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Introduction aux probl`emes d’optimisation et `a la mod´elisation

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(1)

et ` a la mod´elisation

Recherche Op´erationnelle et Optimisation Master 1 I2L / ISIDIS

S´ebastien Verel verel@lisic.univ-littoral.fr

http://www-lisic.univ-littoral.fr/~verel

Universit´e du Littoral Cˆote d’Opale Laboratoire LISIC Equipe CAMOME

(2)

Introduction Probl`emes d’optimisation combinatoire Probl`emes d’optimisation num´erique Optimisation

Information

But, ´evaluation, objectifs, support de cours, bibliographie : cf. siteweb

(3)

Plan

1 Probl`emes d’optimisation combinatoire

2 Probl`emes d’optimisation num´erique

3 Optimisation

(4)

Introduction Probl`emes d’optimisation combinatoire Probl`emes d’optimisation num´erique Optimisation

Recherche Op´ erationnelle, m´ ethode d’optimisation

Origine historique

Expression utilis´ee au Royaume-Unis

Seconde guerre mondiale (1938, Royal Air Force) Optimisation des op´erations militaires

Recueil donn´ees station radar, gestion des avions, strat´egie sous-marins allemand

D´efinition contemporaine

Mod´elisation math´ematique d’un probl`eme,

puis r´esoudre ce probl`eme `a l’aide d’une m´ethode informatique

(5)

R´ esoudre des probl` emes

Probl`eme du monde r´eel

Des produits sont dans un entrepˆot.

But : Livrer les produits `a tous les clients.

(6)

Introduction Probl`emes d’optimisation combinatoire Probl`emes d’optimisation num´erique Optimisation

R´ esoudre des probl` emes

Probl`eme du monde r´eel

Des produits sont dans un entrepˆot.

But : Livrer les produits `a tous les clients.

Client Dépot

Probl`eme abstrait

But : Minimiser la distance (le coˆut) parcourue en respectant les contraintes horaires

(7)

R´ esoudre des probl` emes

Probl`eme du monde r´eel

Des produits sont dans un entrepˆot.

But : Livrer les produits `a tous les clients.

Client Dépot

Probl`eme abstrait

But : Minimiser la distance (le coˆut) parcourue en respectant les contraintes horaires

(8)

Introduction Probl`emes d’optimisation combinatoire Probl`emes d’optimisation num´erique Optimisation

Une m´ ethodologie de r´ esolution de probl` eme

Principe

Transformer un probl`eme r´eel en probl`eme optimisation

Problème

Réel Problème

Optimisation Solution(s)

Modélisation Résolution

Mod´eliser :

Abstraire la r´ealit´e

Simplifier la r´ealit´e (nombre de param`etres, “bruit”, d´efauts,...)

Garder les ´el´ements pertinents par rapport au probl`eme `a r´esoudre

(9)

Une m´ ethodologie de r´ esolution de probl` eme

Principe

Transformer un probl`eme r´eel en probl`eme optimisation

Problème

Réel Problème

Optimisation Solution(s)

Modélisation Résolution

Concevoir un (bon) mod`ele :

Connaissance experte du domaine

Connaissance des m´ethodes de r´esolution (informatique)

(10)

Introduction Probl`emes d’optimisation combinatoire Probl`emes d’optimisation num´erique Optimisation

D´ etour ou retour : Notion de complexit´ e

cf. cours en annexe : Notion de complexit´e

(11)

Introduction Probl`emes d’optimisation combinatoire Probl`emes d’optimisation num´erique Optimisation

Definition of an optimization problem

Optimization problem

Search space : Set of all feasible solutions, X

Objective function : Quality criterium f :X →IR Solving an optimization problem

Find the best solution according to the criterium x?=argmax f

the best solution, good ’robust’ solution...

(12)

Introduction Probl`emes d’optimisation combinatoire Probl`emes d’optimisation num´erique Optimisation

Definition of an optimization problem

Optimization problem

Search space : Set of all feasible solutions, X

Objective function : Quality criterium f :X →IR Solving an optimization problem

Find the best solution according to the criterium x?=argmax f

But, sometime, the set of all best solutions, good approximation of the best solution, good ’robust’ solution...

(13)

Contexte

Black box Scenario

We have only{(x0,f(x0)),(x1,f(x1)), ...} given by an ”oracle”

No information is either not available or needed on the definition of objective function

Objective function given by a computation, or a simulation Objective function can be irregular, non differentiable, non continous, etc.

Typologie des probl`emes

Optimisation combinatoire : Espace de recherche dont les variables sont discr`etes (cas NP-complet)

optimisation num´erique (continue): Espace de recherche dont les variables sont continues

(14)

Introduction Probl`emes d’optimisation combinatoire Probl`emes d’optimisation num´erique Optimisation

Exemple

Questions :

Calculer le nombre de grilles (solutions) possibles au sudoku.

Calculer le temps de traitement par l’ensemble des ordinateurs sur Terrre de ces solutions `a l’aide d’un algorithme ”it´eratif”.

