Introduction aux probl`emes d’optimisation et `a la mod´elisation

Introduction aux probl`emes d’optimisation et ` a la mod´elisation

Recherche Op´erationnelle et Optimisation Master 1 I2L / ISIDIS

S´ebastien Verel verel@lisic.univ-littoral.fr

http://www-lisic.univ-littoral.fr/~verel

Universit´e du Littoral Cˆote d’Opale Laboratoire LISIC Equipe OSMOSE

Information

But, ´evaluation, objectifs, support de cours, bibliographie : cf. siteweb

Introduction Probl`emes d’optimisation combinatoire Probl`emes d’optimisation num´erique Optimisation

Plan

1 Probl`emes d’optimisation combinatoire

2 Probl`emes d’optimisation num´erique

3 Optimisation

Recherche Op´ erationnelle, m´ ethode d’optimisation

Origine historique de la recherche op´erationnelle (RO) Expression utilis´ee au Royaume-Unis

Seconde guerre mondiale (1938, Royal Air Force) Optimisation des op´erations militaires

Recueil donn´ees station radar, gestion des avions, strat´egie sous-marins allemand

D´efinition contemporaine de RO

Mod´elisation math´ematique d’un probl`eme,

puis r´esoudre ce probl`eme `a l’aide d’une m´ethode informatique

Introduction Probl`emes d’optimisation combinatoire Probl`emes d’optimisation num´erique Optimisation

Probl` eme d’optimisation

Probl`eme d’optimisation

Unprobl`eme d’optimisationest un couple (X,f) avec : Espace de recherche : ensemble des solutions possibles,

X

fonction objectif : crit`ere de qualit´e (ou de non-qualit´e) f :X →IR

R´esoudre un probl`eme d’optimisation

Trouver la (ou les) meilleure solution selon le crit`ere de qualit´e x^?=argmax_X f

(dans le cas de maximisation)

R´ esoudre des probl` emes du monde r´ eel

Exemple de probl`eme du monde r´eel Des produits sont dans un entrepˆot.

But : Livrer les produits `a tous les clients.

Introduction Probl`emes d’optimisation combinatoire Probl`emes d’optimisation num´erique Optimisation

R´ esoudre des probl` emes du monde r´ eel

Exemple de probl`eme du monde r´eel Des produits sont dans un entrepˆot.

But : Livrer les produits `a tous les clients.

Client Dépot

Probl`eme abstrait

But : Minimiser la distance (le coˆut) parcourue en respectant les contraintes horaires

R´ esoudre des probl` emes du monde r´ eel

Exemple de probl`eme du monde r´eel Des produits sont dans un entrepˆot.

But : Livrer les produits `a tous les clients.

Client Dépot

Probl`eme abstrait

But : Minimiser la distance (le coˆut) parcourue en respectant les contraintes horaires

Introduction Probl`emes d’optimisation combinatoire Probl`emes d’optimisation num´erique Optimisation

Une m´ ethodologie de r´ esolution de probl` eme

Principe

Transformer un probl`eme r´eel en un probl`eme d’optimisation

Problème

Réel Problème

Optimisation Solution(s)

Modélisation Résolution

Mod´eliser :

Abstraire la r´ealit´e

Simplifier la r´ealit´e (nombre de param`etres, “bruit”, d´efauts,...)

Garder les ´el´ements pertinents par rapport au probl`eme `a r´esoudre

Une m´ ethodologie de r´ esolution de probl` eme

Principe

Transformer un probl`eme r´eel en un probl`eme d’optimisation

Problème

Réel Problème

Optimisation Solution(s)

Modélisation Résolution

Concevoir un (bon) mod`ele :

Connaissance experte du domaine

Connaissance des m´ethodes de r´esolution (informatique)

Introduction Probl`emes d’optimisation combinatoire Probl`emes d’optimisation num´erique Optimisation

Probl` eme d’optimisation

Probl`eme d’optimisation

Unprobl`eme d’optimisationest un couple (X,f) avec : Espace de recherche : ensemble des solutions possibles,

X

fonction objectif : crit`ere de qualit´e (ou de non-qualit´e) f :X →IR

R´esoudre un probl`eme d’optimisation

Trouver la (ou les) meilleure solution selon le crit`ere de qualit´e x^?=argmax_X f

Mais, des fois, l’ensemble de toutes les meilleures solution, ou une bonne approximation, ou une solution ”robuste”, etc.

Probl` eme d’optimisation

Probl`eme d’optimisation

Unprobl`eme d’optimisationest un couple (X,f) avec : Espace de recherche : ensemble des solutions possibles,

X

fonction objectif : crit`ere de qualit´e (ou de non-qualit´e) f :X →IR

R´esoudre un probl`eme d’optimisation

Trouver la (ou les) meilleure solution selon le crit`ere de qualit´e x^?=argmax_X f

Mais, des fois, l’ensemble de toutes les meilleures solution, ou une bonne approximation, ou une solution ”robuste”, etc.

Introduction Probl`emes d’optimisation combinatoire Probl`emes d’optimisation num´erique Optimisation

Contexte

Optimisation boite noire (Black box)

Nous ne pouvons connaitre que{(x₀,f(x0)),(x1,f(x1)), ...}donn´es par un ”oracle”

Aucune information sur la d´efinition de la fonction objectiff n’est soit disponible ou soit n´ecessaire

x −→ −→f(x)

Fonction objectif donn´ee par un calcul ou une simulation Fonction objectif peut ˆetre irr´eguli`ere, non diff´erentielle, non continue, etc.

