D1700. Un Classique de FvL Solution de Kee-Wai Lau
Considérons le triangle 𝐴𝐵𝐶 avec les médianes 𝐴𝐷, 𝐵𝐸, 𝐶𝐹 et centre de
gravité 𝑂. Sans perte de généralité, supposons que 𝐴𝐷 = 6, de sorte que 𝑂𝐴 = 4
et 𝑂𝐷 = 2. Soit 𝑂 = (0,0), 𝐴 = (0,4), 𝐷 = (0, −2) et 𝐵 = (2𝑠, 2𝑡), où 𝑠 ≠ 0.
Donc 𝐶 = (−2𝑠, −2(𝑡 + 2)), 𝐸 = (−𝑠, −𝑡) et 𝐹 = (𝑠, 𝑡 + 2). Par des formules
standard, on trouve que les centres circonscrits des triangles 𝑂𝐴𝐹, 𝑂𝐴𝐸, 𝑂𝐶𝐸, 𝑂𝐶𝐷,
𝑂𝐵𝐷 et 𝑂𝐵𝐹 sont respectivement (𝑠2+𝑡2−4
2𝑠 , 2) , (−(𝑠2+𝑡2+4𝑡)
2𝑠 , 2),
(𝑡3+6𝑡2+𝑠2𝑡−2𝑠2+8𝑡
4𝑠 ,−(𝑠2+𝑡2+8𝑡+8)
4 ) , (−(𝑠2+𝑡2+3𝑡+2)
𝑠 , −1) , (𝑠2+𝑡2+𝑡
𝑠 , −1) et
(𝑡3+𝑠2𝑡+4𝑠2−4𝑡
4𝑠 ,−(𝑠2+𝑡2−4𝑡−4)
4 ). On peut maintenant vérifier que tous ces centres se trouvent sur le cercle
𝑥2 + 𝑦2+2(𝑡 + 1)
𝑠 𝑥 + 𝑠4+ 2𝑠2𝑡2+ 𝑡4+ 4𝑠2𝑡 + 4𝑡3+ 8𝑡2 + 8𝑡
4𝑠2 𝑦
− 3(𝑠4+ 2𝑠2𝑡2+ 𝑡4+ 4𝑠2𝑡 + 4𝑡3+ 4𝑠2 + 4𝑡2)
4𝑠2 = 0.
En d’autres termes, ils sont concycliques.
