Probl`emes d’optimisation param´etrique

(1)

Probl` emes d’optimisation param´ etrique

Présentation du problème modèle Non-existence des designs optimaux Calculer la dérivée de la fonction objectif Méthode formelle de Céa

Algorithmes num´eriques

(2)

Probl` eme mod` ele - ´ equation de la chaleur

Optimiser laconductivit´e thermiqueh:D→R pour des divers objectifs.

Latemp´eratureuh:D→Rest la solution de l’´equation de la chaleur:







−div(h∇uh) = f dansD

u_h = 0 sur Γ_D

h^∂u_∂n^h = g sur Γ_N o`uf ∈L²(D) etg ∈L²(Γ_N)

L’ensembleUad desdesigns admissiblesest Uad ={h∈L^∞(D), α≤h(x)≤β,x ∈D}

avec 0< α < β des constantes.

(3)

Probl` eme mod` ele - ´ equation de la chaleur (2)

On consid`ere un probl`eme de la forme

h∈Umin_adJ(h) o`uJ(h) = Z

D

j(u_h)dx avec une fonction assez r´eguli`ere

Dans ce cadre simplifié la fonction d’étatuh est calculée sur le même domaineD pour des différents valeurs de la variable de designh∈ Uad

Même dans ce cadre simple, le problème d’optimisation n’admet pas de minimiseur global en général...

(4)

Probl` emes d’optimisation param´ etrique

(5)

Exemple de non-existence

détails : −→[G. Allaire,Conception Optimale de Structures], Section 5.2 On considèreD= (0,1)²le carré unité

Deux ´equations d’´etat :







−div(h∇uh,1) = 0 dansD h∂nuh,1 = e1·n sur ΓN,1

h∂nuh,1 = 0 sur ΓN,2







−div(h∇uh,2) = 0 dansD h∂nuh,2 = 0 sur ΓN,1

h∂nuh,2 = e2·n sur ΓN,2

(6)

Non-existence : objective function

Le probleme d’optimisation :

h∈Uminad

J(h) o`u la fonction objectif est

J(h) = Z

ΓN,1

e1·n uh,1ds− Z

ΓN,2

e2·n uh,2ds

et l’ensemble des designs admissibles contient aussi une contrainte de volume Uad ={h∈L^∞(D) :α≤h≤β,

Z

D

hdx =VT}

Minimiserla différence de température entre la gauche et la droite Maximiserla différence de température entre le haut et le bas

(7)

Non-existence

Theorem

Le probl`eme d’optimisation min

u∈U_adJ(h)n’admet pas de solution globale.

Id´ee de preuve:

Calculer uneborne inferieuresur les valeurs deJ(h),h∈ Uad

J(h)≥m, ∀h∈ Uad

Montrer que la borne inferieure n’est pas atteinte J(h)>m, ∀h∈ Uad

Construire unesuite minimisantede designshⁿ∈ U_ad telle que J(hⁿ)→m

(8)

Non-existence : suite minimisante

La suite minimisante avec une structurelaminaire avec des conductivit´es minimales et maximales alternantes

Effet d’homogénéisation: les designs optimaux ont tendance de créer des structures de plus en plus fines au niveau microscopique

(9)

Non-existence

Beaucoup de probl`emes d’optimisation de formes n’ont pas de solution pour des raisons diverses

Il est possible de r´ecup´erer l’existence en utilisant des astuces mathematiques

Relaxation: elargirla classe des designs admissibles pour permettre des effets d’homog´en´eisation

Restriction: restreindre la classeUad en imposant des propriétés de régularité

impact pratique : chercher plutˆot des minima locaux en am´eliorant des designs existants

il est naturel d’observer une d´ependance forte du r´esultat par rapport au design initial

il est souvent possible de pouvoir prouver l’existence des solutions pour le problème discrétisé : réduction au dimension finie

(10)

Probl` emes d’optimisation param´ etrique

(11)

Equation de la chaleur ´

Le probleme :

h∈Uminad

J(h) avecJ(h) =

Z

D

j(u_h)dx

L’ensembleUad desdesigns admissiblesest U_ad ={h∈L^∞(D), α≤h≤β}

Latemp´eratureu_h:D→Rest la solution de l’´equation de la chaleur:

−div(h∇uh) = f dans D uh = 0 sur∂D

(12)

Pourquoi calculer une d´ eriv´ ee ?

Plusieurs mani`eres d’optimiser

algorithmes sans gradient : génétique, etc... coût de calcul élevé, beaucoup d’évaluations pour la fonction objectif

algorithmes qui utilisent les dérivées : convergence plus rapide vers un minimum local, nombre raisonnable d’évaluations de la fonction objectif, possibles difficultés pour le calcul théorique et numérique du gradient

Algorithme bas´e sur le gradient

Initialisation: Choisir un design initial h₀ Pour n= 0, ..., convergence:

1. Calculer la fonction objective et sad´eriv´eeJ⁰(hⁿ) de l’applicationh7→J(h) enh=hⁿ

2. S´electionner un pas de tempsτⁿ>0

3. Mettre `a jour le design : hⁿ⁺¹=hⁿ−τⁿJ⁰(hⁿ).

Le point clé de la pratique de cette méthode est le calcul de ladérivéede J(h).