Typologie des probl` emes d’optimisation

Classification

Optimisation combinatoire : Espace de recherche dont les variables sont discr`etes (cas NP-difficile)

Optimisation num´erique (continue): Espace de recherche dont les variables sont continues

N’entrant pas dans les deux autres cat´egories : combinaison discret/continue, programme, morphologie, topologie, etc.

Introduction Probl`emes d’optimisation combinatoire Probl`emes d’optimisation num´erique Optimisation

D´ etour ou retour : Notion de complexit´ e

cf. cours en annexe : Notion de complexit´e pour comprendre les probl`emes NP-complet, NP-difficile

Exemple de probl` emes d’optimisation

La suite est une liste de probl`emes d’optimisation combinatoire

Introduction Probl`emes d’optimisation combinatoire Probl`emes d’optimisation num´erique Optimisation

Sudoku

Questions :

Calculer le nombre de grilles (solutions) possibles au sudoku.

Calculer le temps de traitement par l’ensemble des ordinateurs sur Terrre de ces solutions `a l’aide d’un algorithme ”it´eratif”.

Probl` eme SAT

Premier probl`eme NP-difficile (Cook, 1971) n variables bool´eennes :{x₁,x2, ...,xn} litt´eral :l =x_i oul = ¯x_i

m clauses (disjonction de litt´eraux) :{C₁,C₂, ...,C_m} k_j litt´eraux par clauseC_j :{l_1,j,l_2,j, ...,l_kj,j} :

Cj =Wkj

i=1li,j

Trouver l’affectation des variables telle la conjonction des clauses soit vraie :

V_m

j=1C_j

(cas sp´ecial, k-SAT lorsque kj =k)

Introduction Probl`emes d’optimisation combinatoire Probl`emes d’optimisation num´erique Optimisation

SAT : Applications

V´erification de circuits (model checking), logique, planification, informatique...

cf. solver IBM, etc.

Planification avec SAT

Planification classique

n : Longueur maximale du plan.

Pour toute variable d’´etatv et ∀i ∈ {1, . . . ,n}: variables vⁱ. vⁱ vraie lorsque v vraie apr`es l’action num´ero i.

Pour toute actiona et pour touti ∈ {1, . . . ,n} : variablesaⁱ. aⁱ vraie lorsque l’action num´eroi est a.

Exercice

Traduire par une formule SAT :

”L’action afait passer la variablev `a vraie lorsque celle-ci est fausse”.

”Lorsque le syst`eme est dans l’´etate et que l’action a s’effectue alors le syst`eme passe dans l’´etatf”.

Introduction Probl`emes d’optimisation combinatoire Probl`emes d’optimisation num´erique Optimisation

Planification avec SAT

Exercice

Rechercher `a l’aide du web ou de votre exp´erience des exemples de planification.

Exercice

Dessiner un (tr`es) petit labyrinthe.

2 souris doivent sortir de ce labyrinthe mais ne peuvent occuper un mˆeme couloir en mˆeme temps.

Traduire ce probl`eme de planification en probl`eme SAT.

Exercice

Faire traverser ”Le Loup, la Ch`evre et les choux” sur un bateau avec son fermier...

De SAT au probl` eme d’optimisation Max-SAT

Maximiser le nombre de clausesC_j v´erifi´ees

f(x) = #{C_j : C_j(x) est vraie}

x est une solution de SAT ssi f(x) =m

Introduction Probl`emes d’optimisation combinatoire Probl`emes d’optimisation num´erique Optimisation

SAT : Propri´ et´ es physiques !

r´ef´erence bib

Transition de phase suivant : α= ^m_N = nombre de clauses nombre de variables

Siα < α_c alors forte probabilit´e qu’une instance al´eatoire ait une solution Siαc < αalors faible probabilit´e qu’une instance al´eatoire ait une solution ... analogie avec la transition de phase entre eau et glace autour de 0^◦C.

αc temp. critique

Coloration de graphe

Graphe :

G = (S,A) avecS ens. des sommets et A⊂S² ens. des arcs

Coloration :

affectation d’une couleur `a chaque noeud

α:S →C avec C ={c₁, . . . ,c_k} Trouver une (k-)coloration telle que :

si (s,t)∈A alorsα(s)6=α(t)

Applications : affection de fr´equence en t´el´ephonie mobile, emploi du temps, coloration des cartes...

Introduction Probl`emes d’optimisation combinatoire Probl`emes d’optimisation num´erique Optimisation

Coloration de graphe

Affectation de fr´equences

Exercice

Des ´emetteurs radio sont dispos´es dans l’espace g´eographique.

Pour ´eviter les interf´erences, ils ne peuvent diffuser sur la mˆeme fr´equence si leur distance est inf´erieure `a une constanteD.

Traduire ce probl`eme en probl`eme de coloration de graphe.

sudoku : coloration de graphe ?

Exercice

Traduire le probl`eme de sudoku en un probl`eme de coloration de graphe.

Introduction Probl`emes d’optimisation combinatoire Probl`emes d’optimisation num´erique Optimisation

Voyageur de commerce (TSP)

Trouver le parcours le plus court passant par toutes les villes.

n : nombre de villes

drs : distance entre les villesr ets.