(15)

Probl` eme SAT

Premier probl`eme NP-difficile (Cook, 1971) n variables bool´eennes :{x1,x2, ...,xn} litt´eral :l =xi oul = ¯xi

m clauses (disjonction de litt´eraux) :{C1,C2, ...,Cm} kj litt´eraux par clauseCj :{l1,j,l2,j, ...,lkj,j} :

Cj =Wkj

i=1li,j

Trouver l’affectation des variables telle la conjonction des clauses soit vraie :

Vm

j=1Cj

(cas sp´ecial, k-SAT lorsque kj =k)

(16)

Introduction Probl`emes d’optimisation combinatoire Probl`emes d’optimisation num´erique Optimisation

SAT : Applications

V´erification de circuits (model checking), logique, planification, informatique...

cf. solver IBM, etc.

(17)

Planification avec SAT

Planification classique

n : Longueur maximale du plan.

Pour toute variable d’´etatv et ∀i ∈ {1, . . . ,n}: variables vi. vi vraie lorsque v vraie apr`es l’action num´ero i.

Pour toute actiona et pour touti ∈ {1, . . . ,n} : variablesai. ai vraie lorsque l’action num´eroi est a.

Exercice

Traduire par une formule SAT :

”L’action afait passer la variablev `a vraie lorsque celle-ci est fausse”.

”Lorsque le syst`eme est dans l’´etate et que l’action a s’effectue alors le syst`eme passe dans l’´etatf”.

(18)

Introduction Probl`emes d’optimisation combinatoire Probl`emes d’optimisation num´erique Optimisation

Planification avec SAT

Exercice

Rechercher `a l’aide du web ou de votre exp´erience des exemples de planification.

Exercice

Dessiner un (tr`es) petit labyrinthe.

2 souris doivent sortir de ce labyrinthe mais ne peuvent occuper un mˆeme couloir en mˆeme temps.

Traduire ce probl`eme de planification en probl`eme SAT.

Exercice

Faire traverser ”Le Loup, la Ch`evre et les choux” sur un bateau avec son fermier...

(19)

De SAT au probl` eme d’optimisation Max-SAT

Maximiser le nombre de clausesCj v´erifi´ees

f(x) = #{Cj : Cj(x) est vraie}

x est une solution de SAT ssi f(x) =m

(20)

Introduction Probl`emes d’optimisation combinatoire Probl`emes d’optimisation num´erique Optimisation

SAT : Propri´ et´ es physiques !

ef´erence bib

Transition de phase suivant : α= mN = nombre de clauses nombre de variables

Siα < αc alors forte probabilit´e qu’une instance al´eatoire ait une solution Siαc < αalors faible probabilit´e qu’une instance al´eatoire ait une solution ... analogie avec la transition de phase entre eau et glace autour de 0C.

αc temp. critique

(21)

Coloration de graphe

Graphe :

G = (S,A) avecS ens. des sommets et A⊂S2 ens. des arcs

Coloration :

affectation d’une couleur `a chaque noeud

α:S →C avec C ={c1, . . . ,ck} Trouver une (k-)coloration telle que :

si (s,t)∈A alorsα(s)6=α(t)

Applications : affection de fr´equence en t´el´ephonie mobile, emploi du temps, coloration des cartes...

(22)

Introduction Probl`emes d’optimisation combinatoire Probl`emes d’optimisation num´erique Optimisation

Coloration de graphe

Affectation de fr´equences

Exercice

Des ´emetteurs radio sont dispos´es dans l’espace g´eographique.

Pour ´eviter les interf´erences, ils ne peuvent diffuser sur la mˆeme fr´equence si leur distance est inf´erieure `a une constanteD.

Traduire ce probl`eme en probl`eme de coloration de graphe.

(23)

sudoku : coloration de graphe ?

Exercice

Traduire le probl`eme de sudoku en un probl`eme de coloration de graphe.

(24)

Introduction Probl`emes d’optimisation combinatoire Probl`emes d’optimisation num´erique Optimisation

Voyageur de commerce (TSP)

Trouver le parcours le plus court passant par toutes les villes.

n : nombre de villes

drs : distance entre les villesr ets.

Exercice

Exprimer la fonction `a optimiser en fonction des param`etres du probl`eme.

(25)

Voyageur de commerce (TSP)

Trouver le parcours le plus court passant par toutes les villes.

n : nombre de villes

drs : distance entre les villesr ets.

Exercice

Exprimer la fonction `a optimiser en fonction des param`etres du probl`eme.

(26)

Introduction Probl`emes d’optimisation combinatoire Probl`emes d’optimisation num´erique Optimisation

Quadratic Assignment Problem (QAP)

Probl`eme d’affection quadratique

Minimiser le flux total (Exemple d’apr´es Taillard).

(27)

Quadratic Assignment Problem (QAP)

Minimiser le flux total n objets, n emplacements

fij : flot entre objectsi et j,

drs : distance entre emplacement r ets

Applications : r´epartition de batiments ou de servives, affectation des portes d’a´eroport, placement de modules logiques, claviers...