(13)

La d´ eriv´ ee de J (h)

Theorem

La fonction objectif

J(h) = Z

D

j(uh)dx

est dérivable au sens de Fréchet en chaque h∈ Uad et sa dérivée est J⁰(h)(ˆh) =

Z

D

(∇uh· ∇ph)ˆhdx, où l’état adjointph∈H₀¹(D)est la solution du système

−div(h∇ph) = −j⁰(uh) dans D

ph = 0 sur∂D

(14)

Preuve : Diff´ erentiabilit´ e

L’application

Uad3h7→uh∈H₀¹(D)

est différentiable au sens deFréchet, avec dérivée ˆh7→u_h⁰(ˆh).

? pour la preuve, utilisons leth´eor`eme des fonctions implicites F :Uad×H₀¹(D)→H⁻¹(D) definie par

F(h,u) :v 7→

Z

D

h∇u· ∇vdx− Z

D

fvdx F est de classeC¹

Pour h∈ Uad uhest solution unique deF(h,u) = 0 La diff´erentielle de l’application u7→ F(h,u) est

H₀¹3uˆ7→

v 7→

Z

D

h∇ˆu· ∇vdx

∈H⁻¹(D)

(15)

Calcul effectif de la d´ eriv´ ee

Doncle th´eor`eme des fonctions implicitesnous montre que l’applicationh7→uh

est de classeC¹

Pour calculer la dérivée on commence par écrire la formulation variationnelle Z

D

h∇u_h· ∇udx= Z

D

fvdx et on d´erive par rapport `ahdans la direction ˆh∈H₀¹(D):

Z

D

ˆh∇uh· ∇vdx+ Z

D

h∇u_h⁰(ˆh)· ∇vdx= 0 En consequence :

Z

D

h∇u⁰_h(ˆh)· ∇vdx=− Z

D

ˆh∇uh· ∇vdx, ∀v ∈H₀¹(D)

(16)

Calcul effectif de la d´ eriv´ ee (2)

On dérive maintenantJ(h) en utilisant la différentiabilité deh7→uh

J⁰(h)(ˆh) = Z

D

j⁰(uh)u⁰_h(ˆh)dx

L’expression est bizarre : J⁰(h)(ˆh) n’est pas explicite et il est difficile de trouver une direction de descente, i.e. un ´el´ement ˆh∈H₀¹(D) t.q.

J⁰(h)(ˆh)<0.

pour contourner cette difficult´e on introduit l’´etat adjoint

(17)

Etat adjoint ´

L’´etat adjointest la solution dans H₀¹(D) de l’´equation variationnelle Z

D

h∇ph∇vdx =− Z

D

j⁰(uh)v, ∀v ∈H₀¹. L’objectif est d’´elimineru_h⁰(ˆh)dans l’expression deJ⁰(h) :

J⁰(h)(ˆh) = Z

D

j⁰(u_h)u_h⁰(ˆh)dx

=− Z

D

h∇ph· ∇u_h⁰(ˆh)dx

=− Z

D

h∇u_h⁰(ˆh)· ∇p_hdx

= Z

D

ˆh∇u_h· ∇p_hdx

Avec cette formule il est facile de voir que ˆh=−∇uh· ∇ph est bien une direction de descente:

(18)

L’´ etat adjoint (cont.)

L’´etat adjointphsatisfait l’´equation

−div(h∇ph) = −j⁰(u_h) dansD

p_h = 0 sur∂D

qui est une”température virtuelle”dirigée par une source égale au taux de changement de l’intégrande dansJ(h) à l’étatu_h

Une deuxième interprétation duphest comme unmultiplicateur de Lagrangeassocie à une contrainte type EDP si on écrit le problème d’optimisation sous la forme suivante :

min

(h,u)

Z

D

j(u)dx t.q.

−div(h∇u) = f dans D

u = 0 sur∂D

(19)

Probl` emes d’optimisation param´ etrique

(20)

Uneméthode formellepour calculer la dérivée deJ(h) ensupposantque la fonctionnelleh7→uh est différentiable.

On consid`ere leLagrangien

L:Uad×H₀¹(D)×H₀¹(D)→R d´efini par

L(h,u,p) = Z

D

j(u)dx+ Z

D

h∇u· ∇pdx− Z

D

fpdx En particulier, siu=uh alors pour tout ˆp∈H₀¹(D) on a

J(h) =L(h,u_h,ˆp).