Exercice

Exprimer la fonction `a optimiser en fonction des param`etres du probl`eme.

Voyageur de commerce (TSP)

Trouver le parcours le plus court passant par toutes les villes.

n : nombre de villes

drs : distance entre les villesr ets.

Exercice

Exprimer la fonction `a optimiser en fonction des param`etres du probl`eme.

Introduction Probl`emes d’optimisation combinatoire Probl`emes d’optimisation num´erique Optimisation

Quadratic Assignment Problem (QAP)

Probl`eme d’affection quadratique

Minimiser le flux total (Exemple d’apr´es Taillard).

Quadratic Assignment Problem (QAP)

Minimiser le flux total n objets, n emplacements

f_ij : flot entre objectsi et j,

d_rs : distance entre emplacement r ets

Applications : r´epartition de batiments ou de servives, affectation des portes d’a´eroport, placement de modules logiques, claviers...

Introduction Probl`emes d’optimisation combinatoire Probl`emes d’optimisation num´erique Optimisation

Quadratic Assignment Problem (QAP)

Exercice

Traduire le probl`eme en un probl`eme d’optimisation en exprimant la fonction `a optimiser.

Vehicule Routing Problem (VRP)

But : transporter des biens `a des clients

V´ehicule `a capacit´e limit´ee, fenˆetre de temps, etc.

Probl`eme : D´eterminer pour chaque v´ehicule leur trajet de mani`ere

`a minimiser les coˆuts (temps, essence, etc.) Application : logistique du dernier kilom`etre, etc.

Introduction Probl`emes d’optimisation combinatoire Probl`emes d’optimisation num´erique Optimisation

Job Scheduling Problem

Ensemble de taches J ={j₁,j2,j3, . . . ,jp} temps d’executionp(j_i) R´ealis´es sur m machines M ={M₁, . . . ,Mm}

Applications : ordonnancement, emploi du temps,...

Optimisation du pilotage d’un R´ eacteur ` a Eau Pressuris´ ee dans le cadre de la transition ´ energ´ etique ` a l’aide

d’algorithmes ´ evolutionnaires

Th`ese de Mathieu Muniglia (CEA) - dont ces slides sont issus avec J.-C. Le Pallec, J.-M. Do, H. Grard, S. David.

Contexte

Forte augmentation de la part des ´energies intermittentes :

´eolien, solaire - 5% en 2013, 30% selon l’ademe en 2030.

Les variations peuvent ˆetre compens´ees par :

une gestion du r´eseau, le stockage ou les autres sources, i.e.le nucl´eairedans le contexte fran¸cais (50% en 2030).

Objectif

Adapter les centrales nucl´eaires `a cette nouvelle configuration, afin qu’elles puissent compenser au mieux les variations

Introduction Probl`emes d’optimisation combinatoire Probl`emes d’optimisation num´erique Optimisation

M´ ethodologie

M´ethodologie

Mod´eliser un r´eacteur nucl´eaire :

mod´elisation multiphysique (neutronique, thermodynamique, thermom´ecanique)

multi-´echelle (´echelle du coeur au syst`eme complet) Simuler le mod`ele par un calcul :

D´efinir le sch´ema de calcul, d´evelopper les outils informatiques Optimiser certains param`etres de contrˆole

afin de permettre la manoeuvrabilit´e du r´eacteur : Algorithme ´evolutionnaire

Mod` ele du r´ eacteur (REP 1300MV)

Source : Mathieu Muniglia

Introduction Probl`emes d’optimisation combinatoire Probl`emes d’optimisation num´erique Optimisation

Sch´ ema simplifi´ e d’une centrale

Source : Mathieu Muniglia

Chaine de r´ egulation des barres de commande

Source : Mathieu Muniglia

Mod`eles et couplage : ”best estimate” puis d´egrad´e pour r´eduire temps de calcul

Introduction Probl`emes d’optimisation combinatoire Probl`emes d’optimisation num´erique Optimisation

Param` etres de la position des barres de contrˆ ole

Param`etres (11 variables discr`etes)

Recouvrement : nombre de pas entre 2 insertions de barre Programme de vitesse : vitesse nominale (pas/min), bande morte, bande de manœuvre groupe R

Crit`eres `a optimiser

H´et´erog´en´eit´e du coeur relatif `a l’axial offset Crit`ere de suret´e relatif `a la gaine

Quelques consid´ erations sur ce travail

Interaction multi-disciplinaire

D´efinir un mod`ele et une simulation est difficile : Connaissances expertes n´ecessaires

Logiquement l’optimisation commence lorsque (X,f) : Mais participation `a la mod´elisation n´ec´essaire :

comprendre le probl`eme,

conseil dans la mod´elisation (variable, crit`eres, etc.), expliquer ce que l’on attendre comme r´esultat, regard critique sur les m´ethodes, etc.