(28)

Introduction Probl`emes d’optimisation combinatoire Probl`emes d’optimisation num´erique Optimisation

Quadratic Assignment Problem (QAP)

Exercice

Traduire le probl`eme en un probl`eme d’optimisation en exprimant la fonction `a optimiser.

(29)

Vehicule Routing Problem (VRP)

But : transporter des biens `a des clients

V´ehicule `a capacit´e limit´ee, fenˆetre de temps, etc.

Probl`eme : D´eterminer pour chaque v´ehicule leur trajet de mani`ere

`a minimiser les coˆuts (temps, essence, etc.) Application : logistique du dernier kilom`etre, etc.

(30)

Introduction Probl`emes d’optimisation combinatoire Probl`emes d’optimisation num´erique Optimisation

Job Scheduling Problem

Ensemble de taches J ={j1,j2,j3, . . . ,jp} temps d’executionp(ji) R´ealis´es sur m machines M ={M1, . . . ,Mm}

Applications : ordonnancement, emploi du temps,...

(31)

Paysages NK

f(x) = 1 N

N

X

i=1

fi(xi;xi1, . . . ,xiK)

N nombre d’acides anim´es

K N1 nombres d’int´eraction entre ac. anim´es deux types d’ac. anim´e 0 ou 1

xk lekeme ac. anim´e d’une chainex {i1, . . . ,iK} ⊂ {1, . . . ,i1,i+ 1, . . . ,N}

fi:{0,1}K+1[0,1]

Application : mod´elisation de prot´eines

(32)

Introduction Probl`emes d’optimisation combinatoire Probl`emes d’optimisation num´erique Optimisation

exemple N = 4 K = 2

x = 0110

x1x2x4 f1

000 0.9 001 0.6 010 0.1 011 0.2 . . . . . .

x1x2x3 f2

000 0.4 001 0.8 010 0.3 011 0.2 . . . . . .

x2x3x4 f3

000 0.2 . . . . . . 101 0.9 110 0.1 111 0.5

x1x2x4 f4

000 0.1 001 0.2 010 0.8 011 0.0 . . . . . .

f(x) = 14( f1(010) + f2(011) + f3(110) + f4(010) )

= 14( 0.1 + 0.2 + 0.1 + 0.8 )

= 0.3

(33)

Probl` eme du sac ` a dos

Exercice

Traduire en un probl`eme d’optimisation le probl`eme qui consiste `a remplir un sac `a dos avec le plus d’objets de valeur en tenant compte de leur encombrement.

(34)

Introduction Probl`emes d’optimisation combinatoire Probl`emes d’optimisation num´erique Optimisation

Docking mol´ eculaire

Position relative qui minimise l’´energie ´electrostatique

ADN - prot´eine ou proteine - prot´eine

(cr´edits S. Fiorucci, universit´e de Nice Sophia Antipolis)

(35)

Calibration de mod` ele

Mod´ele cognitif computationnel

stimuli

cognitive data Human

cognitive activity

parameters

stimuli

cognitive

Computational data

Model

(36)

Introduction Probl`emes d’optimisation combinatoire Probl`emes d’optimisation num´erique Optimisation

Un mod` ele, ` a quoi ¸ca sert ?...

Pourquoi faire un mod`ele ? Valeur explicative :

efinition et utilisation d’un vocabulaire formel pour d´ecrire le comportement cognitif

Approche th´eorique : apport de nouvelles connaissances scientifiques

Valeur pr´edictive :

Utilisation de la simulation d’un mod`ele pour pr´edire le comportement d’un humain

Approche pratique : par exemple en ergonomie

(37)

Charge cognitive

Definition

Cognitive Load (or mental workload) is the property emerging from the interaction between the requirements of the task, their

circumstances and the skills, behaviors, and perceptions of the user.

Working Memory (Sweller, 1988) : Problem solving, reasoning, language Attentional capacity :

Divided vs selective attention (Dual-Task Paradigm) Filter Theory of selective attention (Broadbent, 1958) Single channel theory (Welford, 1967, 1980)

Resource Theory (Kahneman, 1973 ; Wickens, 1984) Serial vs Parallel allocation of attention during Dual-Task ?

(38)

Introduction Probl`emes d’optimisation combinatoire Probl`emes d’optimisation num´erique Optimisation

Estimation de la charge cognitive

Methods :

Self-report measures (subjective) : uni or multi-dimensional scales (SWAT, NASA-TLX,...).

Physiological measures :

EEGs, Heart rate, Electrodermal activity, pupil diameter,...

(39)

Introduction Probl`emes d’optimisation combinatoire Probl`emes d’optimisation num´erique Optimisation

Tˆ ache de m´ emorisation de symboles

Description simple de la tˆache

Une suite de chiffres est ´enonc´ee `a un sujet Le sujet doit restituer cette suite

Quels sont les modalit´es/syst`emes cognitifs mis en jeu ?

