EXERCICE 4 (5 points )
(Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité)
On se place dans le plan complexe muni d’un repère orthonormal direct(O;→−u ,−→v ).
1. Un triangle
a)On considère les pointsA,BetCd’affixes respectivesa= 2,b= 3 +i√
3etc= 2i√ 3.
Déterminer une mesure de l’angleABC!.
b)En déduire que l’affixeωdu centreΩdu cercle circonscrit au triangleABC est1 +i√ 3.
2. Une transformation du plan
On note(zn)la suite de nombres complexes, de terme initialz0 = 0, et telle que : zn+1 = 1 +i√
3
2 zn+ 2, pour tout entier natureln.
Pour tout entier natureln, on noteAnle point d’affixezn.
a)Montrer que les pointsA2,A3etA4 ont pour affixes respectives : 3 +i√
3, 2 + 2i√
3 et 2i√ 3.
On remarquera que :A1 =A,A2 =B etA4 =C.
b)Comparer les longueurs des segments[A1A2] [A2A3]et[A3A4].
c)Établir que pour tout entier natureln, on a : zn+1−ω = 1 +i√
3
2 (zn−ω).
oùωdésigne le nombre complexe défini à la question1.b).
d)En déduire que le pointAn+1 est l’image du pointAnpar une transformation dont on précisera les éléments caractéristiques.
e)Justifier que, pour tout entier natureln, on a :An+6 =An. Déterminer l’affixe du pointA2012. 3. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non
fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.
Déterminer, pour tout entier natureln, la longueur du segment[AnAn+1].
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