EXERCICE 4 (5 points )
(Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité)
Le plan complexe est rapporté est rapporté à un repère orthonormal (O, → − u , − →
v ).
Soit ( C ) le cercle de centre O et de rayon 1.
On considère le point A de ( C ) d’affixe z
A= e
iπ3.
1) Déterminer l’affixe z
Bdu point B image de A par la rotation de centre O et d’angle 2π 3 . Déterminer l’affixe z
Cdu point C image de B par la rotation de centre O et d’angle 2 π
3 .
2. a) Justifier que ( C ) est le cercle circonscrit au triangle ABC. Construire les points A, B et C sur la feuille de papier millimétré.
b) Quelle est la nature du triangle ABC ? Justifier.
3) Soit h l’homothétie de centre O et de rapport − 2.
a) Compléter la figure en plaçant les points P , Q et R images respectives des points A, B et C par h.
b) Quelle est la nature du triangle P QR ? Justifier.
4) Dans cette question, le candidat est invité à porter sur sa copie les étapes de sa démarche même si elle n’aboutit pas.
a) Donner l’écriture complexe de h.
b) Calculer z
A+ z
B+ z
C.
En déduire que A est le milieu du segment [ QR ].
c) Que peut-on dire de la droite ( QR ) par rapport au cercle ( C ) ?
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EXERCICE 4
1) Soitθun réel. L’expression complexe de la rotation de centreOet d’angleθestz′=eiθz. Donc zB =e2iπ/3×zA=e2iπ/3×eiπ/3=eiπ=cos(π) +isin(π) = −1,
et
zC=e2iπ/3×zB=e2iπ/3×eiπ=e5iπ/3 =e−iπ/3= 1 2−i
√3 2 .
zB=eiπ= −1 etzC=e−iπ/3= 1 2 −i
√3 2 .
2) a)On sait que pour tout réelθ, eiθ
=1. Donc|zA|=|zB|=|zC|=1 ou encoreOA=OB=OC=1. DoncA,Bet Csont sur le cercle(C)ou encore
(C)est le cercle circonscrit au triangleABC.
1 2 3 4
−1
−2
−3
−4
−5
−6
−7
−8
1 2
−1
−2
b
b
b
A B
C
b
b b
P
Q R
O
b) Puisque B = rO,2π/3(A) et C = rO,2π/3(B), les trois triangles OAB, OBC et OCA sont isocèles en O, d’angle au sommet 2π
3 . Donc les6 anglesBAO,[ ABO,[ CAO,[ ACO,[ BCO[ et CBO[ sont tous égaux à π
6. Mais alors, les trois angles BAC,[ ABC[ etACB[ sont égaux à π
3 et par suite
le triangleABCest équilatéral.
3) a)Voir figure ci-dessus.
b)L’image d’un triangle équilatéral par une homothétie est un triangle équilatéral et donc le trianglePQRest équilatéral.
4) a)Soitk∈R. L’écriture complexe de l’homothétie de centreOet de rapportk estz′=kz. Ici,k= −2et donc l’écriture complexe dehest z′ = −2z.
b)Le triangleABCest équilatéral de centreO. En particulier,Oest le centre de gravité du triangleABC. On en déduit que zA+zB+zC
3 =0 et donc que
zA+zB+zC=0.
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Maintenant, d’après la question a), on azQ = −2zB etzR= −2zC. Par suite, zQ+zR
2 = −2zB−2zC
2 = −zB−zC=zA, et donc
Aest le milieu du segment[QR].
c) Par suite, le droite(AP)est la médiane issue de P du triangle équilatéralPQR. On en déduit que la droite(AP) est aussi la médiatrice du segment[QR]et en particulier que la droite(AP)est perpendiculaire à la droite(QR). Maintenant, puisqueP=h(A), les pointsP,OetAsont alignés et donc la droite(AP)est encore la droite(OA).
En résumé, le rayon[OA]est perpendiculaire enAà la droite(QR)et on sait alors que la droite(QR)est tangente au cercle(C)enA.
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![Avec la règle et l’équerre : La médiatrice d’un segment [AB] est la droite (d) perpendiculaire à ce segment et passant par son milieu](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///wAAACH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==)