Canal auditif

(40)

Introduction Probl`emes d’optimisation combinatoire Probl`emes d’optimisation num´erique Optimisation

Tˆ ache de m´ emorisation de symboles

Description simple de la tˆache

Une suite de chiffres est ´enonc´ee `a un sujet Le sujet doit restituer cette suite

Quels sont les modalit´es/syst`emes cognitifs mis en jeu ? M´emoire de travail

Canal auditif

(41)

Introduction Probl`emes d’optimisation combinatoire Probl`emes d’optimisation num´erique Optimisation

Un petit test

Protocole

A´ecritn chiffres

A dicte `aB cesn chiffres B restitue ensuite cesn chiffres Pendant ce tempsC ”prend” le pouls

R´esultats : R´eussite ou echec ? Tester avecn = 5 et/oun= 9.

(42)

Introduction Probl`emes d’optimisation combinatoire Probl`emes d’optimisation num´erique Optimisation

Un petit test

Protocole

A´ecritn chiffres

A dicte `aB cesn chiffres B restitue ensuite cesn chiffres Pendant ce tempsC ”prend” le pouls

R´esultats : R´eussite ou echec ? Tester avecn = 5 et/oun= 9.

7 +/−2

(43)

Estimation de la charge cognitive

Methods :

Self-report measures (subjective) : uni or multi-dimensional scales (SWAT, NASA-TLX,...).

Physiological measures :

EEGs, Heart rate, Electrodermal activity,pupil diameter,...

(44)

Introduction Probl`emes d’optimisation combinatoire Probl`emes d’optimisation num´erique Optimisation

Pupil Diameter (Task-evoked Pupillary Responses)

Digit span task

Encoding : increases Recall : decreases

Pupillary response correlates positively with increases in mental processing effort, or workload

(Backs and Walrath, 1992 ; Beatty, 1982 ; Granholm et

al., 1996 ; Just et al., 2003). Kahneman and Beatty (1966)

(45)

Task-evoked Pupillary Responses (TEPR)

Number studies have shown significant relations between pupillary responses and cognitive processes

Short-Term Memory (Kahneman and Beatty, 1966 ; Van Der Meer et al, 2005)

Language (Just and Carpenter, 1992)

Reasoning (Nuthmann and Van Der Meer, 2005)

Memory (Karatekin, Couperus, and Marcus, 2004 ; Van Der Meer, Friedrich, Nuthmann, Stelezl, and Kuchinke, 2005) Perception (Verney, Granholm, and Dionisio, 2001 ; Schlemmer el al, 2005)

...

and information seeking ?

(46)

Introduction Probl`emes d’optimisation combinatoire Probl`emes d’optimisation num´erique Optimisation

Etude et m´ ethodologie

Goal : Testing attentional load with dual-task paradigm 2 single tasks and 1 dual task

Vision: Word-Search (WS)

Target-word on a set of 12 words randomly displayed (same length)

Lexical Frequency (low vs high) Fitts’index (low vs high) Audition : Digit-Span (DS) Digit from 0 to n

Digits’ sequence (5 digits vs 9 digits) Phase (encoding vs recall)

Vison + Audition: Mixing WS and DS All previous factors

(47)

M´ ethodologie

Target +

+ Left bouton

3 sec.

Word search Target word

11 sec. (9 digits) +

+

Recall 10 sec. (5 digits) 18 sec. (9 digits) Encoding

Left bouton 3 sec.

7 sec. (5 digits)

Word Search +

+ Left bouton

3 sec.

Recall Encoding

18 sec. (9 digits) 10 sec. (5 digits) 11 sec. (9 digits) 7 sec. (5 digits) Target Target word

Word Search task Digit Span task Dual task

(48)

Introduction Probl`emes d’optimisation combinatoire Probl`emes d’optimisation num´erique Optimisation

R´ esultats

(49)

R´ esultats : succession des essais pour un mˆ eme sujet

-1 0 1 2 3 4 5 6

0 5000 10000 15000 20000 25000 30000

diameter

time

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

0 5000 10000 15000 20000 25000 30000

diameter

time

(50)

Introduction Probl`emes d’optimisation combinatoire Probl`emes d’optimisation num´erique Optimisation

Pr´ e-traitement

Phase indispensable avant toute mod´elisation

How to build TEPRs :

No consensus in the litterature

TEPRs consist in aggregating pupil diameter over a period of fixed time.

