L.E.G.T.A. Le Chesnoy TB1−2011-2012
D. Blotti`ere Math´ematiques
Feuille d’exercices n˚1 Syst` emes lin´ eaires
Exercice 1
1. R´esoudre l’´equation
(E) : 2x−1 = 7 d’inconnue x∈R.
2. Soita∈R. R´esoudre l’´equation
(Ea) : ax+ 13 =−5 d’inconnue x∈R.
Indication : On pourra distinguer plusieurs cas, suivant la valeur du param`etrea.
3. Soient a, b, c∈R. R´esoudre l’´equation
(Ea,b,c) : ax+b=c d’inconnue x∈R.
Indication : On pourra distinguer plusieurs cas, suivant les valeurs des param`etres a,b etc.
Exercice 2 : R´esoudre les syst`emes suivants.
(S1) :
4x + 3y = 8
y = −12 (S2) :
−2x + 6y + z = 3 y + z = 1
(S3) :
6x − 1
2y = −1 1
3y = 2
(S4) :
12x − 2y + 5z = 1
2
3y + 2z = 2
−z = 3
(S5) :
x − y + z − t = 1
y + 2z − 3t = 0
−z + 5t = 1
(S6) :
x + 2y + 3z − 4t = −1
y − z + t = 1
−z + 5t = −2
−17t = 51
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Exercice 3 : R´esoudre les syst`emes suivants, apr`es les avoir ´echelonn´es.
(S1) :
−x + 3y = 5
x − y = 13 (S2) :
2x − 3y = −7
−6x + 9y = 25
(S3) :
1
5x + 6y = 3 1
3x + 10y = 5
(S4) :
−4x − 3y = −123
9x + 6y = 93
Exercice 4 : Pour chaque syst`eme ci-dessous, donner un syst`eme ´echelonn´e ´equivalent et d´eterminer, ensuite, son rang et son ensemble solution.
(S1) :
x − y + 2z = 3
2x − y + z = 1
2y + z = 4
(S2) :
x + y + z = 1
y + z + t = 2
x + z + t = 3
(S3) :
x + 2y − 6z = 2
2x − 2y + 3z = 2
x + 8y − 21z = 3
(S4) :
x1 + x2 + x3 + x4 = 1 2x1 − x2 + 2x3 − x4 = 3 x1 − 2x2 + x3 − 2x4 = 2 4x1 − 2x2 + 4x3 − 2x4 = 6
(S5) :
x + 3
2y − z = 1
4x − 3y + z = 4
2x + 12y − 7z = 2
(S6) :
2x − 3y + z − 4t = 7 x + 2y − z + 3t = 2
(S7) :
x − y + z = 1
2x − y − z = 1
−2x + 3y − 5z = −3
x + y − 5z = −1
(S8) :
x1 + x2 + x3 + x4 = 1 x1 − x2 + x3 − x4 = 0 x1 + x2 − x3 + x4 = 2
(S9) :
3a + 4b + 9c = 53
7a − 10b + 3c = −23
2a + 9b − 5c = −18
(S10) :
9x1 + 3x2 + x3 + 9x4 = 34 3x1 + 2x2 − 9x3 + 7x4 = 6
−x1 + x2 − 6x3 + 5x4 = −3 7x1 − 4x2 + 4x3 − 6x4 = 29
Exercice 5 : D´eterminer un polynˆome
P:R→R, x7→ax2+bx+c tel que :
P(1) = 1 ; P(2) = 3 ; P(3) = 11.
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Exercice 6 : Au cours du trimestre, Marc a eu successivement 8, 12 et 16 aux contrˆoles de math´ematiques. Aux mˆemes contrˆoles, Chlo´e a eu 12, 16 et 8. Le professeur a annonc´e qu’il avait appliqu´e diff´erents coefficients. Il n’a pas pr´ecis´e lesquels, mais a dit que leur somme ´etait ´egale `a 8. Sachant que Marc et Chlo´e ont eu respectivement 14 et 10.5 de moyenne, retrouver les coefficients appliqu´es `a chacun des devoirs.
F Exercice 7 : Trois bouteilles contiennent chacune une certaine quantit´e d’eau.
• Si l’on verse 180 cl d’eau de la bouteille A `a la bouteille B, B a 4 fois plus d’eau que A.
• Si l’on verse 156 cl d’eau de la bouteille B `a la bouteille C, C a 4 fois plus d’eau que B.
• Si l’on verse 102 cl d’eau de la bouteille C `a la bouteille A, A a la mˆeme quantit´e d’eau que C.
Combien d’eau y a-t-il dans chaque bouteille (en centilitres) ? Exercice 8 : Soitm∈R. R´esoudre le syst`eme suivant.
(S) :
mx + y = 1 x + my = 1
Indication : On pourra distinguer plusieurs cas, suivant la valeur du param`etre m.
Exercice 9 : Soitλ∈R. R´esoudre le syst`eme suivant.
(S) :
(1−λ)x + 3y = 0 2x + (2−λ)y = 0 Indication : On pourra distinguer plusieurs cas, suivant la valeur du param`etre λ.
Exercice 10 : Soitλ∈R. R´esoudre le syst`eme suivant.
(S) :
(1−λ)x + y − z = 0
2x + (3−λ)y − 4z = 0
2x − y − λz = 0
Indication : On pourra distinguer plusieurs cas, suivant la valeur du param`etre λ.
F Exercice 11 : Soient a, b, c, d, e, f∈R. 1. Montrer que le syst`eme :
(S) :
ax + cy = e bx + dy = f est de Cramer si et seulement si ad−bc6= 0.
2. Exprimer, dans le cas o`u (S) est de Cramer, l’unique solution du syst`eme (S), en fonction dea, b, c, d, e, f. Indication : Pour chacune des deux questions, on pourra scinder l’´etude en deux parties, suivant que asoit, ou non, nul.
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