ECS 1Dupuy de Lˆome Semaine du 24 janvier 2005
Feuille d’Exercices : Syst` emes d’´ equations lin´ eaires
Exercice 1: R´esoudre dansR3
2v −w = 1
−2u −4v +3w =−1 u +v −3w =−6 Exercice 2: R´esoudre dansR3
u +w = 1
v +w = 0
u +v = 1
2u +3v = 0
Exercice 3: R´esoudre dansR4
x +y +z +t = 2 2x +y +z +t = 1 x +2y +2z = 2 Exercice 4: R´esoudre dansR5
2x −14y +7z −7t +11u =−1 4x −10y +5z −5t +7u = 1 x +2y −z +t −2u = 1
2x −2y +z −t +u = 1
Exercice 5: Soit (a, b, c)∈R3. R´esoudre dansR3 le syst`eme S(a,b,c)
x +y −3z =a
x +3y =b
−x +2y +6z =c Exercice 6: Soit (a, b, c)∈R3. On consid`ere le syst`eme
S(a,b,c)
x +2y −z =a
−2x −3y +3z =b x +y −2z =c
1. A quelle condition portant sura,b etc le syst`eme (S) admet-il des solutions ? 2. R´esoudre S(a,b,c)
dansR3, lorsque (a, b, c) = (0,0,1) ((a, b, c) = (1,−2,1) (a, b, c) = (1,2,1) Exercice 7: Soit (a, b, c)∈R3 etλ∈R. On consid`ere le syst`eme
S(a,b,c)
x1 +2x2 +λx3 =a x1 +λx2 +(λ−1)x3 =b x1 +(λ+ 1)x2 λ2x3 =c 1. Pour quelles valeurs deλce syst`eme admet-il une unique solution ? 2. En ce cas, r´esoudre S(a,b,c).
Exercice 8: R´esoudre dansR3en discutant suivant la valeur du param`etre r´eelλle syst`eme
(1−λ)x1 +2x2 −x3 = 0
−2x1 −(3 +λ)x2 +3x3 = 0 x1 +x2 −(2 +λ)x3 = 0
Exercice 9: R´esoudre dansR3le syst`eme
ay +bz =c bx +az =c ax +by =c
Exercice 10 : R´esoudre suivant les valeurs des param`etres r´eelsmet ple syst`eme : 9(m−1)x −(m+ 2)y = p
(4m+ 8)x −(m−1)y =m+p
Exercices suppl´ ementaires
Syst`emes d’´equations lin´eaires Exercice 11 : Pour quelles valeurs de kle syst`eme
kx +y = 1 x +ky = 1 admet-il
– aucune solution ? – une solution unique ? – une infinit´e de solutions ?
Exercice 12 : R´esoudre par la m´ethode de Gauss le syst`eme
2x −3y = 8
4x −5y +z = 15
2x +4z = 1
Exercice 13 : R´esoudre dansR4le syst`eme suivant :
x +2y +3z −2t = 6 2x −y −2z −3t = 8 3x +2y −z +2t = 4 2x −3y +2z +t =−8
Exercice 14 : R´esoudre et discuter dansR3, suivant les valeurds du param`etre r´eelmle syst`eme 2mx +(m−1)y +(−m+ 5)z = 0
(m−1)x +2my +(m+ 7)z = 0 Exercice 15 : R´esoudre dansR3,suivant la valeur du param`etre r´eelale syst`eme
2x +y +z = 3
x −y +3z = 8 x +2y +2z =−3 x +y +2z = a Exercice 16 : R´esoudre suivant la valeur du param`etre r´eelt
(2 +t)x +2y −z = 0
2x +(t−1)y +2z = 0
−x +2y +(2 +t)z = 0 Exercice 17 : R´esoudre et discuter suivant les valeurs dem∈Rle syst`eme
mx +2y +3z = 3
(m−1)x +my +z = 1
(m+ 1)x +my +(m−1)z =m−1 Exercice 18 : R´esoudre dansR5 le syst`eme
x −y +2z +3t +u = 13 x +y +2z +7t +3u = 25
−x +4y −5z +12t −4u = 2
2x −4y +5z +t = 13
4x −3y +4z +23t +9u = 84
Exercice 19 : Soit n ∈ N, un entier naturel sup´erieur ou ´egal `a 2, a et b deux r´eels. R´esoudre dans Rn le syst`eme
x2 =ax1+b x3 =ax2+b
... = ... xn =axn−1+b x1 =axn+b
Exercice 20 : R´esoudre en fonction du param`etre r´eelαle syst`eme :
x +αy +α2z +α3t = 1 αx +α2y +α3z +t = 1 α2x +α3y +z +αt = 1 α3x +y +αz +α2t = 1
Exercice 21 : R´esoudre et discuter en fonction des param`etres r´eelsm eta, b, c, dle syst`eme :
x +my +2mz =a
mx +y +mz =b
2mx +2my +z =c
(2m+ 1)x +3my +(2m+ 1)z =d Calcul matriciel
Exercice 22 : On consid`ere la matrice carr´ee d’ordre 3 :A=
1 2 0 2 1 0 0 1 0
.