Our construction method :

TEPRs on a variable period of time (Normalized TEPRs)

1 Filtering out saccades and blink related artifacts.

2 Smoothing the data with a low-pass filter

3 Resampling the data with a fixed number of points (250 pts)

(51)

Diam` etres pupillaires pour les 24 sujets : encodage

12 premiers sujets 12 derniers sujets

2.5 3 3.5 4 4.5 5

0 50 100 150 200 250 2.5

3 3.5 4 4.5 5

0 50 100 150 200 250

5 nombres `a m´emoriser

2.5 3 3.5 4 4.5 5

0 50 100 150 200 250

2.5 3 3.5 4 4.5 5

0 50 100 150 200 250

9 nombres `a m´emoriser

(52)

Introduction Probl`emes d’optimisation combinatoire Probl`emes d’optimisation num´erique Optimisation

Diam` etres pupillaires pour les 24 sujets : Rappel

12 premiers sujets 12 derniers sujets

2.5 3 3.5 4 4.5 5

0 50 100 150 200 250 2.6

2.8 3 3.2 3.4 3.6 3.8 4 4.2 4.4 4.6 4.8

0 50 100 150 200 250

5 nombres `a m´emoriser

2.8 3 3.2 3.4 3.6 3.8 4 4.2 4.4 4.6

0 50 100 150 200 250

2.6 2.8 3 3.2 3.4 3.6 3.8 4 4.2 4.4 4.6

0 50 100 150 200 250

9 nombres `a m´emoriser

(53)

Mod´ elisation

Questions

Nature de la mod´elisation :

Qu’est-ce qu’un mod`ele dans notre cas ? Comment d´efinir un comportement moyen ?

Exploitation de la mod´elisation :

Est-ce que la pupille est un marqueur de la charge cognitive pour ces taches ?

Est-ce que les taches sont trait´ees en parall`ele ou en s´erie ?

(54)

Introduction Probl`emes d’optimisation combinatoire Probl`emes d’optimisation num´erique Optimisation

Mod´ elisation

Questions

Nature de la mod´elisation :

Qu’est-ce qu’un mod`ele dans notre cas ?

Fonction fθependant de param`etresθdu diam`etre pupillaire en fonction de l’unit´e de temps pour chacune des situations Comment d´efinir un comportement moyen ?

Voir plus loin

Exploitation de la mod´elisation :

Est-ce que la pupille est un marqueur de la charge cognitive pour ces taches ?

Variation non standart (lumi`ere, etc.) du diam`etre de la pupille Est-ce que les taches sont trait´ees en parall`ele ou en s´erie ? Relation entre les mod`eles pour chaque situation

(55)

Introduction Probl`emes d’optimisation combinatoire Probl`emes d’optimisation num´erique Optimisation

Mod´ elisation

Questions

Nature de la mod´elisation :

Qu’est-ce qu’un mod`ele dans notre cas ?

Fonction fθependant de param`etresθdu diam`etre pupillaire en fonction de l’unit´e de temps pour chacune des situations Comment d´efinir un comportement moyen ?

Exploitation de la mod´elisation :

Est-ce que la pupille est un marqueur de la charge cognitive pour ces taches ?

Variation non standart (lumi`ere, etc.) du diam`etre de la pupille Est-ce que les taches sont trait´ees en parall`ele ou en s´erie ? Relation entre les mod`eles pour chaque situation

(56)

Introduction Probl`emes d’optimisation combinatoire Probl`emes d’optimisation num´erique Optimisation

Mod´ elisation

Questions

Nature de la mod´elisation :

Qu’est-ce qu’un mod`ele dans notre cas ?

Fonction fθependant de param`etresθdu diam`etre pupillaire en fonction de l’unit´e de temps pour chacune des situations Comment d´efinir un comportement moyen ?

Voir plus loin

Exploitation de la mod´elisation :

Est-ce que la pupille est un marqueur de la charge cognitive pour ces taches ?

Variation non standart (lumi`ere, etc.) du diam`etre de la pupille Est-ce que les taches sont trait´ees en parall`ele ou en s´erie ? Relation entre les mod`eles pour chaque situation

(57)

Introduction Probl`emes d’optimisation combinatoire Probl`emes d’optimisation num´erique Optimisation

Mod´ elisation

Questions

Nature de la mod´elisation :

Qu’est-ce qu’un mod`ele dans notre cas ?

Fonction fθependant de param`etresθdu diam`etre pupillaire en fonction de l’unit´e de temps pour chacune des situations Comment d´efinir un comportement moyen ?

Voir plus loin

Exploitation de la mod´elisation :

Est-ce que la pupille est un marqueur de la charge cognitive pour ces taches ?

Variation non standart (lumi`ere, etc.) du diam`etre de la pupille Est-ce que les taches sont trait´ees en parall`ele ou en s´erie ?

(58)

Introduction Probl`emes d’optimisation combinatoire Probl`emes d’optimisation num´erique Optimisation

Mod´ elisation

Questions

Nature de la mod´elisation :

Qu’est-ce qu’un mod`ele dans notre cas ?

Fonction fθependant de param`etresθdu diam`etre pupillaire en fonction de l’unit´e de temps pour chacune des situations Comment d´efinir un comportement moyen ?

Voir plus loin

Exploitation de la mod´elisation :

Est-ce que la pupille est un marqueur de la charge cognitive pour ces taches ?

