Enonc´e noA420 (Diophante) Deux carr´es dans un triangle
Trouver les dimensions du triangle pythagoricien d’aire minimale dans lequel on peut tracer deux carr´es distincts dont les dimensions des cˆot´es sont enti`eres et dont les quatre sommets reposent sur son p´erim`etre.
Nota : un triangle pythagoricien est un triangle rectangle dont les trois cˆot´es sont des entiers.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
SoitABC le triangle, Asommet de l’angle droit,acˆot´e du carr´e ayant un sommet enA,b cˆot´e du carr´e ayant deux sommets sur BC.
On a les relations
BC=a(1/cosC+ 1/sinC) =b(1 + tanC+ cotC), CA=a(1 + cotC) =b(cosC+ 1/sinC),
AB=a(1 + tanC) =b(sinC+ 1/cosC).
CommeBC, CA, AB, a, bsont entiers, on voit que tanC est rationnel, de mˆeme cosCsinC = tanC/(1 + tan2C), puis sinC et cosC, et fi- nalement sinC/(1 + cosC) = tan(C/2) = p/q, fraction irr´eductible (0< p < q).
tan(B/2) = (q−p)/(q+p), ce qui montre qu’on peut supposer (quitte
`
a ´echanger les rˆoles de B etC) quep etq, premiers entre eux, sont de parit´e contraire.
Les relations ci-dessus deviennent
BC(2pq)(q2−p2) =CA((2pq)(q2+p2) =AB(q2−p2)(q2+p2) =
=a(q2+p2)(q2−p2+ 2pq) =b((q2+p2)2+ 2pq(q2−p2)), ou encore
(∗) BC/dBC =CA/dCA =AB/dAB =a/da=b/db, avec dBC = (q2+p2)(q2−p2+ 2pq)((q2+p2)2+ 2pq(q2−p2)), dCA = (q2−p2)(q2−p2+ 2pq)((q2+p2)2+ 2pq(q2−p2)), dAB = (2pq)(q2−p2+ 2pq)((q2+p2)2+ 2pq(q2−p2)), da= (2pq)(q2−p2)((q2+p2)2+ 2pq(q2−p2)),
db = (2pq)(q2−p2)(q2+p2)(q2−p2+ 2pq).
Ces cinq expressions sont des entiers sans diviseur commun quandp et qsont premiers entre eux et de parit´e contraire. Il existe donc (identit´e de Bachet g´en´eralis´ee) cinq entiers relatifss, t, u, v, w tels que
sda+tdb+udBC+vdCA+wdAB = 1, et la valeur commune des rapports (∗) est sa+tb+uBC+vCA+wAB=e, un entier.
1
L’aire du triangle ABC est alors AB·CA/2 =e2dABdCA/2 et il faut e= 1 pour que son minimum soit atteint. C’est alors
pq(q2−p2)(q2−p2+ 2pq)2((q2+p2)2+ 2pq(q2−p2))2.
Tous les facteurs de cette expression sont des fonctions positives crois- santes de q, leur minimum et le minimum du produit requi`erent queq ait sa valeur minimum p+ 1, (qui v´erifie la condition p et q premiers entre eux et de parit´e contraire).
L’aire est alors
p(p+ 1)(2p+ 1)(2p2+ 4p+ 1)2(4p4+ 12p3+ 14p2+ 6p+ 1)2.
Tous les facteurs de cette expression sont des fonctions positives crois- santes de p, leur minimum et le minimum du produit requi`erent quep ait sa valeur minimump= 1.
Il en r´esulte
BC = 1295, CA = 777, AB = 1036, a = 444, b = 420
. La figure suivante montre les longueurs des segments form´es par les deux carr´es sur le p´erim`etre du triangle.2