On cherche les points selle (u,p) du Lagrangien L(h,·,·): objectif -quand on d´erive par rapport `a h - annuler des termes

(21)

Equations: ´ ´ etat et adjoint

dérivée partielle deLpar rapport àp - zéro Z

D

h∇u· ∇ˆpdx− Z

D

fpdxˆ = 0, ∀ˆp∈H₀¹(D) qui est la formulation variationnelle pouru=uh.

dérivée partielle deLpar rapport àu - zéro Z

D

h∇p· ∇ˆudx=− Z

D

j⁰(u)ûdx, ∀û∈H₀¹(D) qui est l’équation correspondant à l’état adjoint pourp=p_h

(22)

Calcul de la d´ eriv´ ee

Pour tout ˆp∈H₀¹(D) on a

J(h) =L(h,uh,ˆp).

on a suppos´e queh7→uhest diff´erentiable, alors J⁰(h)(ˆh) = ∂L

∂h(h,uh,ˆp)(ˆh) +∂L

∂u(h,uh,p)(uˆ ⁰_h(ˆh)) on prend ˆp=phpour annuler le dernier terme

J⁰(h)(ˆh) = ∂L

∂h(h,uh,ph)(ˆh) En cons´equence

J⁰(h)(ˆh) = Z

D

ˆh∇uh· ∇phdx

(23)

Intuition derri` ere la m´ ethode de C´ ea

? intégrer la fonction J dans une autre fonction, en dimension plus élevée, et chercher un point où c’est plus facile de dériver par rapport au paramètreh

(24)

Probl` emes d’optimisation param´ etrique

(25)

Algorithmes num´ eriques

? si on n’a pas de contraintes, le probl`eme peut ˆetre trivial

? pour simplicité, pour instant, on considère une pénalisation fixe

u∈Uminad

J(h), o`uJ(h) = Z

D

j⁰(uh) +` Z

D

hdx

Approche basique : algorithme gradient projet´e Initialisation: Choisir un design initial h⁰ Pourn= 0, ...convergence

1. Calcul de l’´etatu_hn et l’adjointp_hn pour h=hⁿ 2. Direction de descente ˆhⁿ=−∇uhⁿ· ∇phⁿ−`.

3. Choisir un pas de descenteτⁿ>0

4. D´efinir le design suivanthⁿ⁺¹=hⁿ+τⁿˆhⁿ

5. Projeter sur la contraintehⁿ⁺¹= min(β,max(α,hⁿ⁺¹)).

(26)

En pratique

Le domaineD est représenté par un maillage fixeT. La conductivitéhrecherchée est discrétisée :

´

el´ements finis P0: constantes par triangle

´

el´ements finis P¹: constantes par nœuds

Etant donn´´ ehles fonctionsu_h etu_h sont calculées en utilisant laméthode d’éléments finissur le maillageT.

(27)

Un premier exemple num´ erique

Consid´erons le probl`eme

h∈Uminad

J(h) avec J(h) =R

Du_hdx+`R

Dhdx

minimiser la temp´erature moyennedansD

on utilise une p´enalisation fixe pour ne pas permettre la conductivit´e maximale dans tout le domaine

(28)

Essai direct

(29)

Expliquer le comportement bizarre

Comportement oscillatoire, non-régulier : la direction de descente est peu régulière : ˆhⁿ=−∇uhⁿ· ∇p_hh−`

le gradient d’une fonction P1est une fonctionP0: constante sur chaque maille

comment am´eliorer ce comportement ??

−→ considérer des éléments finisP²: plus cher en temps de calcul

−→ changer la direction de descente en quelque chose de plus r´egulier

(30)

Des directions de descente alternatives

J⁰(h)(ˆh) = Z

D

ˆh∇uh· ∇phdx Par définition de la dérivée Fréchet :

J(h+τˆh) =J(h) +τJ⁰(h)(ˆh) +o(τ) Si ˆh=−∇uh· ∇ph alors

J(h+τˆh) =J(h)−τh∇uh· ∇ph,∇uh· ∇phi_L2+o(τ)

Considérer d’autres produits scalaires que celui deL²(D) : gagner en régularité

(31)

Changer le produit scalaire...

SiHest un espace de Hilbert sous le produith·,·i_H alors on peut consid´erer la formulation variationnelle

hV,wi_H=J⁰(h)(w) =J⁰(h)(w) = Z

D

w∇uh· ∇phdx, ∀w ∈ H SiV r´esout le probl`eme ci-dessus alors−V est aussi direction de descente :

J(h−τV) =J(h)−τJ⁰(h)(V) +o(τ)

=J(h)− hV,ViH+o(τ)

<J(h) Exemple de direction plus r´eguli`ere H=H¹(D) et

hu,vi_H= Z

(α²_reg∇u· ∇v+uv)dx

(32)

R´ esultat avec r´ egularisation

(33)

Remarques

il est possible d’utiliser des méthodes plus fines pour imposer la contrainte de volume : Lagrangien Augmenté, projeter sur la contrainte d’inégalité et de volume en même temps, etc.

