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D1700. Un classique de FvL

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Academic year: 2022

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D1700. Un classique de FvL

Louis Rogliano

Par construction, on peut toujours choisir les centres des cercles de manière à ce que l’hexagone (ABCDEF)ait ses côtés opposés parallèles.

Dans ces conditions les trois couples de côtés opposés se coupent sur la droite de l’infini et l’hexa- gone est inscrit dans une conique (réciproque du théorème de Pascal).

Cette conique a pour équation cartésienne :ax2+bxy+cy2+ 2dx+ 2ey+f = 0.

Sans perdre en généralité, on peut toujours considérer que le triangle a pour sommets dans un re- père orthonormé :

A(0; 0)B(1; 0)C(xc, yc)

Avec l’aide d’un logiciel il est aisé de calculer les coordonnées des centres des six cercles circons- crits aux six triangles. En portant ces expressions dans l’équation générale de la conique on obtient un système linéaire de six équations à six inconnues.

Toujours avec l’aide d’un logiciel on trouve alors quea=cetb= 0.

La conique est un cercle.

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