ECS 1Dupuy de Lˆome Semaine du 20 janvier 2005
Programme de colles S17
Nb : Le programme de cette semaine porte sur celui de la semaine pr´ec´edentePLUS ce qui suit
Syst` emes d’´ equations lin´ eaires
G´en´eralit´es sur les syst`emes d’´equations lin´eaires
Th´eor`eme.— Un syst`eme (S) den´equations lin´eaires `a pinconnues poss`ede
• ou bien une infinit´e de solutions – on dit que (S) est ind´etermin´e ;
• ou bien aucune solution – on dit que (S) est incompatible;
• ou bien une unique solution – on dit que (S) est deCramer . D´efinition : Deux syst`emes(S1)et(S2)sonts dits´equivalents s’ils ont le mˆeme ensemble de solutions.
Proposition.— On obtient un syst`eme ´equivalent `a (S) lorsqu ’on effectue sur les lignes lesop´erations ´el´ementaires suivantes :
• ´echanger l’ordre des lignes Li et Lj (Li↔Lj),
• multiplier la ligneLi par une constante non nulle λi ∈K? (Li ←λi Li),
• ajouter `a la ligneLi un multiple d’une autre ligne Lj (i6=j) (Li←Li+λjLj).
Syst`emes triangulaires
Th´eor`eme.— Soit (T) un syst`eme triangulaire de n´equations `a ninconnues. Alors (T) poss`ede une unique solution
si et seulement si
tous les coefficients diagonaux de (T) sont non nuls.
Savoir-faire : r´esolution d’un syst`eme triangulaire par remont´ee.
Exercice? : R´esoudre dansR4 le syst`eme triangulaire suivant :
(T)
5x−3y = 6
− y + 2z+ t = 8
− z − t = 1 2t= 4 Syst`emes ´echelonn´es
Th´eor`eme.— Soit (E) un syst`eme ´echelonn´e. Alors (E) est compatible
si et seulement si
chacune desn−r´equations auxiliaires est v´erifi´ee.
Dans ce cas, (E) poss`ede :
• une unique solution, si et seulement sir=p
• une infinit´e de solutions si et seulement sir < p.
(E)
a1,1x1+a1,2x2+· · ·+a1,rxr+· · ·+a1,pxp = b1 e a2,2x2+· · ·+a2,rxr+· · ·+a2,pxp = b2 |r ´eqs
. .. ... ... |pples
ar,rxr+· · ·+ar,pxp = br c 0 =br+1en−r
... ... | ´eqs 0 = bn caux.
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M´ethode d’´elimination de Gauss
Th´eor`eme.— Tout syst`eme d’´equations lin´eaires ayant au moins un coefficient non nul est ´equivalent `a un syst`eme
´
echelonn´e.
Savoir-faire : la m´ethode d’´elimination deGauss Exercice? : Echelonnez le syst`eme :
(S1)
x + 2y −3z= 4 (L1) x + 3y +z = 11 (L2) 2x+ 5y −4z= 13 (L3) 4x+ 11y = 37 (L4) Syst`emes de Cramer
Th´eor`eme.— Cramer via Gauss
Soit (S) un syst`eme den´equations `aninconnues.
(S) est deCramer ssi l’algorithme de r´esolution de Gauss fait apparaˆıtrenpivots non nuls
Th´eor`eme.— Soit (S) un syst`eme den´equations lin´eaires `a ninconnues.Les ASSE : 1. (S) poss`ede une unique solution, c’est-`a-dire (S) est deCramer. 2. (So) poss`ede une unique solution.
3. Pour tout second membreb, le syst`eme (Sb) poss`ede une unique solution.
4. Pour tout second membreb, le syst`eme (Sb) poss`ede au moins une solution.
5. Pour tout second membreb, le syst`eme (Sb) poss`ede au plus une solution.
Exercice? : Soit (a, b, c, d)∈C4. En discutant suivant les valeurs de (a, b, c, d) , r´esoudre les syst`emes
S1
x +y −3z=a
x +3y =b
−x +2y +6z=c
S2
x +2y −z=a
−2x −3y +3z=b x +y −2z=c
S3
ax +by= 0 cx +dy= 0
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