Lyc´ee Benjamin Franklin PTSI−2012-2013
D. Blotti`ere Algorithmique
TD n˚4
Syst` emes lin´ eaires ` a param` etres
Exercice 18
Soit (a, b, c)∈R3 donn´e. ´Ecrire un algorithme qui affiche l’ensemble solution de l’´equation : (E) : ax+by=c
d’inconnue (x, y)∈R2.
Exercice 19 (Un pas vers l’algorithme du pivot de Gauß)
Soient (a, b, c, d)∈R4 et soient (α, β)∈R2donn´es. On consid`ere le syst`eme lin´eaire (S) :
ax + by = α (L1)
cx + dy = β (L2) d’inconnue (x, y)∈R2.
1. Soit (S′) le syst`eme lin´eaire d´eduit de (S) en ´echangeant les lignes (L1) et (L2), i.e. : (S′) :
cx + dy = β (L1←L2)
ax + by = α (L2←L1).
Montrer que pour tout (x, y)∈R2 :
(x, y) est solution de (S) ⇔ (x, y) est solution de (S′).
2. Soit λ un r´eel non nul et soit (S′′) le syst`eme lin´eaire d´eduit de (S) en conservant la ligne (L1) et en rempla¸cant la ligne (L2) par (λ L2), i.e. :
(S′′) :
ax + by = α (L1)
λcx + λdy = λβ (λ L2).
Montrer que pour tout (x, y)∈R2 :
(x, y) est solution de (S) ⇔ (x, y) est solution de (S′′).
2. Soitλun r´eel et soit (S′′′) le syst`eme lin´eaire d´eduit de (S) en conservant la ligne (L1) et en rempla¸cant la ligne (L2) par (L2−λL1), i.e. :
(S′′′) :
ax + by = α (L1)
(c−λa)x + (d−λb)y = β−λα (L2←L2−λL1).
Montrer que pour tout (x, y)∈R2 :
(x, y) est solution de (S) ⇔ (x, y) est solution de (S′′′).
Exercice 20
Ecrire un algorithme qui affiche l’ensemble solution du syst`eme lin´eaire :´ (S) :
221x + 187y = α
91x + 77y = β
d’inconnue (x, y)∈R2 et de param`etre (α, β)∈R2.
Exercice 21
Ecrire un algorithme qui affiche l’ensemble solution du syst`eme lin´eaire :´ (S) :
2x + 3y = λx
3x + 2y = λy
d’inconnue (x, y)∈R2 et de param`etreλ∈R.
Exercice 22
Ecrire un algorithme qui affiche l’ensemble solution du syst`eme lin´eaire :´ (S) :
2mx + (m+ 1)y = 2
(m+ 2)x + (2m+ 1)y = m+ 1 d’inconnue (x, y)∈R2 et de param`etrem∈R.