Variation non standart (lumi`ere, etc.) du diam`etre de la pupille Est-ce que les taches sont trait´ees en parall`ele ou en s´erie ? Relation entre les mod`eles pour chaque situation

(59)

Introduction Probl`emes d’optimisation combinatoire Probl`emes d’optimisation num´erique Optimisation

mod` ele de comportement moyen ?

Moyenne des formesvs. Forme de la moyenne

Calculer la moyenne des courbes exp´erimentales : {datai} ⇒data

Calculer la fonction d´ecrivant la courbe moyenne :datafθ

Moyenne des formes :

Calculer les fonctions d´ecrivant chaque courbe exp´erimentale : {datai} ⇒ {fθi}

Calculer le mod`ele moyen par la moyenne des param`etres : {fθi} ⇒fθ¯

(60)

Introduction Probl`emes d’optimisation combinatoire Probl`emes d’optimisation num´erique Optimisation

mod` ele de comportement moyen ?

Moyenne des formesvs. Forme de la moyenne Forme de la moyenne :

Calculer la moyenne des courbes exp´erimentales : {datai} ⇒data

Calculer la fonction d´ecrivant la courbe moyenne :datafθ

Moyenne des formes :

Calculer les fonctions d´ecrivant chaque courbe exp´erimentale : {datai} ⇒ {fθi}

Calculer le mod`ele moyen par la moyenne des param`etres : {fθi} ⇒fθ¯

(61)

mod` ele de comportement moyen ?

Moyenne des formesvs. Forme de la moyenne Forme de la moyenne :

Calculer la moyenne des courbes exp´erimentales : {datai} ⇒data

Calculer la fonction d´ecrivant la courbe moyenne :datafθ

Moyenne des formes :

Calculer les fonctions d´ecrivant chaque courbe exp´erimentale : {datai} ⇒ {fθi}

Calculer le mod`ele moyen par la moyenne des param`etres : {fθi} ⇒fθ¯

(62)

Introduction Probl`emes d’optimisation combinatoire Probl`emes d’optimisation num´erique Optimisation

Average of the normalized encoding curves

5 digits, low frequency lex., easy fitts

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

0 5 10 15 20 25

Diameter

Time

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

0 5 10 15 20 25

Diameter

Time

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

0 5 10 15 20 25

Diameter

Time encodage 5 et bf_f

digit word dual

(63)

Average of the normalized encoding curves

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

0 5 10 15 20 25

Diameter

Time encodage 5 et bf_f

digit word

dual 0.1

0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

0 5 10 15 20 25

Diameter

Time encodage 9 et bf_f

digit word dual

5 d., low, easy 9 d., low, easy

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

0 5 10 15 20 25

Diameter

Time encodage 5 et hf_f

digit word

dual 0.1

0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

0 5 10 15 20 25

Diameter

Time encodage 9 et hf_f

digit word dual

5 d., high, easy 9 d., high, easy

(64)

Introduction Probl`emes d’optimisation combinatoire Probl`emes d’optimisation num´erique Optimisation

Principe g´ en´ eral de la mod´ elisation

Une id´ee de mod´elisation ?

But : d´eduire des taches simples la tache duale

fWS,fDS : fonctions construites `a partir de l’interpolation lin´eaire des donn´ees exp´erimentales pour chacune des taches simples

F est d´efinie `a partir de fWS et fDS

(65)

Principe g´ en´ eral de la mod´ elisation

Une id´ee de mod´elisation ?

But : d´eduire des taches simples la tache duale

fWS,fDS : fonctions construites `a partir de l’interpolation lin´eaire des donn´ees exp´erimentales pour chacune des taches simples

F est d´efinie `a partir de fWS etfDS

(66)

Introduction Probl`emes d’optimisation combinatoire Probl`emes d’optimisation num´erique Optimisation

Premi` ere tentative

Intuition/Hypoth`ese

courbeDual : combinaison lin´eaire des courbesWS etDS, Les minima des courbes WS et Dual se ressemblent :

la concavit´e autour du minimum de la courbe de Dual semble ˆ

etre une homoth´etie de celui deWS

0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7

0 5 10 15 20 25

Diameter

Time w1 = 1.0 w1 = 1.2 w1 = 1.5 w1 = 2.0

fWS(ωt)

(67)

Premi` ere tentative

Intuition/Hypoth`ese

courbeDual : combinaison lin´eaire des courbesWS etDS, Les minima des courbes WS et Dual se ressemblent :

la concavit´e autour du minimum de la courbe de Dual semble ˆ

etre une homoth´etie de celui deWS

0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7

0 5 10 15 20 25

Diameter

Time w1 = 1.0 w1 = 1.2 w1 = 1.5 w1 = 2.0

fWS(ωt)

(68)

Introduction Probl`emes d’optimisation combinatoire Probl`emes d’optimisation num´erique Optimisation

Premi` ere tentative

Intuition/Hypoth`ese

courbeDual : combinaison lin´eaire des courbesWS etDS, Les minima des courbes WS et Dual se ressemblent :

la concavit´e autour du minimum de la courbe de Dual semble ˆ

etre une homoth´etie de celui deWS

F(t) =αfDM(t) + (1−α)fWS(ωt)

(69)

Premi` ere tentative : r´ esultats

Ajustement ”`a la main” des 2 param`etres α etω.