il est possible d’utiliser des methodes quasi-Newton : approximation ”low memory” de la Hessienne

la méthode se généralise au cas où on cherche des formes optimaux représentées par des densités : ”forcer”hà devenir une fonction caractéristique

(34)

Optimisation g´ eom´ etrique

Méthode de Hadamard et dérivées de forme

Dérivée de forme : fonctionnelles qui dépendant des EDP Méthode de Céa : dérivation rapide

Aspects numériques des méthodes géométriques

(35)

Optimisation g´ eom´ etrique de formes

? On est capable d’optimiser des formes si elles sontparamétrisées: un nombre fini de paramétrés, une fonctionhdans un espace vectoriel

Avantages: optimisation ”facile”

Inconv´enients:

restriction majeure sur la classe de formes admissibles ce n’est pas toujours ´evident comment choisir ces param`etres

=⇒Il est utile de pouvoir vraiment changer la g´eom´etrie des formes dans le processus d’optimisation

(36)

M´ ethode de Hadamard

? pas de structure d’espace vectoriel

? pour d´eriver on a besoin d’une notion de perturbation petite

? on consid`ere Ω un domaine Lipschitz

? soitθun champ de vecteurs Lipschitz

? on consid`ere l’application θ7→Ωθ:= (Id +θ)(Ω) pour θpetit

Th´eor`eme

Pour θ∈W^1,∞(R^d,R^d) avec normekωk_W1,p <1 l’applicationθ7→Id +θest un diff´eomorphisme Lipschitz

(37)

D´ erivation au sens Hadamard

Definition

Si Ω est un domaine assez r´egulier, une fonction scalaire Ω7→J(Ω)∈Rest d´erivableen Ω si l’application

W^1,∞(R^d,R^d)3θ7→J(Ωθ) est d´erivable en 0 au sens de Fr´echet

J(Ωθ) =J(Ω) +J⁰(Ω)(θ) +o(kθk).

L’application linéaireθ7→J⁰(Ω)(θ) est ladérivée de formedeJ en Ω.

(38)

Premier exemple de base

Theorem

SoitΩ∈R^d un domaineLipschitzet born´e et f ∈W^1,1(R^d)une fonction fix´ee.

On consid`ere

J(Ω) = Z

Ω

f(x)dx.

Alors J est diff´erentiable par rapport `aΩet J⁰(Ω)(θ) =

Z

∂Ω

f θ·nds

(39)

Intuition

(40)

Cons´ equence

? Calculer la d´eriv´ee du volume

Vol(Ω) = Z

Ω

1dx En appliquant le résultat précédent on obtient

Vol⁰(Ω) = Z

∂Ω

θ·nds = Z

Ω

divθdx

? On observe que si divθ= 0 alors la dérivée du volume est zéro.

(41)

D´ emonstration

? changer les variables pour se ramener `a un domaine fixe J(Ωθ) =

Z

(Id +θ)(Ω)

f(x)dx= Z

Ω

|det(Id +Dθ)|f ◦(Id +θ)dx

? l’applicationθ7→det(Id +∇θ) est diff´erentiable Fr´echet et det(Id +Dθ) = 1 + divθ+o(θ)

? Sif ∈W^1,1(R^d) alorsθ7→f(Id +θ) est diff´erentiable Fr´echet et f ◦(Id +θ) =f +∇f ·θ+o(θ)

? on retrouve le r´esultat en utilisant la formule de Green Id´ee standard:

ramener tout à un domaine de référence fixe et différentier par rapport àθ

(42)

Le deuxi` eme cas standard

Theorem

SoitΩ∈R^d un domaine borné de classeC²et g ∈W^2,1(R^d)une fonction fixée. On considère

J(Ω) = Z

∂Ω

g(x)dx.

Alors J est diff´erentiable par rapport `aΩet J⁰(Ω)(θ) =

Z

∂Ω

∂g

∂n +κg

(θ.n)ds θ·nds, o`uκest la courbure moyennede∂Ω.

Cons´equence imm´ediate

Le périmètre est défini par Per(Ω) =R

∂Ω1ds. La dérivée de forme du périmètre est

Per⁰(Ω)(θ) = Z

∂Ω

κ(θ·n)ds

(43)

Intuition

(44)

Structure des d´ eriv´ ees de formes

? pour les deux précédents exemples la dérivée de forme dépend uniquement de la partie normaleθ·ndu champs de vecteurs θ.

? Unchamps de vecteurs tangentielθne change pas Ω de mani`ere essentielle et il est naturel d’avoir J⁰(Ω)(θ) = 0.

