Diophante D1700 Un classique de FvL
Un triangle est divisé par ses trois médianes en six triangles plus petits.
Démontrer que les centres des cercles circonscrits à ces triangles sont cocycliques.
Source : Floor van Lamoen,Goes,Pays-Bas.
Réponse:
I, J et K sont respectivement les milieux des côtés [A,B], [B,C] et [C,A].
G est le centre de gravité.
O1, O2, O3, O4, O5 et O6 sont respectivement les centres des cercles circonscrits aux triangles AIG, IBG, BJG, JCG, CKG et KAG.
[O1,O2] est perpendiculaire à [M,G] en son milieu.
[O4,O5] est perpendiculaire à [G,C] en son milieu, et parallèle à [O1,O2] car I, G et C sont alignés.
Et ainsi de suite.
Soit P l'intersection de (AJ) avec la droite (CP) parallèle à (KB).
Afin d'aboutir au résultat demandé, il suffit de montrer que, par exemple,
O6, O1, O2 et O3 sont cocycliques, car le raisonnement est invariant par rotation.
L'aire du parallélogramme MO3NO6 est AJ MO6 / 2, car [O6,O1] est perpendiculaire à [A,G] en son milieu et [O3,O4] est perpendiculaire à [G,P] en son milieu,
De même, l'aire du parallélogramme MO3NO6 est BK MO3 / 2, donc MO6 / MO3 = BK / AJ.
Dans le triangle MO2O1 se retrouvent les trois angles en G situés à gauche de (AJ).
En effet, les perpendicularités donnent l'angle O1O2M égal à l'angle IGB et l'angle MO1O2
égal à l'angle AGM puis, par différence à 180°, l'angle O2MO1 égal à l'angle BGJ.
Le triangle GCP est semblable au triangle MO2O1 car l'angle GCP est égal à l'angle CGK ou IGB ou O1O2M, et l'angle CPG est égal à l'angle BGP ou O2MO1.
Les triangles BJG et CJP, eux, sont égaux, car BJ = JC et l'angle JBG est égal à l'angle JCP.
PG = 2 GJ = 2 AJ / 3 et CP = BG = 2 BK /3.
MO2 / MO1 = CP / PG = BK / AJ.
Finalement, MO6 / MO3 = MO2 / MO1 ou MO1 MO6 = MO2 MO3.
La puissance du point M implique que O6, O1, O2 et O3 sont cocycliques.
C.Q.F.D.
Les centres des cercles circonscrits aux six petits triangles sont cocycliques.
Jean-Louis Legrand