R´esultats dans les deux domaines (physique nucl´eaire et optimisation) : Publications dans les deux domaines

Introduction Probl`emes d’optimisation combinatoire Probl`emes d’optimisation num´erique Optimisation

Quelques consid´ erations sur ce travail

Int´erˆet du point de vue optimisation stochastique

Probl`eme d’optimisation combinatoire black-box multiobjectif Temps de calcul d’une simulation long et h´et´erog`ene :

20 min par simu en moyenne de 15 min `a 35 min

D´evelopper de nouveaux algorithmes distribu´es : Prise en consid´eration des temps h´et´erog`enes Aucune connaissance sur ce probl`eme (black-box) :

Technique pour r´egler les param`etres des algorithmes

Paysages NK

f(x) = 1 N

N

X

i=1

f_i(x_i;x_i1, . . . ,x_iK)

N nombre d’acides anim´es

K ≤N−1 nombres d’int´eraction entre ac. anim´es deux types d’ac. anim´e 0 ou 1

xk lek^eme ac. anim´e d’une chainex {i1, . . . ,iK} ⊂ {1, . . . ,i−1,i+ 1, . . . ,N}

f_i:{0,1}^K+1→[0,1]

Application : mod´elisation de prot´eines

Introduction Probl`emes d’optimisation combinatoire Probl`emes d’optimisation num´erique Optimisation

exemple N = 4 K = 2

x = 0110

x₁x₂x₄ f1

000 0.9 001 0.6 010 0.1 011 0.2 . . . . . .

x1x2x3 f2

000 0.4 001 0.8 010 0.3 011 0.2 . . . . . .

x2x3x4 f3

000 0.2 . . . . . . 101 0.9 110 0.1 111 0.5

x1x2x4 f4

000 0.1 001 0.2 010 0.8 011 0.0 . . . . . .

f(x) = ¹₄( f1(010) + f2(011) + f3(110) + f4(010) )

= ¹₄( 0.1 + 0.2 + 0.1 + 0.8 )

= 0.3

Probl` eme du sac ` a dos

Exercice

Traduire en un probl`eme d’optimisation le probl`eme qui consiste `a remplir un sac `a dos avec le plus d’objets de valeur en tenant compte de leur encombrement.

Introduction Probl`emes d’optimisation combinatoire Probl`emes d’optimisation num´erique Optimisation

Exemples de probl` eme d’optimisation num´ erique

La suite est une liste de probl`emes d’optimisation num´erique

Docking mol´ eculaire

Position relative qui minimise l’´energie ´electrostatique

ADN - prot´eine ou proteine - prot´eine

(cr´edits S. Fiorucci, universit´e de Nice Sophia Antipolis)

Introduction Probl`emes d’optimisation combinatoire Probl`emes d’optimisation num´erique Optimisation

Calibration de mod` ele

Mod´ele cognitif computationnel

stimuli

cognitive data Human

cognitive activity

parameters

stimuli

cognitive

Computational data

Model

Un mod` ele, ` a quoi ¸ca sert ?...

Pourquoi faire un mod`ele ? Valeur explicative :

D´efinition et utilisation d’un vocabulaire formel pour d´ecrire le comportement cognitif

Approche th´eorique : apport de nouvelles connaissances scientifiques

Valeur pr´edictive :

Utilisation de la simulation d’un mod`ele pour pr´edire le comportement d’un humain

Approche pratique : par exemple en ergonomie

Introduction Probl`emes d’optimisation combinatoire Probl`emes d’optimisation num´erique Optimisation

Charge cognitive

Definition

Cognitive Load (or mental workload) is the property emerging from the interaction between the requirements of the task, their

circumstances and the skills, behaviors, and perceptions of the user.

Working Memory (Sweller, 1988) : Problem solving, reasoning, language Attentional capacity :

Divided vs selective attention (Dual-Task Paradigm) Filter Theory of selective attention (Broadbent, 1958) Single channel theory (Welford, 1967, 1980)

Resource Theory (Kahneman, 1973 ; Wickens, 1984) Serial vs Parallel allocation of attention during Dual-Task ?

Estimation de la charge cognitive

Le d´eluge de donn´ee est l`a !

Methods :

Self-report measures (subjective) : uni or multi-dimensional scales (SWAT, NASA-TLX,...).

Physiological measures :

EEGs, Heart rate, Electrodermal activity, pupil diameter,...

Introduction Probl`emes d’optimisation combinatoire Probl`emes d’optimisation num´erique Optimisation

Tˆ ache de m´ emorisation de symboles

Description simple de la tˆache

Une suite de chiffres est ´enonc´ee `a un sujet Le sujet doit restituer cette suite

Quels sont les modalit´es/syst`emes cognitifs mis en jeu ?

M´emoire de travail Canal auditif

Tˆ ache de m´ emorisation de symboles

Description simple de la tˆache

Une suite de chiffres est ´enonc´ee `a un sujet Le sujet doit restituer cette suite

Quels sont les modalit´es/syst`emes cognitifs mis en jeu ? M´emoire de travail

Canal auditif

Introduction Probl`emes d’optimisation combinatoire Probl`emes d’optimisation num´erique Optimisation

Un petit test

Protocole

A´ecritn chiffres

A dicte `aB cesn chiffres B restitue ensuite cesn chiffres Pendant ce tempsC ”prend” le pouls

R´esultats : R´eussite ou echec ? Tester avecn = 5 et/oun= 9.

7 +_/−2

Un petit test

Protocole

A´ecritn chiffres

A dicte `aB cesn chiffres B restitue ensuite cesn chiffres Pendant ce tempsC ”prend” le pouls

R´esultats : R´eussite ou echec ? Tester avecn = 5 et/oun= 9.

