EXERCICE 4
1) Soit θ un réel. L’expression complexe de la rotation de centre O et d’angle θ est z
′= e
iθz. Donc z
B = e
2iπ/3× z
A= e
2iπ/3× e
iπ/3= e
iπ= cos(π) + i sin(π) = −1,
et
z
C= e
2iπ/3× z
B= e
2iπ/3× e
iπ= e
5iπ/3 = e
−iπ/3= 1 2 − i
√ 3 2 .
z
B= e
iπ= −1 et z
C= e
−iπ/3= 1 2 − i
√ 3 2 .
2) a) On sait que pour tout réel θ, e
iθ
= 1. Donc |z
A| = |z
B| = |z
C| = 1 ou encore OA = OB = OC = 1. Donc A, B et C sont sur le cercle ( C ) ou encore
( C ) est le cercle circonscrit au triangle ABC.
1 2 3 4
−1
−2
−3
−4
−5
−6
−7
−8
1 2
−1
−2
b
b
b
A B
C
b
b
b
P
Q R
O
b) Puisque B = r
O,2π/3(A) et C = r
O,2π/3(B), les trois triangles OAB, OBC et OCA sont isocèles en O, d’angle au sommet 2π
3 . Donc les 6 angles BAO, [ ABO, [ CAO, [ ACO, [ BCO [ et CBO [ sont tous égaux à π
6 . Mais alors, les trois angles BAC, [ ABC [ et ACB [ sont égaux à π
3 et par suite
le triangle ABC est équilatéral.
3) a) Voir figure ci-dessus.
b) L’image d’un triangle équilatéral par une homothétie est un triangle équilatéral et donc le triangle PQR est équilatéral.
4) a) Soit k ∈ R . L’écriture complexe de l’homothétie de centre O et de rapport k est z
′= kz. Ici, k = −2 et donc l’écriture complexe de h est z
′ = −2z.
b) Le triangle ABC est équilatéral de centre O. En particulier, O est le centre de gravité du triangle ABC. On en déduit que z
A+ z
B+ z
C
3 = 0 et donc que
z
A+ z
B+ z
C= 0.
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c Jean-Louis Rouget, 2009. Tous droits réservés.
Maintenant, d’après la question a), on a z
Q = −2z
B et z
R= −2z
C. Par suite, z
Q+ z
R
2 = −2z
B− 2z
C
2 = −z
B− z
C= z
A, et donc
A est le milieu du segment [QR].
c) Par suite, le droite (AP) est la médiane issue de P du triangle équilatéral PQR. On en déduit que la droite (AP) est aussi la médiatrice du segment [QR] et en particulier que la droite (AP) est perpendiculaire à la droite (QR). Maintenant, puisque P = h(A), les points P, O et A sont alignés et donc la droite (AP) est encore la droite (OA).
En résumé, le rayon [OA] est perpendiculaire en A à la droite (QR) et on sait alors que la droite (QR) est tangente au cercle ( C ) en A.
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