FEUILLE DE CALCUL RAPIDE 7 janvier 2019
1. (Ecourbpar27.tex) On se donne une courbe param´etr´ee en polaire par
f(θ) =O+r(θ)−→eθ avec−→eθ= cosθ−→
i + sinθ−→ j
Pr´eciser la transformation g´eom´etriqueT telle que (θ0=−θ
r(θ0) =−r(θ) ⇒f(θ0) =T(f(θ))
2. (Ecourbpar1.tex) Pour une ellipse, donner une formule re- liant la distance focale (centre-foyers)c, le demi grand- axe (distance centre-sommets)a et le demi petit-axe b.
3. (Ecourbpar5.tex) Pour une hyperbole, donner une formule reliant la distance focale (centre-foyers)c, le demi grand- axe (distance centre-sommets)aet la distancedentre le centre et la directrice.
4. (Ecourbpar13.tex) SoitC la conique d’´equation (x+y)2
4 −(x−y)2
2 =−1
dans un rep`ere orthonorm´e. Pr´eciser les ´equations des asymptotes.
5. (Ecourbpar4.tex) Pour une hyperbole, donner une formule reliant la distance focale (centre-foyers)c, le demi grand- axeaet l’excentricit´ee.
6. (Ecourbpar6.tex) Pour une ellipse, donner une formule reliant la distance focale (centre-foyer)c, le demi grand-axe (dis- tance centre-sommets)aet la distance dentre le centre et la directrice.
7. (Ecourbpar14.tex) Pour une hyperbole, d’´equation r´eduite x2
a2 −y2 b2 = 1
dans un rep`ere orthonorm´e, exprimer la distance focale (centre-foyers)c en fonction deaet b.
8. (Ecourbpar12.tex) SoitC la conique d’´equation (x+y)2
4 −(x−y)2
2 =−1
dans un rep`ere orthonorm´e. Pr´eciser les coordonn´ees des sommets.
9. (Ecourbpar22.tex) Soita et b des r´eels non nuls fix´es. Don- ner une ´equation cart´esienne du support de la courbe param´etr´ee en polaire par :
r(θ) = 1
acosθ+bsinθ
En d´eduire la nature g´eom´etrique de ce support.
10. (Ecourbpar08.tex) SoitC la conique d’´equation (x+y)2
4 −(x−y)2
2 = 1
dans un rep`ere orthonorm´e. Pr´eciser une ´equation de son axe focal.
11. (Ecourbpar25.tex) On consid`ere une courbe d´efinie en polaire par :
r(θ) = 1 + sin(θ−π3) 1 + cos2(θ−π3)
Le point associ´e `a la valeur π3 du param`etre est-il sta- tionnaire ?
12. (Ecourbpar17.tex) Soit u un nombre complexe, pr´eciser la nature et les caract´eristiques g´eom´etriques de l’ensemble des points dont les affixes complexesz v´erifient
[z|2+ 2 Re(zu) = 0
13. (Ecourbpar10.tex) SoitC la conique d’´equation (x+y)2
4 −(x−y)2
2 = 1
dans un rep`ere orthonorm´e. Pr´eciser les coordonn´ees des sommets.
14. (Ecourbpar30.tex) On se donne une courbe param´etr´ee en polaire par
f(θ) =O+r(θ)−→eθ avec−→eθ= cosθ−→
i + sinθ−→ j
Pr´eciser la transformation g´eom´etrique T telle que ( θ0=θ+α
r(θ0) =−r(θ) ⇒f(θ0) =T(f(θ))
15. (Ecourbpar09.tex) SoitC la conique d’´equation (x+y)2
4 −(x−y)2
2 =−1
dans un rep`ere orthonorm´e. Pr´eciser une ´equation de l’axe focal.
16. (Ecourbpar3.tex) Pour une ellipse, donner une formule reliant la distance focale (centre-foyers)c, le demi grand-axea et l’excentricit´ee.
17. (Ecourbpar20.tex) SoitCl’ensemble des points dont les coor- donn´ees polairesρetθ (ρ >0) v´erifient
ρ= 2
1 + 2 cosθ
C est une conique, donner l’´equation de la directrice et l’excentricit´e.