7 +_/−2

Introduction Probl`emes d’optimisation combinatoire Probl`emes d’optimisation num´erique Optimisation

Estimation de la charge cognitive

Methods :

Self-report measures (subjective) : uni or multi-dimensional scales (SWAT, NASA-TLX,...).

Physiological measures :

EEGs, Heart rate, Electrodermal activity,pupil diameter,...

Pupil Diameter (Task-evoked Pupillary Responses)

Digit span task

Encoding : increases Recall : decreases

Pupillary response correlates positively with increases in mental processing effort, or workload

(Backs and Walrath, 1992 ; Beatty, 1982 ; Granholm et

al., 1996 ; Just et al., 2003). Kahneman and Beatty (1966)

Introduction Probl`emes d’optimisation combinatoire Probl`emes d’optimisation num´erique Optimisation

Task-evoked Pupillary Responses (TEPR)

Number studies have shown significant relations between pupillary responses and cognitive processes

Short-Term Memory (Kahneman and Beatty, 1966 ; Van Der Meer et al, 2005)

Language (Just and Carpenter, 1992)

Reasoning (Nuthmann and Van Der Meer, 2005)

Memory (Karatekin, Couperus, and Marcus, 2004 ; Van Der Meer, Friedrich, Nuthmann, Stelezl, and Kuchinke, 2005) Perception (Verney, Granholm, and Dionisio, 2001 ; Schlemmer el al, 2005)

...

and information seeking ?

Etude et m´ ethodologie

Goal : Testing attentional load with dual-task paradigm 2 single tasks and 1 dual task

Vision: Word-Search (WS)

Target-word on a set of 12 words randomly displayed (same length)

Lexical Frequency (low vs high) Fitts’index (low vs high) Audition : Digit-Span (DS) Digit from 0 to n

Digits’ sequence (5 digits vs 9 digits) Phase (encoding vs recall)

Vison + Audition: Mixing WS and DS All previous factors

Introduction Probl`emes d’optimisation combinatoire Probl`emes d’optimisation num´erique Optimisation

M´ ethodologie

Target +

+ Left bouton

3 sec.

Word search Target word

11 sec. (9 digits) +

+

Recall 10 sec. (5 digits) 18 sec. (9 digits) Encoding

Left bouton 3 sec.

7 sec. (5 digits)

Word Search +

+ Left bouton

3 sec.

Recall Encoding

18 sec. (9 digits) 10 sec. (5 digits) 11 sec. (9 digits) 7 sec. (5 digits) Target Target word

Word Search task Digit Span task Dual task

R´ esultats

Introduction Probl`emes d’optimisation combinatoire Probl`emes d’optimisation num´erique Optimisation

R´ esultats : succession des essais pour un mˆ eme sujet

-1 0 1 2 3 4 5 6

0 5000 10000 15000 20000 25000 30000

diameter

time

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

0 5000 10000 15000 20000 25000 30000

diameter

time

Pr´ e-traitement

Phase indispensable avant toute mod´elisation

How to build TEPRs :

No consensus in the litterature

TEPRs consist in aggregating pupil diameter over a period of fixed time.

Our construction method :

TEPRs on a variable period of time (Normalized TEPRs)

1 Filtering out saccades and blink related artifacts.

2 Smoothing the data with a low-pass filter

3 Resampling the data with a fixed number of points (250 pts)

Introduction Probl`emes d’optimisation combinatoire Probl`emes d’optimisation num´erique Optimisation

Diam` etres pupillaires pour les 24 sujets : encodage

12 premiers sujets 12 derniers sujets

2.5 3 3.5 4 4.5 5

0 50 100 150 200 250 2.5

3 3.5 4 4.5 5

0 50 100 150 200 250

5 nombres `a m´emoriser

2.5 3 3.5 4 4.5 5

0 50 100 150 200 250

2.5 3 3.5 4 4.5 5

0 50 100 150 200 250

9 nombres `a m´emoriser

Diam` etres pupillaires pour les 24 sujets : Rappel

12 premiers sujets 12 derniers sujets

2.5 3 3.5 4 4.5 5

0 50 100 150 200 250 2.6

2.8 3 3.2 3.4 3.6 3.8 4 4.2 4.4 4.6 4.8

0 50 100 150 200 250

5 nombres `a m´emoriser

2.8 3 3.2 3.4 3.6 3.8 4 4.2 4.4 4.6

0 50 100 150 200 250

2.6 2.8 3 3.2 3.4 3.6 3.8 4 4.2 4.4 4.6

0 50 100 150 200 250

9 nombres `a m´emoriser

Introduction Probl`emes d’optimisation combinatoire Probl`emes d’optimisation num´erique Optimisation

Mod´ elisation

Questions

Nature de la mod´elisation :

Qu’est-ce qu’un mod`ele dans notre cas ? Comment d´efinir un comportement moyen ?

Exploitation de la mod´elisation :

Est-ce que la pupille est un marqueur de la charge cognitive pour ces taches ?

Est-ce que les taches sont trait´ees en parall`ele ou en s´erie ?

Introduction Probl`emes d’optimisation combinatoire Probl`emes d’optimisation num´erique Optimisation

Mod´ elisation

Questions

Nature de la mod´elisation :

Qu’est-ce qu’un mod`ele dans notre cas ?

en fonction de l’unit´e de temps pour chacune des situations Comment d´efinir un comportement moyen ?

