Diophante D1849 Virage à angle droit
Soit un triangle ABC. Une parallèle (Δ) à la droite BC coupe la droite [AB] en un point D et la droite [AC] en un point E. Par un point P quelconque du plan, on trace les droites [PB] et [PC] qui coupent la droite (Δ) respectivement aux points F et G.
Démontrer que la droite [AP] fait un angle droit avec la droite joignant les centres des cercles circonscrits aux triangles PDG et PEF.
Soit M le point d’intersection des droites (AP) et (FG).
Appliquons le théorème de Ménélaüs à la sécante (AC) du du triangle PMG : AM/AP x EG/EM x CP/CG = 1.
De même à la sécante (AB) du triangle PMF : AM/AP x DF/DM x BP/BF = 1.
Appliquons le théorème de Thales aux droites parallèles (FG) et (BC) : CP/CG = BP/BF.
La combinaison des trois relations donne EG/EM = DF/DM ou EG x DM = EM x DF.
En ajoutant ME x MD de part et d’autre, on obtient MD x MG = ME x MF.
Les puissances de M par rapport aux cercles circonscrits aux triangles PDG et PEF sont égales, donc M appartient à leur axe radical, qui est ainsi la droite (AP).
Elle fait un angle droit avec la droite joignant les centres des cercles.
Jean-Louis Legrand