D1700. Un classique de FvL
Un triangle est divisé par ses trois médianes en six triangles plus petits. Démontrer que les centres des cercles circonscrits à ces triangles sont cocycliques.
Source : Floor van Lamoen,Goes,Pays-Bas.
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Solution
Préparatifs (fig. 1)
Plongeons le triangle dans le plan complexe. Soit 2a,2b,2c les sommets. Les demi-côtés
“mesurent” A = b-c, B = c-a, C = a-b.
Plaçons l’origine au centre de gravité du triangle de sorte que a+b+c = 0.
Les pieds des médianes sont alors -a,-b,-c.
Figure 1 Démarche
Quatre points x,y,x*,y* sont cocycliques si leur birapport est réel.
Soit 1,2,3,4,5,6 les centres des cercles circonscrits aux triangles formés par les médianes. À l’aide des birapports nous démontrerons les cocyclicités 1234 et 5234, ce qui suffira à établir la cocyclicité 12345 et par transposition, la cocyclicité 34561 et de ce fait la cocyclicité des 6 centres.
Calculs des centres (fig. 2)
Le centre du cercle circonscrit à un triangle de sommets p,q,r et de côtés P,Q,R est donné par la formule N/D avec D = ΣPp’ et N = ΣPp’p,
les sommes Σ portant sur les permutations circulaires de p,q,r, l’apostrophe désignant les conjugués.
Figure 2
Les centres sont de la forme bB’c/(c’b-b’c). Or les (c’b-b’c) sont imaginaires et tous égaux à une même quantité S, imaginaire : on le voit par exemple par
(c’b-b’c)-(b’a-a’b) =-b’(c+a)-(c’+a’)b = -b’b+b’b = 0, d’où (c’b-b’c) = (b’a-a’b) = S.
Les centres sont donc proportionnels aux bB’c.
Calcul des birapports (fig.3)
Le birapport de x,y,x*,y* est RR(x,y,x*,y*) = (x-x*)(y-y*)/(y-x*)(x-y*).
Figure 3
Il est invariant dans une proportionnalité, ce qui permet de calculer les birapports des centres à partir des bB’c et d’écrire
RR(1,2,3,4) = (bB'-aC')(aB'-cC')/a(bB'-cC')( B'-C') puis par développement de B’ et C’
= (c’b-a’a+S)(b’c-a’a-S)/3a’a[(c’b+b’c)+a’a].
Les facteurs du numérateur sont conjugués et leur produit est réel.
Le dénominateur étant réel, RR(1,2,3,4) est réel.
De même,
RR(5,2,3,4) = (bA'-cC')(aB'-cC')/(bB'-cC')(aA'-cC') puis par développement de A’, B’ et C’
= -(b’b-a’c-S)(a’a-b’c+S)/[(b’c+c’b)+a’a][(c’a+a’c)+b’b].
Les facteurs du numérateur ont pour somme le réel a’a+b’b+c’c et pour différence l’imaginaire 3S. Ils sont donc conjugués et leur produit est réel.
Le dénominateur étant réel, RR(5,2,3,4) est réel.
CQFD.
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