Voir plus loin

Exploitation de la mod´elisation :

Est-ce que la pupille est un marqueur de la charge cognitive pour ces taches ?

Variation non standart (lumi`ere, etc.) du diam`etre de la pupille Est-ce que les taches sont trait´ees en parall`ele ou en s´erie ? Relation entre les mod`eles pour chaque situation

Introduction Probl`emes d’optimisation combinatoire Probl`emes d’optimisation num´erique Optimisation

Mod´ elisation

Questions

Nature de la mod´elisation :

Qu’est-ce qu’un mod`ele dans notre cas ?

Fonction fθd´ependant de param`etresθdu diam`etre pupillaire en fonction de l’unit´e de temps pour chacune des situations Comment d´efinir un comportement moyen ?

Voir plus loin

Exploitation de la mod´elisation :

Est-ce que la pupille est un marqueur de la charge cognitive pour ces taches ?

Variation non standart (lumi`ere, etc.) du diam`etre de la pupille Est-ce que les taches sont trait´ees en parall`ele ou en s´erie ? Relation entre les mod`eles pour chaque situation

Introduction Probl`emes d’optimisation combinatoire Probl`emes d’optimisation num´erique Optimisation

Mod´ elisation

Questions

Nature de la mod´elisation :

Qu’est-ce qu’un mod`ele dans notre cas ?

Fonction fθd´ependant de param`etresθdu diam`etre pupillaire en fonction de l’unit´e de temps pour chacune des situations Comment d´efinir un comportement moyen ?

Voir plus loin

Exploitation de la mod´elisation :

Est-ce que la pupille est un marqueur de la charge cognitive pour ces taches ?

Est-ce que les taches sont trait´ees en parall`ele ou en s´erie ? Relation entre les mod`eles pour chaque situation

Introduction Probl`emes d’optimisation combinatoire Probl`emes d’optimisation num´erique Optimisation

Mod´ elisation

Questions

Nature de la mod´elisation :

Qu’est-ce qu’un mod`ele dans notre cas ?

Fonction fθd´ependant de param`etresθdu diam`etre pupillaire en fonction de l’unit´e de temps pour chacune des situations Comment d´efinir un comportement moyen ?

Voir plus loin

Exploitation de la mod´elisation :

Est-ce que la pupille est un marqueur de la charge cognitive pour ces taches ?

Variation non standart (lumi`ere, etc.) du diam`etre de la pupille Est-ce que les taches sont trait´ees en parall`ele ou en s´erie ?

Relation entre les mod`eles pour chaque situation

Mod´ elisation

Questions

Nature de la mod´elisation :

Qu’est-ce qu’un mod`ele dans notre cas ?

Fonction fθd´ependant de param`etresθdu diam`etre pupillaire en fonction de l’unit´e de temps pour chacune des situations Comment d´efinir un comportement moyen ?

Voir plus loin

Exploitation de la mod´elisation :

Est-ce que la pupille est un marqueur de la charge cognitive pour ces taches ?

Variation non standart (lumi`ere, etc.) du diam`etre de la pupille Est-ce que les taches sont trait´ees en parall`ele ou en s´erie ? Relation entre les mod`eles pour chaque situation

Introduction Probl`emes d’optimisation combinatoire Probl`emes d’optimisation num´erique Optimisation

mod` ele de comportement moyen ?

Moyenne des formesvs. Forme de la moyenne

Forme de la moyenne :

Calculer la moyenne des courbes exp´erimentales : {datai} ⇒data

Calculer la fonction d´ecrivant la courbe moyenne :data⇒fθ

Moyenne des formes :

Calculer les fonctions d´ecrivant chaque courbe exp´erimentale : {data_i} ⇒ {f_θi}

Calculer le mod`ele moyen par la moyenne des param`etres : {fθ_i} ⇒fθ¯

Introduction Probl`emes d’optimisation combinatoire Probl`emes d’optimisation num´erique Optimisation

mod` ele de comportement moyen ?

Moyenne des formesvs. Forme de la moyenne Forme de la moyenne :

Calculer la moyenne des courbes exp´erimentales : {datai} ⇒data

Calculer la fonction d´ecrivant la courbe moyenne :data⇒fθ

Calculer les fonctions d´ecrivant chaque courbe exp´erimentale : {data_i} ⇒ {f_θi}

Calculer le mod`ele moyen par la moyenne des param`etres : {fθ_i} ⇒fθ¯

Introduction Probl`emes d’optimisation combinatoire Probl`emes d’optimisation num´erique Optimisation

mod` ele de comportement moyen ?

Moyenne des formesvs. Forme de la moyenne Forme de la moyenne :

Calculer la moyenne des courbes exp´erimentales : {datai} ⇒data

Calculer la fonction d´ecrivant la courbe moyenne :data⇒fθ

Moyenne des formes :

Calculer les fonctions d´ecrivant chaque courbe exp´erimentale : {data_i} ⇒ {f_θi}

Calculer le mod`ele moyen par la moyenne des param`etres : {f_θi} ⇒fθ¯

Average of the normalized encoding curves

5 digits, low frequency lex., easy fitts

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

0 5 10 15 20 25

Diameter

Time

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

0 5 10 15 20 25

Diameter

Time

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

0 5 10 15 20 25

Diameter

Time encodage 5 et bf_f

digit word dual

Introduction Probl`emes d’optimisation combinatoire Probl`emes d’optimisation num´erique Optimisation

