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Diophante D1849 Virage à angle droit

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Academic year: 2022

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Diophante D1849 Virage à angle droit

Soit un triangle ABC. Une parallèle (Δ) à la droite BC coupe la droite [AB] en un point D et la droite [AC] en un point E. Par un point P quelconque du plan, on trace les droites [PB] et [PC] qui coupent la droite (Δ) respectivement aux points F et G.

Démontrer que la droite [AP] fait un angle droit avec la droite joignant les centres des cercles circonscrits aux triangles PDG et PEF.

Soit M le point d’intersection des droites (AP) et (FG).

Appliquons le théorème de Ménélaüs à la sécante (AC) du du triangle PMG : AM/AP x EG/EM x CP/CG = 1.

De même à la sécante (AB) du triangle PMF : AM/AP x DF/DM x BP/BF = 1.

Appliquons le théorème de Thales aux droites parallèles (FG) et (BC) : CP/CG = BP/BF.

La combinaison des trois relations donne EG/EM = DF/DM ou EG x DM = EM x DF.

En ajoutant ME x MD de part et d’autre, on obtient MD x MG = ME x MF.

Les puissances de M par rapport aux cercles circonscrits aux triangles PDG et PEF sont égales, donc M appartient à leur axe radical, qui est ainsi la droite (AP).

Elle fait un angle droit avec la droite joignant les centres des cercles.

Jean-Louis Legrand

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