L.E.G.T.A. Le Chesnoy TB1−2010-2011
D. Blotti`ere Math´ematiques
Feuille d’exercices n˚2 Somme et produit de racines
Syst` emes lin´ eaires
Exercice 13 : Trouver deux nombres complexes x et y dont on connaˆıt la somme S et le produit P, dans chacun des cas suivants.
a) S =−7 etP = 10 b) S=−7 etP=−10 c) S= 3 etP = 6 d) S=−6 etP=−16 e) S= 1 etP = 7
Exercice 14 : Quelles sont les dimensions d’un terrain rectangulaire dont le p´erim`etre mesure 112 m`etres et l’aire 495 m`etres carr´es ?
F Exercice 15 :R´esoudre les syst`emes suivants d’inconnuesx, y∈R.
(S1) :
x−y= 9
xy= 90 (S2) :
1 x+1
y = 5 xy= 1
6
(S3) :
x2−y2=√ 2 xy= 1
Exercice 16 :R´esoudre les syst`emes suivants (par substitution).
(S1) :
4x + 3y = 3
x + y = 1 (S2) :
−4x + 6y = 1
2x − 3y = 0
(S3) :
x − 1
2y = −1
−2x + y = 2
Exercice 17 :R´esoudre les syst`emes suivants.
(S1) :
x − 4y + z = 2
3y + z = 1
8z = 5
(S2) :
3x + y + z − t = 2
2y − z + t = 1
2z − 5t = 2
2t = −1
(S3) :
x1 + 3x2 − x3 = 0
x2 − x3 = 4 (S4) :
−3x1 + 7x2 + 2x3 − 5x4 = 2
x2 + 7x3 = 1
x4 = 81 3x4 = 241
Exercice 18 :Pour chaque syst`eme ci-dessous, donner un syst`eme ´echelonn´e ´equivalent et d´eterminer, ensuite, son rang et son ensemble solution.
(S1) :
x − y + 2z = 3
2x − y + z = 1
2y + z = 4
(S2) :
x + y + z = 1
y + z + t = 2
x + z + t = 3
x + y + t = 4
(S3) :
x + 2y − 6z = 4
2x − 2y + 3z = 4
x + 8y − 21z = 6
(S4) :
x1 + x2 + x3 + x4 = 1 2x1 − x2 + 2x3 − x4 = 3 x1 − 2x2 + x3 − 2x4 = 2 4x1 − 2x2 + 4x3 − 2x4 = 6
(S5) :
x + 3
2y − z = 1
4x − 3y + z = 4
2x + 12y − 7z = 2
(S6) :
2x − 3y + z − 4t = 7 x + 2y − z + 3t = 2
(S7) :
x − y + z = 1
2x − y − z = 1
−2x + 3y − 5z = −3
x + y − 5z = −1
(S8) :
x1 + x2 + x3 + x4 = 1 x1 − x2 + x3 − x4 = 0 x1 + x2 − x3 + x4 = 2
(S9) :
3x1 + 4x2 + 9x3 = 53 7x1 − 10x2 + 3x3 = −23 2x1 + 9x2 − 5x3 = −18
(S10) :
9x1 + 3x2 + x3 + 9x4 = 34 3x1 + 2x2 − 9x3 + 7x4 = 6
−x1 + x2 − 6x3 + 5x4 = −3 7x1 − 4x2 + 4x3 − 6x4 = 29
Exercice 19 :Dans un pav´e, les trois faces distinctes ont pour p´erim`etres respectifs 40 cm, 46 cm et 48 cm.
Calculer la longueur des arˆetes du pav´e.
Exercice 20 :Est-il possible d’´ecrire sur les faces d’un t´etra`edre des nombres deux `a deux distincts ayant la propri´et´e suivante :la somme des nombres affect´es aux faces ayant un sommet commun est constante?
F Exercice 21 :Discuter en fonction des param`etresa, b, c∈Rdu nombre de solutions de l’´equationax+by=c d’inconnues r´eellesxety.
F Exercice 22 :Soienta,b,c trois nombres r´eels et (S) le syst`eme lin´eaire :
x + y + z = a+b+c ax + by + cz = a2+b2+c2 a2x + b2y + c2z = a3+b3+c3
.
1. Trouver une solution ´evidente du syst`eme (S).
2. D´eterminer le rang et le nombre de solution(s) de (S), dans le cas o`u les r´eelsa, b, cdeux `a deux distincts.
3. D´eterminer le rang et l’ensemble solution de (S), dans le cas o`ua=bet c6=a.
4. R´esoudre le syst`eme (S) lorsquea=b=c.
