Enoncé D1849 (Diophante) Virage à angle droit Soit un triangle

Enoncé D1849 (Diophante) Virage à angle droit

Soit un triangleABC. Une parallèle (∆) à la droiteBC coupe la droite [AB] en un point D et la droite [AC] en un point E. Par un pointP quelconque du plan, on trace les droites [P B] et [P C] qui coupent la droite (∆) respectivement aux pointsF etG.

Démontrer que la droite [AP] fait un angle droit avec la droite joignant les centres des cercles circonscrits aux trianglesP DG et P EF.

Solution de Jean Moreau de Saint-Martin Premier cas :AP parallèle àBC

Alors DE/BC = AD/AB = P F/P B = F G/BC, et l’égalité DE = F G, ces segments étant de même sens, entraîne que les cordesDGetEFont même milieu et même médiatrice, qui contient les centres des cercles circonscrits aux trianglesP DG etP EF. Second cas :AP, non parallèle àBC, coupe (∆) enS etBC en T Les triangles homothétiques de sommets A ou P et de bases sur BC ou sur (∆) donnent :

SD/T B =AD/AB=SE/T C,SF/T B=P F/P B =SG/T C, d’oùSD.SG/(T B.T C) =SE.SF/(T B.T C),

et le pointSa même puissance par rapport aux cercles circonscrits aux triangles P DGetP EF.

S appartient donc à leur axe radical, de même que P (puissance 0). L’axe radical, perpendiculaire à la droite joignant les centres, est la droiteAP.