0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65

0 5 10 15 20 25

Diameter

Time

dual fit

α= 0.28 etω= 2.1

(70)

Introduction Probl`emes d’optimisation combinatoire Probl`emes d’optimisation num´erique Optimisation

Premi` ere tentative : r´ esultats

Observations :

Bonne correspondance des concavit´es autour des minima (mais ce n’est qu’intuitif)

Probl`eme d’´echelle pour obtenir la dur´ee totale !

Courbe Duale serait plus proche de la courbe DS par la suite.

(71)

Introduction Probl`emes d’optimisation combinatoire Probl`emes d’optimisation num´erique Optimisation

Deuxi` eme tentative

Intuition/Hypoth`ese

courbeDual : combinaison lin´eaire des courbesWS etDS, Les minima des courbes WS et Dual se ressemblent :

la concavit´e autour du minimum de la courbe de Dual semble ˆ

etre une homoth´etie de celui deWS

2 p´eriodes : avant T, acc´el´eration de la tacheWS et apr`esT, ralentirWS

F(t) =

α2fDM(t) + (1−α2)fWS1T +ω2(t−T)), if ∀t ≥T

ω2= TTmax−ω1T

max−T

(72)

Introduction Probl`emes d’optimisation combinatoire Probl`emes d’optimisation num´erique Optimisation

Deuxi` eme tentative

Intuition/Hypoth`ese

courbeDual : combinaison lin´eaire des courbesWS etDS, Les minima des courbes WS et Dual se ressemblent :

la concavit´e autour du minimum de la courbe de Dual semble ˆ

etre une homoth´etie de celui deWS

2 p´eriodes : avant T, acc´el´eration de la tacheWS et apr`esT, ralentirWS

F(t) =

α1fDM(t) + (1−α1)fWS1t) if ∀t <T α2fDM(t) + (1−α2)fWS1T +ω2(t−T)), if ∀t ≥T

ω2= TTmax−ω1T

max−T

(73)

Deuxi` eme tentative : r´ esultats

Ajustement ”`a la main” des 4 param`etres α121 et T.

0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7

0 5 10 15 20 25

Diameter

Time

dual fit

α1 = 0.28,α2 = 0.28,ω1= 2.1 et T = 7.

(74)

Introduction Probl`emes d’optimisation combinatoire Probl`emes d’optimisation num´erique Optimisation

Deuxi` eme tentative : r´ esultats

Observations :

Bonne correspondance des concavit´es autour des minima (mais ce n’est qu’intuitif)

Pas satisfaisant en fin de tache

Courbes WS et DS ont toutes deux des diam`etres pupillaires sup´erieures `a la tache duale.

(75)

Introduction Probl`emes d’optimisation combinatoire Probl`emes d’optimisation num´erique Optimisation

Troisi` eme tentative

Intuition/Hypoth`ese (...)

2 p´eriodes : avantT acc´el´eration de la tacheWS, apr`esT ralentirWS

pas de normalisation de la pond´eration

F(t) =

K22fDM(t) + (1−α2)fWS1T +ω2(t−T))), if ∀t≥T

ω2= TTmax−ω1T

max−T

(76)

Introduction Probl`emes d’optimisation combinatoire Probl`emes d’optimisation num´erique Optimisation

Troisi` eme tentative

Intuition/Hypoth`ese (...)

2 p´eriodes : avantT acc´el´eration de la tacheWS, apr`esT ralentirWS

pas de normalisation de la pond´eration

F(t) =

K11fDM(t) + (1−α1)fWS1t)) if ∀t <T K22fDM(t) + (1−α2)fWS1T +ω2(t−T))), if ∀t ≥T

ω2= TTmax−ω1T

max−T

(77)

Introduction Probl`emes d’optimisation combinatoire Probl`emes d’optimisation num´erique Optimisation

Recherche des param` etres de la mod´ elisation

6 param`etres `a ajuster...

Passage d’un probl`eme de calibration de mod`ele

`a un probl`eme d’optimisation.

Minimiser la distance entre les donn´ees exp´erimentales et la r´eponse du mod`ele :

D(F,fdual) =

Tmax

X

t=0

(F(t)−fdual(t))2 (1) M´ethode standart

M´ethode least squares : descente de gradient

(78)

Introduction Probl`emes d’optimisation combinatoire Probl`emes d’optimisation num´erique Optimisation

Recherche des param` etres de la mod´ elisation

6 param`etres `a ajuster...

Principe

Passage d’un probl`eme de calibration de mod`ele

`a un probl`eme d’optimisation.

Minimiser la distance entre les donn´ees exp´erimentales et la r´eponse du mod`ele :

D(F,fdual) =

Tmax

X

t=0

(F(t)−fdual(t))2 (1) M´ethode standart

M´ethode least squares : descente de gradient

(79)

Recherche des param` etres de la mod´ elisation

6 param`etres `a ajuster...