Average of the normalized encoding curves

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

0 5 10 15 20 25

Diameter

Time encodage 5 et bf_f

digit word

dual 0.1

0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

0 5 10 15 20 25

Diameter

Time encodage 9 et bf_f

digit word dual

5 d., low, easy 9 d., low, easy

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

0 5 10 15 20 25

Diameter

Time encodage 5 et hf_f

digit word

dual 0.1

0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

0 5 10 15 20 25

Diameter

Time encodage 9 et hf_f

digit word dual

5 d., high, easy 9 d., high, easy

Introduction Probl`emes d’optimisation combinatoire Probl`emes d’optimisation num´erique Optimisation

Principe g´ en´ eral de la mod´ elisation

Une id´ee de mod´elisation ?

f_WS,f_DS : fonctions construites `a partir de l’interpolation lin´eaire des donn´ees exp´erimentales pour chacune des taches simples

F est d´efinie `a partir de fWS et fDS

Introduction Probl`emes d’optimisation combinatoire Probl`emes d’optimisation num´erique Optimisation

Principe g´ en´ eral de la mod´ elisation

Une id´ee de mod´elisation ?

But : d´eduire des taches simples la tache duale

f_WS,f_DS : fonctions construites `a partir de l’interpolation lin´eaire des donn´ees exp´erimentales pour chacune des taches simples

F est d´efinie `a partir de fWS etfDS

Introduction Probl`emes d’optimisation combinatoire Probl`emes d’optimisation num´erique Optimisation

Premi` ere tentative

Intuition/Hypoth`ese

courbeDual : combinaison lin´eaire des courbesWS etDS, Les minima des courbes WS et Dual se ressemblent :

la concavit´e autour du minimum de la courbe de Dual semble ˆ

etre une homoth´etie de celui deWS

0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6

0 5 10 15 20 25

Diameter

Time w1 = 1.0 w1 = 1.2 w1 = 1.5 w1 = 2.0

f_WS(ωt)

Introduction Probl`emes d’optimisation combinatoire Probl`emes d’optimisation num´erique Optimisation

Premi` ere tentative

Intuition/Hypoth`ese

courbeDual : combinaison lin´eaire des courbesWS etDS, Les minima des courbes WS et Dual se ressemblent :

la concavit´e autour du minimum de la courbe de Dual semble ˆ

etre une homoth´etie de celui deWS

0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7

0 5 10 15 20 25

Diameter

Time w1 = 1.0 w1 = 1.2 w1 = 1.5 w1 = 2.0

f_WS(ωt)

Premi` ere tentative

Intuition/Hypoth`ese

courbeDual : combinaison lin´eaire des courbesWS etDS, Les minima des courbes WS et Dual se ressemblent :

la concavit´e autour du minimum de la courbe de Dual semble ˆ

etre une homoth´etie de celui deWS

F(t) =αf_DM(t) + (1−α)f_WS(ωt)

Introduction Probl`emes d’optimisation combinatoire Probl`emes d’optimisation num´erique Optimisation

Premi` ere tentative : r´ esultats

Ajustement ”`a la main” des 2 param`etres α etω.

0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65

0 5 10 15 20 25

Diameter

Time

dual fit

α= 0.28 etω= 2.1

Premi` ere tentative : r´ esultats

Observations :

Bonne correspondance des concavit´es autour des minima (mais ce n’est qu’intuitif)

Probl`eme d’´echelle pour obtenir la dur´ee totale !

Courbe Duale serait plus proche de la courbe DS par la suite.

Introduction Probl`emes d’optimisation combinatoire Probl`emes d’optimisation num´erique Optimisation

Deuxi` eme tentative

Intuition/Hypoth`ese

courbeDual : combinaison lin´eaire des courbesWS etDS, Les minima des courbes WS et Dual se ressemblent :

la concavit´e autour du minimum de la courbe de Dual semble ˆ

etre une homoth´etie de celui deWS

2 p´eriodes : avant T, acc´el´eration de la tacheWS et apr`esT, ralentirWS

F(t) =

α1fDM(t) + (1−α1)fWS(ω1t) if ∀t <T α₂f_DM(t) + (1−α₂)f_WS(ω₁T +ω₂(t−T)), if ∀t ≥T

ω2= ^T_T^max−ω1T

max−T

Deuxi` eme tentative

Intuition/Hypoth`ese

courbeDual : combinaison lin´eaire des courbesWS etDS, Les minima des courbes WS et Dual se ressemblent :

la concavit´e autour du minimum de la courbe de Dual semble ˆ

etre une homoth´etie de celui deWS

2 p´eriodes : avant T, acc´el´eration de la tacheWS et apr`esT, ralentirWS

F(t) =

α1fDM(t) + (1−α1)fWS(ω1t) if ∀t <T α₂f_DM(t) + (1−α₂)f_WS(ω₁T +ω₂(t−T)), if ∀t ≥T

ω2= ^T_T^max−ω1T

max−T

Introduction Probl`emes d’optimisation combinatoire Probl`emes d’optimisation num´erique Optimisation

Deuxi` eme tentative : r´ esultats

Ajustement ”`a la main” des 4 param`etres α₁,α₂,ω₁ et T.

0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7

0 5 10 15 20 25

Diameter

Time

dual fit

α₁ = 0.28,α₂ = 0.28,ω₁= 2.1 et T = 7.

