D1700. Un classique de FvL
Un triangle est divisé par ses trois médianes en six triangles plus petits.
Démontrer que les centres des cercles circonscrits à ces triangles sont cocycliques.
Source : Floor van Lamoen, Goes, Pays-Bas.
Solution
Proposée par Fabien GIGANTE
Quelques formules
On assimilera les points à leurs affixes dans le plan complexe.
Le centre du cercle circonscrit à un triangle de sommets 𝑎, 𝑏, 𝑐 est donné par :
𝜔(𝑎, 𝑏, 𝑐) ≔ −𝑏𝑐(𝑐̅ − 𝑏̅) + 𝑐𝑎(𝑎̅ − 𝑐̅) + 𝑎𝑏(𝑏̅ − 𝑎) 𝑎(𝑐̅ − 𝑏̅) + 𝑏(𝑎̅ − 𝑐̅) + 𝑐(𝑏̅ − 𝑎̅)
Quatre points 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 sont cocycliques ou alignés si et seulement si leur birapport est réel : 𝜌(𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑) ≔(𝑑 − 𝑎)(𝑏 − 𝑐)
(𝑏 − 𝑎)(𝑑 − 𝑐) ∈ ℝ
Démonstration
Notons 𝑎, 𝑏, 𝑐 les sommets du grand triangle.
Considérons le petit triangle qui joint le sommet 𝑎, le milieu de (𝑎, 𝑏) et le centre de gravité de (𝑎, 𝑏, 𝑐).
Le centre de son cercle circonscrit est donné par :
𝑜𝑎𝑏𝑐 ≔ 𝑜(𝑎, 𝑏, 𝑐) ≔ 𝜔 (𝑎,𝑎 + 𝑏
2 ,𝑎 + 𝑏 + 𝑐
3 )
On définit de même les centres des autres petits triangles :
𝑜𝑎𝑐𝑏≔ 𝑜(𝑎, 𝑐, 𝑏) ; 𝑜𝑏𝑐𝑎≔ 𝑜(𝑏, 𝑐, 𝑎) ; 𝑜𝑐𝑎𝑏 ≔ 𝑜(𝑐, 𝑎, 𝑏) ; 𝑜𝑏𝑎𝑐≔ 𝑜(𝑏, 𝑎, 𝑐) ; 𝑜𝑐𝑏𝑎≔ 𝑜(𝑐, 𝑏, 𝑎) On pose le birapport :
𝑟(𝑎, 𝑏, 𝑐) ≔ 𝜌(𝑜𝑎𝑏𝑐, 𝑜𝑎𝑐𝑏, 𝑜𝑏𝑐𝑎, 𝑜𝑐𝑎𝑏) Tous calculs faits, on obtient :
𝑟(𝑎, 𝑏, 𝑐) = (𝑎 + 𝑏 − 2𝑐)(𝑎̅ + 𝑏̅ − 2𝑐̅)
𝑎𝑏̅ + 𝑏𝑎̅ + 𝑎𝑐̅ + 𝑐𝑎̅ + 𝑏𝑏̅ + 𝑐𝑐̅ − 2𝑎𝑎̅ − 2𝑏𝑐̅ − 2𝑐𝑏̅
On observe que les facteurs au numérateur sont conjugués l’un de l’autre et que le dénominateur est son propre conjugué. De sorte que 𝑟(𝑎, 𝑏, 𝑐) est réel.
Les points 𝑜𝑎𝑏𝑐, 𝑜𝑎𝑐𝑏, 𝑜𝑏𝑐𝑎, 𝑜𝑐𝑎𝑏 sont donc cocycliques ou alignés.
Par permutation circulaire de 𝑎, 𝑏, 𝑐 , on obtient, sans refaire les calculs, que 𝑟(𝑏, 𝑐, 𝑎) est réel, c'est-à-dire que 𝑜𝑏𝑐𝑎, 𝑜𝑏𝑎𝑐, 𝑜𝑐𝑎𝑏, 𝑜𝑎𝑏𝑐 sont cocycliques ou alignés, puis que 𝑟(𝑐, 𝑎, 𝑏)est réel, c'est-à-dire que
𝑜𝑐𝑎𝑏, 𝑜𝑐𝑏𝑎, 𝑜𝑎𝑏𝑐, 𝑜𝑏𝑐𝑎 sont cocycliques ou alignés.
Les points 𝑜𝑎𝑏𝑐, 𝑜𝑎𝑐𝑏, 𝑜𝑏𝑐𝑎, 𝑜𝑐𝑎𝑏, 𝑜𝑏𝑎𝑐, 𝑜𝑐𝑏𝑎 sont donc tous cocycliques (ou alignés si le triangle est aplati).
Ce qu’il fallait démontrer.