? si on est dans un cadre suffisamment régulier alors la deux champs de vecteur ayant la même composante normale vont donner la même dérivée

(45)

Structure de d´ eriv´ ees de formes (2)

? dans la plupart des cas (simples) la fonctionnelle les dérivées de formes peuvent êtres représentées sous la forme

J⁰(Ω)(θ) = Z

∂Ω

vΩ(θ·n)ds, o`uvΩ:∂Ω→Rest une fonction scalaire

? cette structure peut donner facilement unedirection de descenteen choisissant θ=−τvΩ

J(Ωθ) =J(Ω)−t Z

∂Ω

v_Ω²ds+o(t)<J(Ω), t1

(46)

Optimisation g´ eom´ etrique

(47)

Objectif

On sait d´eriver des fonctionnelles du type F₁(Ω) =

Z

Ω

f(x)dx, F₂(Ω) = Z

∂Ω

g(x)dx On veut pouvoir consid´erer des fonctions de la forme

J1(Ω) = Z

Ω

j(uΩ(x))dx, J2(Ω) = Z

∂Ω

k(uΩ(x)))ds

oùj,k :R→Rsont assez régulières etuΩ: Ω→Restla solution d’une EDP sur Ω

(48)

Exemple mod` ele : l’´ equation de Laplace

? uΩ est solution du systeme







−∆u = f dans Ω

u = 0 sur∂Ω

∂u

∂n = 0 sur∂Ω

avec R

Ωfdx = 0dans le cas Neumann.

? La formulation variationnelle associ´ee :

∀v∈H₀¹(Ω) (H¹(Ω)), Z

Ω

∇u· ∇vdx− Z

Ω

fvdx = 0

? calculer la d´eriv´ee de forme de J(Ω) =

Z

Ω

j(uΩ)dx, avec j:R→Rune fonction assez r´eguli`ere

(49)

Optimisation g´ eom´ etrique

(50)

Cadre

? comme dans le cas de l’optimisation param´etrique, on consid`ere le Lagrangien L(Ω,u,p) =

Z

Ω

j(u)dx+ Z

Ω

(−∆u−f)pdx avec Ω,u,pind´ependantes

? on suppose que Ω→u_Ω est diff´erentiable

? l’indépendance des variable permet d’éviter les problèmes de dérivées composées

? !!!!! les variables doivent ˆetres vraiment ind´ependantes : les conditions de Dirichlet doivent apparaˆıtre dans le Lagrangien

(51)

Le cas Neumann

−∆u+u = f dans Ω

∂n

∂n = 0 sur∂Ω

Le Lagrangien est d´efini par : L(Ω,v,q) =

Z

Ω

j(v)dx+ Z

Ω

∇v· ∇qdx+ Z

Ω

vq− Z

Ω

fq,

où Ω est une forme admissible etv,q∈H¹(R^d), toutes ces trois variables étant indépendantes

(52)

Le cas Neumann : propri´ et´ es du Lagrangien

? par construction, siv =uΩ alors L(Ω,u_Ω,q) =

Z

Ω

j(u_Ω)dx =J(Ω), ∀q∈H¹(R^d).

On veut pouvoir deriver J(Ω) sans que les autres derivees partielles deL apparaissent. On cherche donc despoints selles(u,p) tels que

∀q∈H¹(R^d)

∂L

∂q(Ω,u,p)(q) = Z

Ω

∇u· ∇qdx+ Z

Ω

uqdx− Z

Ω

fqdx= 0

∀v ∈H¹(R^d)

∂L

∂v(Ω,u,p)(v) = Z

Ω

j⁰(u)·vdx+ Z

Ω

∇v· ∇pdx+ Z

Ω

vpdx= 0

(53)

Fonction d’´ etat

∀q∈H¹(R^d)

∂L

∂q(Ω,u,p)(q) = Z

Ω

∇u· ∇qdx+ Z

Ω

uqdx− Z

Ω

fqdx= 0 en prenant qune fonctionψ régulière à support compact on retrouve l’équation

Z

Ω

∇u· ∇ψ+ Z

Ω

uψ− Z

Ω

fψ= 0 =⇒ −∆u+u=f dans Ω en prenant q=ψr´eguli`ere quelconque et en utilisant la formule de Green on trouve

Z

∂Ω

∂u

∂nψds= 0 =⇒ ∂u

∂n = 0 sur∂Ω En cons´equence : u=uΩ

(54)

Etat adjoint ´

∀v∈H¹(R^d) ∂L

∂v(Ω,u,p)(v) = Z

Ω

j⁰(u)·vdx+ Z

Ω

∇v· ∇pdx+ Z

Ω

vpdx= 0 En prenantv=ψ une fonctionC^∞ `a support compact dans Ω

Z

Ω

∇p·∇ψdx+ Z

Ω

pφdx+ Z

Ω

j⁰(u)ψdx= 0 =⇒ −∆p+p=−j⁰(u_Ω) dans Ω Pour v=ψune fonctionC^∞, en utilisant la formule de Green

Z

∂Ω

∂p

∂nψds= 0 =⇒ ∂p

∂n = 0 sur∂Ω En conclusionp=pΩ est solution de

−∆p+p = 0 dans Ω

∂p

∂n = 0 sur∂Ω

(55)

La d´ eriv´ ee de forme

On sait que

∀q∈H¹(R^d), L(Ω,uΩ,q) = Z

Ω

j(uΩ)dx=J(Ω).