Principe

Passage d’un probl`eme de calibration de mod`ele

`a un probl`eme d’optimisation.

Minimiser la distance entre les donn´ees exp´erimentales et la r´eponse du mod`ele :

D(F,fdual) =

Tmax

X

t=0

(F(t)−fdual(t))2 (1) M´ethode standart

M´ethode least squares : descente de gradient

(80)

Introduction Probl`emes d’optimisation combinatoire Probl`emes d’optimisation num´erique Optimisation

Troisi` eme tentative : r´ esultats

0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7

0 5 10 15 20 25

Diameter

Time Encod 5 and word search bf easy

dual task fit

αDM1 = 0.26949 +/3.57272 αWS1 = 0.71589 +/2.48088 ω1= 2.18175 +/7.31864 αDM2 = 0.75530 +/4.03088 αWS2 = 0.26424 +/7.38936

le nombre de degr´e de libert´e est : dof = 20 Le chi2 est de : chisq = 0.0209632

et donc chisq/dof = 0.00104816

(81)

Troisi` eme tentative : premiers r´ esultats

0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8

0 5 10 15 20 25

Diameter

Time Encod 9 and word search bf easy

dual task fit

αDM1 = 0.54886 +/3.52852 αWS1 = 0.64250 +/3.11468 ω1= 2.91984 +/4.88156 αDM2 = 0.58580 +/1.68662 αWS2 = 0.62422 +/4.07546

le nombre de degr´e de libert´e est : dof = 20 Le chi2 est de : chisq = 0.0121965

et donc chisq/dof = 0.000609824

(82)

Introduction Probl`emes d’optimisation combinatoire Probl`emes d’optimisation num´erique Optimisation

Troisi` eme tentative : premiers r´ esultats

R´esultats ”semblent” visuellement tout juste acceptable pour ces courbes

les αs ont `a peu pr`es le mˆeme ordre de grandeur

Mais dans la m´ethode d’optimisation

algorithme least squares : grande variation de r´esultats selon les ex´ecutions

l’algo. s’arrˆete avant d’avoir converg´e et trouv´e de bonnes valeurs : minima locaux

(83)

Troisi` eme tentative : premiers r´ esultats

R´esultats ”semblent” visuellement tout juste acceptable pour ces courbes

les αs ont `a peu pr`es le mˆeme ordre de grandeur Mais dans la m´ethode d’optimisation

algorithme least squares : grande variation de r´esultats selon les ex´ecutions

l’algo. s’arrˆete avant d’avoir converg´e et trouv´e de bonnes valeurs : minima locaux

(84)

Introduction Probl`emes d’optimisation combinatoire Probl`emes d’optimisation num´erique Optimisation

Troisi` eme tentative : premiers r´ esultats

0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7

0 5 10 15 20 25

Diameter

Time encodage 5 et bf_f

dual

fit 0.25

0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75

0 5 10 15 20 25

Diameter

Time encodage 9 et bf_f

dual fit

5 d., low, easy 9 d., low, easy

0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65

0 5 10 15 20 25

Diameter

Time encodage 5 et hf_f

dual

fit 0.2

0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7

0 5 10 15 20 25

Diameter

Time encodage 9 et hf_f

dual fit

5 d., high, easy 9 d., high, easy

−→ Utiliser une meilleure m´ethode d’optimisation !

(85)

Troisi` eme tentative : r´ esultats !

0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6

0 5 10 15 20 25

Diameter

Time encodage 5 et bf_f

dual

fit 0.3

0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65

0 5 10 15 20 25

Diameter

Time encodage 9 et bf_f

dual fit

5 d., low, easy 9 d., low, easy

0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65

0 5 10 15 20 25

Diameter

Time encodage 5 et hf_f

dual

fit 0.25

0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65

0 5 10 15 20 25

Diameter

Time encodage 9 et hf_f

dual fit

5 d., high, easy 9 d., high, easy

(86)

Introduction Probl`emes d’optimisation combinatoire Probl`emes d’optimisation num´erique Optimisation

Troisi` eme tentative : r´ esultats !

5 d., low, easy

0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7

0 5 10 15 20 25

Diameter

Time encodage 5 et bf_f

dual

fit 0.3

0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65

0 5 10 15 20 25

Diameter

Time encodage 9 et bf_f

dual fit

Moindres carr´es CMA-ES

(87)

Troisi` eme tentative : r´ esultats !

0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65

0 5 10 15 20 25

Diameter

Time encodage 5 et bf_d

dual

fit 0.2

0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65

0 5 10 15 20 25

Diameter

Time encodage 9 et bf_d

dual fit

5 d., low, hard 9 d., low, hard

0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75

0 5 10 15 20 25

Diameter

Time encodage 5 et hf_d

dual

fit 0.25

0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7

0 5 10 15 20 25

Diameter

Time encodage 9 et hf_d

dual fit

5 d., high, hard 9 d., high, hard

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