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Syst` emes lin´ eaires ` a param` etres

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Academic year: 2022

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Texte intégral

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Lyc´ee Benjamin Franklin PTSI−2012-2013

D. Blotti`ere Algorithmique

TD n˚4

Syst` emes lin´ eaires ` a param` etres

Exercice 18

Soit (a, b, c)∈R3 donn´e. ´Ecrire un algorithme qui affiche l’ensemble solution de l’´equation : (E) : ax+by=c

d’inconnue (x, y)∈R2.

Exercice 19 (Un pas vers l’algorithme du pivot de Gauß)

Soient (a, b, c, d)∈R4 et soient (α, β)∈R2donn´es. On consid`ere le syst`eme lin´eaire (S) :

ax + by = α (L1)

cx + dy = β (L2) d’inconnue (x, y)∈R2.

1. Soit (S) le syst`eme lin´eaire d´eduit de (S) en ´echangeant les lignes (L1) et (L2), i.e. : (S) :

cx + dy = β (L1←L2)

ax + by = α (L2←L1).

Montrer que pour tout (x, y)∈R2 :

(x, y) est solution de (S) ⇔ (x, y) est solution de (S).

2. Soit λ un r´eel non nul et soit (S′′) le syst`eme lin´eaire d´eduit de (S) en conservant la ligne (L1) et en rempla¸cant la ligne (L2) par (λ L2), i.e. :

(S′′) :

ax + by = α (L1)

λcx + λdy = λβ (λ L2).

Montrer que pour tout (x, y)∈R2 :

(x, y) est solution de (S) ⇔ (x, y) est solution de (S′′).

2. Soitλun r´eel et soit (S′′′) le syst`eme lin´eaire d´eduit de (S) en conservant la ligne (L1) et en rempla¸cant la ligne (L2) par (L2−λL1), i.e. :

(S′′′) :

ax + by = α (L1)

(c−λa)x + (d−λb)y = β−λα (L2←L2−λL1).

Montrer que pour tout (x, y)∈R2 :

(x, y) est solution de (S) ⇔ (x, y) est solution de (S′′′).

Exercice 20

Ecrire un algorithme qui affiche l’ensemble solution du syst`eme lin´eaire :´ (S) :

221x + 187y = α

91x + 77y = β

d’inconnue (x, y)∈R2 et de param`etre (α, β)∈R2.

(2)

Exercice 21

Ecrire un algorithme qui affiche l’ensemble solution du syst`eme lin´eaire :´ (S) :

2x + 3y = λx

3x + 2y = λy

d’inconnue (x, y)∈R2 et de param`etreλ∈R.

Exercice 22

Ecrire un algorithme qui affiche l’ensemble solution du syst`eme lin´eaire :´ (S) :

2mx + (m+ 1)y = 2

(m+ 2)x + (2m+ 1)y = m+ 1 d’inconnue (x, y)∈R2 et de param`etrem∈R.

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