En derivant par rapport `a Ω on obtient

∀θ∈W^1,∞,J⁰(Ω) = ∂L

∂Ω(Ω,uΩ,q)(θ) +∂L

∂v(Ω,uΩ,q)(u_Ω⁰(θ)), oùu_Ω⁰(θ) est la dérivée de Ω7→uΩdans la directionθ

on prendq=pΩ, l’´etat adjoint, pour annuler le dernier terme : J⁰(Ω)(θ) = ∂L

∂Ω(Ω,uΩ,pΩ)(θ)

(56)

La d´ eriv´ ee de forme (2)

La dérivée de forme du Lpar rapport à Ω revient à calculer la dérivée d’une fonctionnelle de type

Ω7→

Z

Ω

f(x)dx avec f une fonction fixe.

Pour θ∈W^1,p(R^d,R^d) on obtient J⁰(Ω)(θ) =

Z

∂Ω

(j(u_Ω) +∇uΩ· ∇pΩ+u_Ωp_Ω−fp_Ω)θ·nds

(57)

M´ ethode de C´ ea : cas Dirichlet

On souhaite deriver J(Ω) =

Z

Ω

j(u_Ω)dx avec

−∆u = f dans Ω

u = 0 sur∂Ω

Difficultés supplémentaires dues au fait que la condition Dirichlet doit être incluse dans l’espace des fonctions

On ne peut pas utiliser le lagrangien L(Ω,v,q) =

Z

Ω

j(v)dx+ Z

Ω

∇v· ∇qdx− Z

Ω

fvdx car il faudrait le d´efinir pour v,q∈H₀¹(Ω).

Dans ce cas les variables Ω,v,qne sont pas ind´ependantes

(58)

Nouvel Lagrangien

? Solution: On p´enalise la condition au bord en ajoutant un nouveau multiplicateur de Lagrange: Pourv,q, µ∈H¹(R^d) on a

L(Ω,v,q, µ) = Z

Ω

j(v)dx+ Z

Ω

(−∆v−f)qdx+ Z

∂Ω

µvds En int´egrant par parties :

L(Ω,v,q, µ) = Z

Ω

j(v)dx+ Z

Ω

∇v· ∇qdx− Z

Ω

fqdx+ Z

∂Ω

µv−∂v

∂nq

ds Si on ´evalueLavec v=uΩon obtient

∀q, µ∈H¹(R^d), L(Ω,uΩ,q) = Z

Ω

j(uΩ)dx=J(Ω).

(59)

Conditions point selle

Pour Ω fixe on cherche lespoints selle(u,p, λ)∈(H¹(R^d))³ pour la fonctionnelleL(Ω,·,·,·).

∀q∈H¹(R^d),

∂L

∂q(Ω,u,p, λ)(q) = Z

Ω

∇u· ∇qdx− Z

Ω

fqdx+ Z

∂Ω

∂u

∂nqds= 0

∀v ∈H¹(R^d),

∂L

∂v(Ω,u,p, λ)(v) = Z

Ω

j⁰(u)·vdx+

Z

Ω

∇v·∇pdx+ Z

∂Ω

λv−∂v

∂np

ds = 0.

∀µ∈H¹(R^d),

∂L

∂µ(Ω,u,p, λ)(µ) = Z

∂Ω

µuds = 0.

(60)

Fonction d’´ etat

∀q∈H¹(R^d),

∂L

∂q(Ω,u,p, λ)(q) = Z

Ω

∇u· ∇qdx− Z

Ω

fqdx+ Z

∂Ω

∂u

∂nqds= 0 On prendq=ψune fonctionC^∞`a support compact dans Ω:

Z

Ω

∇u· ∇ψdx= Z

Ω

fψdx=⇒ −∆u=f dans Ω.

On utilise ^∂L_∂µ(Ω,u,p, λ)(µ) = 0 pourµ=ψ∈C_c^∞(R^d) et on obtient Z

∂Ω

ψudx = 0 =⇒u= 0 sur∂Ω En conclusion : u=uΩ

(61)

Etat adjoint ´

∀v∈H¹(R^d), Z

Ω

j⁰(u)·vdx+ Z

Ω

∇v· ∇pdx+ Z

∂Ω

λv−∂v

∂np

ds= 0.

On prendv =ψune fonctionC^∞ avec support compact dans Ω Z

Ω

∇p· ∇ψdx+ Z

Ω

j⁰(u)·ψdx= 0 =⇒ −∆p=−j⁰(u) dans Ω On prendv =ψune fonctionC^∞ et on utilise la formule de Green

∀ψ∈ C_c^∞(R^d), Z

∂Ω

∂p

∂nψds+ Z

∂Ω

λψ−∂ψ

∂np

ds = 0.

Dans la suite on consid`ere deux cas : faire varier ^∂ψ_∂n quandψ= 0 sur∂Ω et l’inverse.

