(*) P P1 et P2 la puissace de A par rapport à (C), (C

D1849. Virage à angle droit ***

Soit un triangle ABC. Une parallèle (Δ) à la droite BC coupe la droite [AB] en un point D et la droite [AC] en un point E. Par un point P quelconque du plan, on trace les droites [PB] et [PC] qui coupent la droite (Δ) respectivement aux points F et G.

Démontrer que la droite [AP] fait un angle droit avec la droite joignant les centres des cercles circonscrits aux triangles PDG et PEF.

PROPOSITION Th Eveilleau

Il faut prouver que A est sur l’axe radical des deux cercles. Alors on aura (O1O2) orthogonal à cet axe radical.

Soit le cercle (C1) circonscrit au triangle (PFG) Soit le cercle (C2) circonscrit au triangle (PDG) Soit le cercle (C) circonscrit au triangle (PBC)

Soit R le point d’intersection autre que P des cercles (C) et (C2).

Soit K le point d’intersection autre que P des cercles (C) et (C1).

Soient

P

^,

P1

^et

P2

la puissace de A par rapport à (C), (C1) et (C2.

(*)

On va démontrer ci-après que R (AB) et que K (AC)

Comme ((BC) // (DE) nous avons ⁼

= k  AB = k*AD et AC = k*AE

P

= AR * AB = AK * AC

P1

= AK * AE = AK *

P2

= AR * AD = AR *

Nous avons donc

k *

P1

= AK * AC et

P2

= AR * AB Il s’ensuit

P1

⁼

P2

Cela signifie que A est situé sur l’axe radical des deux cercles (C1) et (C2).

Cet axe radical est la droite qui joint les points d’intersection P et M de ces deux cercles.

Nous avons donc pour axe radical des deux cercles l adroite (AP).

Or on sait que la droite joignant les centres de deux cercles est orthogonale à leur axe radical.

Donc (O1O2)

(AP). C.Q.F.D On a d’ailleurs (O1O2) médiatrice de [MP]

___________________________________________________________

Démonstration de

(*)

Soit R l’intersection de (BD) et du cercle (C2) circonscrit à (PDG).

On va démontrer que R appartient au cercle (C) circonscrit au triangle (PBC)

Comme angles inscrits dans (C2) nous avons :

=

Par ailleurs (BC) // (DG)  = . DONC

= ou =

 Les deux angles et interceptent le même arc (BP),

avec B, P et G sur (C2)  ce sont des angles inscrits dans (C2).

 R

(C2).

 R = (AB)

(

C2), appartient à (C)

On vient de démontrer que l’intersection R des deux cercles (C) et (C2), est bien sur la droite (AB).

On démontrerait de la même façon que l’intersection K des deux cercles (C) et (C1) est bien sur la droite (AC).

C.Q.F.D