Un triangle est divisé par ses trois médianes en six triangles plus petits. Démontrer que les centres des cercles circonscrits à ces triangles sont cocycliques.
Source : Floor van Lamoen,Goes,Pays-Bas.
Soit le triangle ABC, A’, B’, C’ les milieux respectifs de BC, CA, AB et G le centre de gravité. Soient O1, O2, O4, O4, O5, O6 les centres des cercles circonscrits respectivement à AGB’, C’GA, BGC’, A’GB, CGA’ et B’GC : ce sont les points d’intersection des médiatrices de GA et GB’, GC’ et GA, GB et GC’, GA’ et GB, GC et GA’, GB’ et GC.
En d’autres termes, O1O2 , O2O3, O3O4, O4O5, O5O6, O6O1 sont les médiatrices
respectives de GA, GC’, GB, GA’, GC, GB’ et comme G est l’intersection de AA’, BB’ et CC’, O1O2 est parallèle à O4O5, O2O3 à O5O6, et O3O4 à O6O1.
Soient D l’intersection de O2O3 et O4O5 et E celle de O5O6 et O1O2 ; DO5EO2 est un parallélogramme, et comme O1O2 et O4O5 sont les médiatrices de GC’ et GC la distance entre les parallèles est CC’/2, donc l’aire du parallélogramme est DO2*CC’/2 ; de même elle est aussi égale à DO5*AA’/2, donc DO2/DO5=AA’/CC’
La parallèle à BB’ passant par C coupe AA’ en F, et GF=GA=2AA’/3
O2O3 est perpendiculaire à CC’ et O3O4 à BB’, d’où l’égalité angulaire DO3O4=CGB’ ; de même DO4O3=AGB’. Mais CGB’=GCF et AGB’=GFC : les triangles DO3O4 et GCF sont semblables, donc DO3/DO4=GC/GF=CC’/AA’.
Il en résulte que DO2 *DO3=DO4*DP5, donc O2, O3, O4 et O5 sont cocycliques. On montrerait de même que O3, O4, O5, et O6 sont cocycliques : donc les six centres des cercles circonscrits aux petits triangles formés par les cotés et les médianes sont cocycliques.
![Le triangle ABC est rectangle en A : Le côté [BC] est l'……………………………](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///wAAACH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==)