(62)

Etat adjoint (cont.) ´

en faisant varier ^∂ψ_∂n avecψ= 0 sur∂Ω on obtientp= 0 sur∂Ω.

En conclusion :

p=pΩest solution de

−∆p = −j⁰(u) dans Ω

p = 0 sur∂Ω

en faisant varierψsur∂Ω avec ^∂ψ_∂n = 0 on obtient λΩ=−∂pΩ

∂n sur∂Ω

(63)

D´ eriv´ ee de forme

∀q, µ∈H¹(R^d),L(Ω,uΩ,q, µ) = Z

Ω

j(uΩ) =J(Ω).

On d´erive par rapport `a Ω et on evalue enθ∈W^1,∞(R^d,R^d):

J⁰(Ω)(θ) = ∂L

∂Ω(Ω,uΩ,q, µ)(θ) +∂L

∂v(Ω,uΩ,q, µ)(u⁰_Ω(θ)) avecu_Ω⁰(θ) la d´eriv´ee de Ω7→uΩ.

on prendq=p_Ω, µ=λ_Ω pour avoir ^∂L_∂v(Ω,u_Ω,p_Ω, λ_Ω) = 0 et on obtient J⁰(Ω)(θ) = ∂L

∂Ω(Ω,u_Ω,p_Ω, λ_Ω)(θ)

(64)

D´ eriv´ ee de forme (2)

? on est a nouveau dans le cas o`u on d´erive une fonction de forme du type Ω7→

Z

Ω

f(x)dx On obtient que pourθ∈W^1,∞(R^d,R^d)

J⁰(Ω)(θ) = Z

∂Ω

j(u_Ω)−∂u_Ω

∂n

∂p_Ω

∂n

θ·nds

(65)

Optimisation g´ eom´ etrique

(66)

Algorithme num´ erique g´ en´ erique

Initialisation: Choisir une forme initiale Ω⁰ Pourn= 0, ...,convergence

1. Calculer l’´etatuΩⁿ et l’´etat adjointpΩⁿ sur Ωⁿ

2. Calculer la d´eriv´ee de formeJ⁰(Ωⁿ) et trouver une direction de descente θⁿ pour J(Ω)

3. ModifierΩⁿ suivant le champ de d´eplacementθⁿpour un pas de descente τⁿ pour obtenir

Ωⁿ⁺¹= (Id+τⁿθⁿ)(Ωⁿ).

(67)

Une impl´ ementation possible

Repr´esenter chaque forme Ωⁿ par un maillageTⁿ

Utiliser la méthode des éléments finis surTⁿ pour calculeruΩⁿ etpΩⁿ

La direction de descente est calculée en utilisant la dérivée de formeJ⁰(Ω) L’advection de la formeΩⁿ⁺¹7→(Id+τⁿθⁿ)(Ωⁿ) est effectuée en dépla¸cant les nœuds deTⁿdans la directionτⁿθⁿpour obtenir un nouveau maillage Tⁿ⁺¹.

(68)

Exemple num´ erique

? l’élasticité linéarisée - minimiser la compliance C(Ω) =

Z

Ω

Ae(u_Ω) :e(u_Ω)dx.

? contrainte sur leVolume`a l’aide d’un multiplicateur de Lagrange

(69)

Difficult´ es num´ eriques

1. Existence des minimiseurs locaux

sensitivit´e par rapport aux initialisations, taille du maillage, etc l’algorithme aurait envie de fermer certains trous mais il ne peut pas...

(70)

Difficult´ es num´ eriques (2)

2. Probl`emes de d´eformation de maillage

La procédure de changement de maillage semble être explicite et facilement implémentable

Certaines déformations peuvent introduire des inversions d’éléments et produire des maillages invalides’

pour ce raison, on préfère de faire uniquement desdéplacements faibles (similarités avec les conditions CFL)

(71)

Difficult´ es num´ eriques (3)

3. Extension de la vitesse :

une direction de descenteθ=−vΩn- conséquence formule dérivée de forme J⁰(Ω)(θ) =

Z

∂Ω

vΩ(θ·n)ds

la nouvelle forme (Id +θ)(Ω) d´epend uniquement des valeurs deθ sur∂Ω.

Pour des raisons diverses, en pratique numérique, on préfère à avoir un champθ défini sur Ω tout entier

(une extension régulière et adaptée peut améliorer le processus de déformation de maillage...)

L’extension naturelleθ=−vΩnqui est uniquement valable sur∂Ωpeut ne pas ˆetre le meilleur choix

(72)

Difficult´ es num´ eriques (3)

4. R´egularisation de la vitesse:

comme dans l’exemple d’optimisation paramétrique, si on prendθ=−vΩn sur∂Ω on peut produire des formes optimales moins régulières

Idée : (régularisation avec Laplacien) changer le produit sur L²(∂Ω) pour quelque chose de plus régulier

Exemple: trouver V ∈H¹(Ω) t.q. ∀w ∈H¹(Ω) α

Z

Ω

∇V· ∇wdx+ Z

Ω

Vwdx = Z

∂Ω

vΩwds.