Deuxi` eme tentative : r´ esultats

Observations :

Bonne correspondance des concavit´es autour des minima (mais ce n’est qu’intuitif)

Pas satisfaisant en fin de tache

Courbes WS et DS ont toutes deux des diam`etres pupillaires sup´erieures `a la tache duale.

Introduction Probl`emes d’optimisation combinatoire Probl`emes d’optimisation num´erique Optimisation

Troisi` eme tentative

Intuition/Hypoth`ese (...)

2 p´eriodes : avantT acc´el´eration de la tacheWS, apr`esT ralentirWS

pas de normalisation de la pond´eration

F(t) =

K1(α1f_DM(t) + (1−α1)f_WS(ω1t)) if ∀t<T K₂(α₂f_DM(t) + (1−α₂)f_WS(ω₁T +ω₂(t−T))), if ∀t≥T

ω2= ^T_T^max−ω1T

max−T

Troisi` eme tentative

Intuition/Hypoth`ese (...)

2 p´eriodes : avantT acc´el´eration de la tacheWS, apr`esT ralentirWS

pas de normalisation de la pond´eration

F(t) =

K1(α1f_DM(t) + (1−α1)f_WS(ω1t)) if ∀t <T K₂(α₂f_DM(t) + (1−α₂)f_WS(ω₁T +ω₂(t−T))), if ∀t ≥T

ω2= ^T_T^max−ω1T

max−T

Introduction Probl`emes d’optimisation combinatoire Probl`emes d’optimisation num´erique Optimisation

Recherche des param` etres de la mod´ elisation

6 param`etres `a ajuster...

Principe

Passage d’un probl`eme de calibration de mod`ele

`a un probl`eme d’optimisation.

Minimiser la distance entre les donn´ees exp´erimentales et la r´eponse du mod`ele :

D(F,f_dual) =

Tmax

X

t=0

(F(t)−f_dual(t))² (1) M´ethode standart

M´ethode least squares : descente de gradient

Introduction Probl`emes d’optimisation combinatoire Probl`emes d’optimisation num´erique Optimisation

Recherche des param` etres de la mod´ elisation

6 param`etres `a ajuster...

Principe

Passage d’un probl`eme de calibration de mod`ele

`a un probl`eme d’optimisation.

r´eponse du mod`ele :

D(F,f_dual) =

Tmax

X

t=0

(F(t)−f_dual(t))² (1) M´ethode standart

M´ethode least squares : descente de gradient

Introduction Probl`emes d’optimisation combinatoire Probl`emes d’optimisation num´erique Optimisation

Recherche des param` etres de la mod´ elisation

6 param`etres `a ajuster...

Principe

Passage d’un probl`eme de calibration de mod`ele

`a un probl`eme d’optimisation.

Minimiser la distance entre les donn´ees exp´erimentales et la r´eponse du mod`ele :

D(F,f_dual) =

Tmax

X

t=0

(F(t)−f_dual(t))² (1) M´ethode standart

M´ethode least squares : descente de gradient

Troisi` eme tentative : r´ esultats

0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7

0 5 10 15 20 25

Diameter

Time Encod 5 and word search bf easy

dual task fit

α^DM₁ = 0.26949 +/−3.57272 α^WS₁ = 0.71589 +/−2.48088 ω1= 2.18175 +/−7.31864 α^DM₂ = 0.75530 +/−4.03088 α^WS₂ = 0.26424 +/−7.38936

le nombre de degr´e de libert´e est : dof = 20 Le chi2 est de : chisq = 0.0209632

et donc chisq/dof = 0.00104816

Introduction Probl`emes d’optimisation combinatoire Probl`emes d’optimisation num´erique Optimisation

Troisi` eme tentative : premiers r´ esultats

0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8

0 5 10 15 20 25

Diameter

Time Encod 9 and word search bf easy

dual task fit

α^DM₁ = 0.54886 +/−3.52852 α^WS₁ = 0.64250 +/−3.11468 ω1= 2.91984 +/−4.88156 α^DM₂ = 0.58580 +/−1.68662 α^WS₂ = 0.62422 +/−4.07546

le nombre de degr´e de libert´e est : dof = 20 Le chi2 est de : chisq = 0.0121965

et donc chisq/dof = 0.000609824

Introduction Probl`emes d’optimisation combinatoire Probl`emes d’optimisation num´erique Optimisation

Troisi` eme tentative : premiers r´ esultats

R´esultats ”semblent” visuellement tout juste acceptable pour ces courbes

les αs ont `a peu pr`es le mˆeme ordre de grandeur

algorithme least squares : grande variation de r´esultats selon les ex´ecutions

l’algo. s’arrˆete avant d’avoir converg´e et trouv´e de bonnes valeurs : minima locaux

Introduction Probl`emes d’optimisation combinatoire Probl`emes d’optimisation num´erique Optimisation

Troisi` eme tentative : premiers r´ esultats

R´esultats ”semblent” visuellement tout juste acceptable pour ces courbes

les αs ont `a peu pr`es le mˆeme ordre de grandeur Mais dans la m´ethode d’optimisation

algorithme least squares : grande variation de r´esultats selon les ex´ecutions

l’algo. s’arrˆete avant d’avoir converg´e et trouv´e de bonnes valeurs : minima locaux