Lyc´ee Benjamin Franklin PTSI−2013-2014
D. Blotti`ere Math´ematiques
Feuille d’exercices n˚13 Syst` emes lin´ eaires
Notation :La lettreKd´esigneRouC.
Exercice 105 (´Etude g´en´erale d’un syst`eme lin´eaire de 2 ´equations `a 2 inconnues) Soient (a, b, c, d)∈K4 et (α, β)∈K2 fix´es. On consid`ere le syst`eme lin´eaire
(S) :
ax + by = α cx + dy = β d’inconnue (x, y)∈ K2. On appelle d´eterminant de la matrice A =
a b c d
associ´ee au syst`eme lin´eaire le scalaire det(A) d´efini par :
det(A) =ad−bc.
1. Montrer que det(A) = 0 si et seulement si l’une des lignes deAest proportionnelle `a l’autre.
2. On suppose ici que det(A)6= 0.
(a) Justifier quea6= 0 ouc6= 0.
(b) Montrer que le syst`eme (S) poss`ede une unique solution (x0, y0) et que celle-ci est donn´ee par : x0
y0
= 1
det(A)
d −b
−c a α β
.
On distinguera, au cours de l’´etude, deux cas suivant la non-nullit´e deaou la non-nullit´e dec.
3. On suppose ici que det(A) = 0. Montrer que le syst`eme (S) poss`ede soit une infinit´e de solutions, soit aucune solution.
4. Interpr´eter g´eom´etriquement les r´esultats des questions 2 et 3.
Exercice 106 (R´esolutions de syst`emes lin´eaires de 2 ´equations `a 2 inconnues)
R´esoudre les syst`emes lin´eaires suivants d’inconnue (x, y) ∈ K2 et interpr´eter g´eom´etriquement les r´esultats obtenus.
(S1) :
2x + y = 0
4x − 3y = 0 (S2) :
2x + y = 1
4x − 3y = 2 (S3) :
2x − √
2y = √
6
−√
2x + y = −√
3
Exercice 107 (R´esolution d’un syst`eme lin´eaire de 3 ´equations `a 2 inconnues) R´esoudre le syst`eme lin´eaire
(S) :
3x − 2y = 5
3x + 6y = −3
−3x + 4y = −7 d’inconnue (x, y)∈K2et interpr´eter g´eom´etriquement le r´esultat obtenu.
Exercice 108 (R´esolution d’un syst`eme lin´eaire de 2 ´equations `a 3 inconnues) R´esoudre le syst`eme lin´eaire
(S) :
2x − 3y + 5z = 1
x + y + 7z = 3
d’inconnue (x, y, z)∈K3 et interpr´eter g´eom´etriquement le r´esultat obtenu.
1
Exercice 109 (R´esolution d’un syst`eme lin´eaire de 3 ´equations `a 3 inconnues)
R´esoudre le syst`eme lin´eaire suivant d’inconnue (x, y, z)∈K3et interpr´eter g´eom´etriquement le r´esultat obtenu.
(S) :
2x + 3y + z = 1
4x + 5y + z = 0
2x + 4y + z = −1
Exercice 110 (R´esolutions de syst`emes lin´eaires de 3 ´equations `a 3 inconnues, avec param`etre) 1. Soitmun r´eel fix´e. R´esoudre le syst`eme lin´eaire
(S) :
x + 2y − 2z = 1
2x − y = 0
x − 3y + 2z = m
d’inconnue (x, y, z)∈K3. On distinguera plusieurs cas suivant la valeur du param`etrem.
2. Soitλun r´eel fix´e. R´esoudre le syst`eme lin´eaire
(Sλ) :
y + z = λx
x + z = λy
x + y = λz
d’inconnue (x, y, z)∈K3. On distinguera plusieurs cas suivant la valeur du param`etreλ.
Exercice 111 (R´esolution d’un syst`eme lin´eaire de 4 ´equations `a 4 inconnues) R´esoudre le syst`eme lin´eaire suivant d’inconnue (x, y, z, t)∈K4.
(S) :
4x + 2y − 3z + 2t = 3
7x + 3y − 8z + 3t = 7
2y + 11z + 2t = −7
x + y + 2z + t = −1
Exercice 112 (Primitives d’une fraction rationnelle) 1. D´eterminer (a, b, c)∈R3 tel que :
X3+ 3X2−4 = (X−1)(aX2+bX+c).
2. En d´eduire une factorisation deX3+ 3X2−4 en produit de polynˆomes de degr´e 1.
3. D´eterminer (α, β, γ)∈R3 tel que : 1
x3+ 3x2−4 = α
x−1 + β
x+ 2 + γ (x+ 2)2 pour toutx∈R\ {−2,1}.
4. D´eterminer toutes les primitives de la fonction
x7→ 1
x3+ 3x2−4 sur tout intervalle r´eelI o`u elle est bien d´efinie.
Exercice 113 (Primitives d’une fonction du type ≪polynˆome fois exponentielle≫)
1. D´emontrer qu’il existe (a, b, c)∈ R3 tel que la fonction x7→ (ax2+bx+c)ex est une primitive de la fonctionx7→x2ex surR.
2. Soitn∈N∗. Justifier qu’une primitive de la fonctionx7→xnexsurRest de la forme x7→Pn(x)ex
o`uP est un polynˆome de degr´en`a coefficients r´eels.
3. Proposer deux m´ethodes pour d´eterminer une primitive de la fonctionx7→x3exsurR(cf. exercice 100 de la feuille de TD n˚11≪Calculs de primitives≫).
2