Leparamètre de régularisationαpermet de contrôler l’équilibre entre l’effet de diffusion et la distance entre V etv_Ω ; en pratique, il dépend de la taille du maillage

(73)

La m´ ethode des lignes de niveaux

? Un domaine Ω peut être représenté par la région où une certaine fonction est négative

ϕ:R^d →R,







ϕ(x)<0 six∈Ω ϕ(x) = 0 six∈∂Ω ϕ(x)>0 six∈/ Ω

(74)

Fonction level-set : aspects g´ eom´ etriques

Siφ:R^d →Restune fonction de niveaude classeC² pour Ω et∇(x)6= 0 sur

∂Ω alors :

? Levecteur normalext´erieurn`a∂ωest n(x) = ∇φ(x)

|∇φ(x)|.

(75)

Fonction level-set : aspects g´ eom´ etriques (2)

Siφ:R^d →Restune fonction de niveaude classeC² pour Ω et∇(x)6= 0 sur

∂Ω alors :

? Laseconde forme fondamentalede

∂ω est

II(x) =∇

∇φ(x)

|∇φ(x)|

.

? Lacourbure moyennede∂ω est κ(x) = div

∇φ(x)

|∇φ(x)|

.

II(x)(v,v) est la courbure d’une courbe sur

∂Ω qui passe parx et a vecteur tangentv

(76)

Evolution des domaines - fonction level-set ´

Soit Ω(t)⊂R^d un domaine qui se d´eplace suivant un champ v(t,x)∈R^d

Soitφ(t,x) la fonction level-set de Ω(t)

L’advection suivant un champ normalV(t,x) est donn´ee par une

´

equation d’Hamilton-Jacobi

∂φ

∂t(t,x) +V(t,x)|∇φ(t,x)|= 0 impl´ementations disponibles

(77)

M´ ethode level-set en optimisation de formes

un domaine de calculD est consid´er´e avec un maillage fixe

chaque forme Ωⁿest représentée par une fonctionleve-set φⁿdéfinie sur les nœuds du maillage

si une direction de descenteθⁿ est calcul´ee sur Ωⁿalors la nouvelle forme Ωⁿ⁺¹= (Id +τⁿθⁿ)(Ωⁿ)

est obtenue en r´esolvant une ´equation d’advectionou de type Hamilton-Jacobi

Difficulté: il n’y a pas de maillage sur Ωⁿ pour résoudre les équations d’état et adjoint

Solution: trouver une manière d’approcher les solutions de ces équations en résolvant un problème sur le domaineD: méthode du domaine fictif

(78)

Exemple : l’´ elasticit´ e

En élasticité linéarisée, si la frontière libre estsans tractionalorsla méthode du materiau ersatzpermet d’approcher le déplacementu_Ω: Ω→R^d par

u_Ω,ε:D→R^d où la partie vide est remplacée par un matériaumou











−div(Ae(uΩ)) = 0 dans Ω u_Ω = 0 sur Γ_D Ae(uΩ)n = g sur ΓN

Ae(uΩ)n = 0 sur Γ

≈











−div(Aεe(uΩ,ε)) = 0 dansD u_Ω,ε = 0 sur Γ_D Aεe(uΩ,ε)n = g sur ΓN

Aεe(uΩ,ε)n = 0 sur∂D\(ΓD∪ΓN)

? Aεestle tenseur de Hooke approxim´e

Aε=χΩA+ (1−χΩ)εA, ε1

? numériquement la conditionAε>0 est nécessaire pour pouvoir résoudre le système discret

(79)

Elasticit´ ´ e lin´ earis´ ee

σ=Ae(u) = 2µe(u) +λdivuId,e(u) =¹₂(∇u+∇^Tu)











−divσ = f dans Ω u = 0 sur ΓD

σn = g sur ΓN

σn = 0 sur∂Ω\(ΓD∪ΓN) Formulation variationnelle

−

N

X

j=1

∂

∂xj

µ

∂ui

∂xj

+∂uj

∂xi

+λdivuδij

=fi dans Ω

−

N

X

j=1

Z

Ω

∂

∂xj

µ

∂ui

∂xj

+∂uj

∂xi

+λdivuδij

vidx=

Z

Ω

fivi dans Ω, ∀vi ∈HΓ¹_D(Ω)

Z

Ω

(2µe(u) :e(v) +λdivudivv)dx= Z

Ω

f ·vdx+ Z

Γ_N

g·vds, ∀vi ∈HΓ¹_D(Ω)

(80)

D´ eriv´ ee de forme : ´ elasticit´ e

Si on consid`ere la compliance : C(Ω) =

Z

Ω

Ae(uΩ) :e(uΩ)dx= Z

Ω

f ·uΩdx+ Z

Γ_N

g ·uΩdx alors le probl`eme estauto-adjoint.

[Allaire, Jouve, Toader, 04]

(81)