor` eme fondamental. M´ ethode des moindres carr´ es

Th. 8 M´ethode des moindres carr´es.

Aest un élément deMn,p(R) etB un élément de Mn,1(R). On suppose que le rang de A est p .

∥.∥est la norme deMn,1(R) associ´ee au produit scalaire canonique.

1. Min

X∈Mp,1(R)∥AX−B∥ existe.

2. Il existe un unique ´el´ement X₀ deMp,1(R) tel que∥AX₀−B∥= Min

X∈Mp,1(R)∥AX−B∥. 3. ^tAAest inversible.

4. X₀= (^tAA)⁻¹(^tAB) ou ^tAAX₀=^tAB .

P

Pour trouver X0, il est préférable de résoudre le système X0 ∈ Mp,1(R) et ^tAAX0 = ^tAB plutôt que de calculer directement l’inverse de^tAA.

Notons que le programme de 2014 dit que”la formule donnant la valeur du point r´ealisant le minimum n’est pas exigible”. Alors il est sans doute utile d’apprendre `a la retrouver...

(18)

V ENDOMORPHISMES ET MATRICES SYM ´ ETRIQUES

I

0. Quelques rappels sur les matrices sym´ etriques (resp. antisym´ etriques)

D´ef. 3 SoitA= (ai,j) une matrice deMn(R) (ou deMn(K)).

Aestsym´etriquesi^tA=Aou si∀(i, j)∈[[1, n]]², aj,i=ai,j.

Aestantisym´etriquesi^tA=−A ou si∀(i, j)∈[[1, n]]², aj,i=−ai,j.

Prop. 2 • L’ensemble des matrices sym´etriques deMn(K) est un sous-espace vectoriel deMn(K) de dimension n(n+ 1)

2 ·.

• L’ensemble des matrices antisym´etriques deMn(K) est un sous-espace vectoriel deMn(K) de dimension n(n−1)

2 sin>1.

• Le sous-espace vectoriel des matrices symétriques deMn(K) et le sous-espace vectoriel des matrices antisymétriques deMn(K) sont supplémentaires dans Mn(K).

Notons que siA ∈ Mn(R), A = 1 2

(

A+^tA) +1

2 (

A−^tA) , 1

2 (

A+^tA)

est une matrice sym´erique de Mn(K) et 1

2 (

A−^tA)

est une matrice antisym´erique deMn(K).

Prop. 3 DansMn(R), pour le produit scalaire canonique, l’orthogonal du sous-espace vectorielSn(R) des matrices sym´etriques deMn(R) est le sous-espace vectorielAn(R) des matrices antisym´etriques deMn(R).

DansMn(R), pour le produit scalaire canonique, l’orthogonal du sous-espace vectorielAn(R) des matrices antisym´etriques deMn(R) est le sous-espace vectorielSn(R) des matrices sym´etriques deMn(R).

Le sous-espace vectoriel des matrices symétriques de Mn(R) et le sous-espace vectoriel des matrices antisymétriques de Mn(R) sont supplémentaires et orthogonaux dansMn(R) muni du produit scalaire canonique.

Mn(R) =Sn(R)

⊕⊥

An(R).

I

1. D´ eﬁnition d’un endomorphisme sym´ etrique

D´ef. 4 Soitf un endomorphisme deE. f estsym´etriquesi : ∀(x, y)∈E², < f(x), y >=< x, f(y)>.

I

2. Caract´ erisations des endomorphismes sym´ etriques

Prop. 4 Caract´erisation des endomorphismes sym´etriques

Eest de dimensionn(n∈N^∗),B= (e₁, e₂, . . . , e_n) est une base deE etf un endomorphisme deE.

f est sym´etrique si et seulement si : ∀(i, j)∈[[1, n]]², < f(e_i), e_j >=< e_i, f(e_j)>.

Th. 9

PP

Caract´erisation fondamental des endomorphismes sym´etriques

IciE est de dimensionn(n∈N^∗),Best une base orthonorm´ee deE etf un endomorphisme deE.

f est un endomorphisme sym´etrique de Esi et seulement si sa matrice dans la baseB est sym´etrique.

⋆⋆ Surtout ne pas oublier l’hypoth`eseBest une base orthonorm´ee

(19)

I

3. Quelques propri´ et´ es

Prop. 5 f est un endomorphisme sym´etriquedeE.

SiF est un sous-espace vectoriel deE stable parf,F^⊥ est stable parf. Un petit ’+” du programme 2014...

Prop. 6 1. IdE et 0_L_(E)sont des endomorphismes sym´etriques deE.

2. Si f et g sont deux endomorphismes symétriques de E et si λ est un réel, λf et f +g sont des endomorphismes symétriques deE.

2’. L’ensemble des endomorphismes sym´etriques deE est un sous-espace vectoriel deL(E).

SiE est de dimensionnnon nul, l’ensemble des endomorphismes sym´etriques deE est un sous-espace vectoriel deL(E) de dimension n(n+ 1)

2 ·

3. Sif est un endomorphisme sym´etrique et bijectif de E, f⁻¹ est un endomorphisme sym´etrique (et bijectif) deE.

I

4. Une nouvelle caract´ erisation des projections orthogonales

Th. 10

P

pest une projection (ou un projecteur) deE.

pest une projection orthogonale (ou un projecteur orthogonal) si et seulement p est un endomorphisme sym´etrique.

Un petit ’+” du programme 2014...

Th. 11 pest un endomorphisme deE (ou une application deE dansE...).

pest une projection orthogonale deEsi et seulement sipest un endomorphisme symétrique deE vérifiant p◦p=p.

Cor. Aest une matrice deMn(R).

Aest la matrice d’une projection orthogonale si et seulement siAest symétrique et vérifieA²=A.

I

5. R´ eduction d’un endomorphisme sym´ etrique et d’une matrice sym´ etrique

Prop. 7 Soitf un endomorphisme sym´etrique deE.

1. Les sous-espaces propres def sont deux `a deux orthogonaux.

2. Si (uk)16k6p est une famille de vecteurs propres de f associés à des valeurs propres deux à deux distinctes alors la famille (u_k)₁₆_k₆_p est une famille orthogonale deE.

Th. 12 Le théorème fondamental sur la réduction des endomorphismes symétriques.

Soitf un endomorphisme sym´etrique deEespace vectoriel euclidien de dimension finie non nulle.

1. f est diagonalisable.

2. Mieux, il existe une base orthonormée deEconstituée de vecteurs propres def(doncf se diagonalise dans une base orthonormée).