1. Trouvez toutes les matrices carr´eesB d’ordre 3 telles queA×B= 0.
2. Trouvez toutes les matrices carr´eesC d’ordre 3 telles queA×C=C×A= 0.
Exercice 23 : SoitAla matrice
2 1 1 1 2 1 1 1 2
et B=A−I.
1. CalculezB2puisBn pour tout entiern∈N?. 2. En d´eduireAn pour toutn∈N?.
Exercice 24 : On consid`ere les matrices A=
1 1 1
−1 1 1 2 0 1
; B =
2 1 5
−4 1 1 4 −1 3
; C=
2 −4 3 1 −2 0
−2 2 3
1. A l’aide de la m´ethode de Gauss-Jordan d´emontrez que ces matrices sont inversibles et calculez leurs inverses.
2. D´emontrez que
(a) A3−3A2+ 2A−2I= 0. En d´eduire queAest inversible et calculez son inverse.
(b) B3−6B2−4B−24I= 0. En d´eduire queB est inversible et calculez son inverse.
(c) C3−3C2+ 6C+ 6I= 0. En d´eduire queC est inversible et calculez son inverse.
Exercice 25 : SoitA=
3 1 1 1 3 1 1 1 3
.
1. Montrez qu’il existe deux suites r´eelles (an) et (bn) telles que
∀n∈N, An=anI+bnA
2. Explicitezan et bn en fonction denet en d´eduire l’expression de An.
Exercice 26 : SoitAla maitriceA=
1 −1 −1
−1 1 −1
−1 −1 1
.
1. Montrez queAest inversible et calculez son inverse.
2. Montrez qu’il existe deux suites (an) et (bn) telles que pour tout entiern∈N,
An =
an bn bn
bn an bn
bn bn an
3. Prouvez que les suites (an) et (bn) v´erifient la mˆeme relation de r´ecurrence lin´eaire d’ordre 2 : un+2+αun+1+βun = 0
Calculezαet β. En d´eduire l’expression deAn pour tout entiern∈N. 4. CalculezA−n pour toutn∈N?.
Exercice 27 : SoitAla matrice
5 −2 2 6 −2 3
0 0 1
.
1. Montrez queA3−4A2+ 5A−2I= 0.
2. Montrez queX3−4X2+ 5X−2 = (X−1)2(X−2).
3. En d´eduireAn pour tout entiern∈N.
Exercice 28: Soitula suite d´efinie par la donn´ee de somn premier termeu0=12 et la relation de r´ecurrence :
∀n∈N, un+1= 2un+ 1 un+ 2
1. Montrez que pour tout entier n∈N, un peut s´ecrire sous la forme d’une fraction un = pn
qn o`u pn et qn
sont des entiers naturels v´erifiant
pn+1
qn+1
=A× pn
qn
etAest une matrice carr´e d’ordre 2, ind´ependante de nque l’on d´eterminera.
2. Calculez pour tout entiern∈N,An et en d´eduire l’expression deun en fonction den.
3. La suiteuest-elle conbvergente. Pr´ecisez le cas ´ech´eant sa limite .
Exercice 29 : On consid`ere la suiteu ed´efinie par la donn´ee de son premier termeu0 ∈ Ret la relation de r´ecurrence
∀n∈N, un+1=1 2un+ 1
On se propose d’´etudier cette suite arithm´etico-g´eom´etrique par une m´ethode matricielle.
1. SoitA la matrice
1/2 1 0 1
. Montrez que pour tout entiern∈N
An =
2−n 2−21−n
0 1
2. Montrez que
∀n∈N,
un+1
1
=A un
1
3. En d´eduire l’expression de un en fonction deu0 etn.
Exercice 30 : On consid`ere les matrices
A=
1 −1 0 0
0 2 −2 0
0 0 3 −3
0 0 0 4
et P =
1 −1 1 −1
0 1 −2 3
0 0 1 −3
0 0 0 1
1. Montrez que la matriceP est inversible et caclculez son inverse par la m´ethode de Gauss-Jordan.
2. Soitaun nombre r´eel. D´eterminez sans calcul, les valeurs deapour lesquellesAaIn’est pas inversible.A est-elle inversible ?
3. V´erifiez queP−1×A×P =D est une matrice diagonale. Que remarquez-vous ? 4. Montrez par r´ecurrence que pour tout entiern∈N?
An=P×Dn×P−1 En d´eduire l’expression de la mtraice An en fonction den.
5. Exprimez la matriceA−1 en fonctionP,P−1 etD puis en d´eduire son expression.