1 AECourbpar
FEUILLE DE CALCUL RAPIDE 7 janvier 2019
18. (Ecourbpar24.tex) Quelle est la d´efinition d’un sommet pour une conique `a centre ?
19. (Ecourbpar23.tex) Soita et b des r´eels non nuls fix´es. Don- ner une ´equation cart´esienne du support de la courbe param´etr´ee en polaire par :
r(θ) =acosθ+bsinθ
En d´eduire la nature g´eom´etrique de ce support.
20. (Ecourbpar31.tex) On se donne une courbe param´etr´ee en polaire par
f(θ) =O+r(θ)−→eθ avec−→eθ= cosθ−→
i + sinθ−→ j
Pr´eciser la transformation g´eom´etriqueT telle que ( θ0 =θ+π
r(θ0) =r(θ)⇒f(θ0) =T(f(θ))
21. (Ecourbpar07.tex) Pour une ellipse, donner une formule re- liant la distance focale (centre-foyer)c, l’excentricit´eeet la distancedentre le centre et la directrice.
22. (Ecourbpar2.tex) On d´efinit une courbe param´etr´eef(t) par la formule
−−−→Of(t) = (1 + cost)−→et
Donner une expression factoris´ee simple de la vitesse.
23. (Ecourbpar26.tex) On consid`ere une courbe d´efinie en polaire par :
r(θ) = 1 + sin2(θ−π3) 1 + cos2(θ−π3)
Le point associ´e `a la valeur π3 du param`etre est-il sta- tionnaire ?
24. (Ecourbpar18.tex) Nature et caract´eristiques g´eom´etriques de l’ensemble des points dont les coordonn´ees polairesρet θ(ρ >0) v´erifient
ρ=−6 cosθ+ 8 sinθ
25. (Ecourbpar19.tex) SoitCl’ensemble des points dont les coor- donn´ees polairesρet θ(ρ >0) v´erifient
ρ= 2
1 + 2 cosθ Nature deC?
26. (Ecourbpar21.tex) SoitCl’ensemble des points dont les coor- donn´ees polairesρetθ (ρ >0) v´erifient
ρ= 2
1 + 2 cosθ
C est une conique, calculer les coordonn´ees du centre.
27. (Ecourbpar29.tex) On se donne une courbe param´etr´ee en polaire par
f(θ) =O+r(θ)−→eθ avec−→eθ= cosθ−→
i + sinθ−→ j
Pr´eciser la transformation g´eom´etrique T telle que (θ0=θ+α
r(θ0) =r(θ) ⇒f(θ0) =T(f(θ))
28. (Ecourbpar28.tex) On se donne une courbe param´etr´ee en polaire par
f(θ) =O+r(θ)−→eθ avec−→eθ= cosθ−→
i + sinθ−→ j
Pr´eciser la transformation g´eom´etrique T telle que (θ0=−θ
r(θ0) =r(θ) ⇒f(θ0) =T(f(θ))
29. (Ecourbpar16.tex) Nature et caract´eristiques g´eom´etriques de l’ensemble des points dont les coordonn´ees polairesρet θ(ρ >0) v´erifient
ρ= −1
cosθ+ sinθ
30. (Ecourbpar11.tex) SoitC la conique d’´equation (x+y)2
4 −(x−y)2
2 = 1
dans un rep`ere orthonorm´e. Pr´eciser les ´equations des asymptotes.
31. (Ecourbpar15.tex) Pour une hyperbole, donner une formule reliant la distance focale (centre-foyer)c, l’excentricit´ee et la distancedentre le centre et la directrice.
32. (Ecourbpar32.tex) On se donne une courbe param´etr´ee en polaire par
f(θ) =O+r(θ)−→eθ avec−→eθ= cosθ−→
i + sinθ−→ j
Pr´eciser la transformation g´eom´etrique T telle que ( θ0=θ+π
r(θ0) =−r(θ) ⇒f(θ0) =T(f(θ))
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