D1849. Virage à angle droit MB
Soit un triangle ABC. Une parallèle (Δ) à la droite BC coupe la droite [AB] en un point D et la droite [AC] en un point E. Par un point P quelconque du plan, on trace les droites [PB] et [PC] qui coupent la droite (Δ) respectivement aux points F et G.
Démontrer que la droite [AP] fait un angle droit avec la droite joignant les centres des cercles circonscrits aux triangles PDG et PEF.
L'homothétie de centre A de rapport AB/AD applique D sur B et E sur C.
L'homothétie de centre P de rapport PF/PB applique B sur F et C sur G.
Si le produit des rapports n'est pas égal à un, la composée de ces deux homothéties est une homothétie qui applique D sur F et E sur G. Le centre H de cette 3ème homothétie est l'intersection des droites AP et DF.
Et son rapport est HF/HD = HG/HE, donc HF.HE = HD.HG .
Le point H a même puissance par rapport aux deux cercles PDG et PEF. Leur axe radical est donc la droite PAH. La droite des centres est perpendiculaire à la droite AP.
Si le produit des rapports est égal à un, AP//BC, la composée de ces deux homothéties, qui applique D sur F et E sur G, est une translation, (DF⃗ )= ⃗(EG) , les médiatrices de FE et DG sont confondues, la droite des centres est perpendiculaire à la droite BC donc à la droite AP.
