D1912. Le ratio de la cocyclicité
On trace un triangleABC dont le périmètre vaut quatre fois la longueur du côtéBC. Le cercle inscrit de ce triangle a pour centreI et touche les côtésAC et AB respectivement enEetF. On désigne parK etLles symétriques deEetF par rapport àI.
Démontrer que les quatre pointsB,C,K etLsont sur un même cercle et que celui-ci est tangent au cercle circonscrit au triangleAE F.
Solution de Claude Felloneau
Le cercleC1circonscrit au triangleAE F est le cercle de diamètredbAIec.
Le cercleC2circonscrit au triangleI BCa pour diamètredbI JecoùJest le centre du cercle exinscrit au triangleABC qui est tangent au côté (BC), car les anglesI B Jd etI C Jd sont droits.
Comme les pointsA,I,Jsont alignés dans cet ordre, les cerclesC1etC2sont tangents enI.
bB bC
b
A
b
I
b
E
b F
C1
C2
b
J
b
K
b L
Si on poseBC =a,C A=betAB=c,Iest le barycentre des points pondérés (A,a), (B, b)), (C,c) etJest le barycentre des points pondérés (A, −a), (B, b)), (C,c).
On en déduit que−→
A J=a+b+c b+c−a
−→ AI.
Comme le périmètre du triangleABC est égal à 4a,b+c=3adonc−→ A J=2−→
AI. AinsiJest le symétrique deApar rapport àI.
On en déduit queC2est le symétrique deC1par rapport àIet qu’il passe par les symétriquesK etLdeE etF par rapport àI.
Les quatre pointsB,C,K etLsont donc sur le cercleC2et ce cercle est tangent au cercleC1.
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