On trace un triangle ABC dont le périmètre vaut quatre fois la longueur du côté BC. Le cercle inscrit de ce triangle a pour centre I et touche les côtés AC et AB respectivement en E et F. On désigne par K et L les symétriques de E et F par rapport à I. Démontrer que les quatre points B,C,K et L sont sur un même cercle et que celui-ci est tangent au cercle circonscrit au triangle AEF.
Soit un triangle ABC, a, b, c les longueurs de BC, CA, AB et p le demi-périmètre ; soit I le centre de son cercle inscrit, et D le point où la bissectrice AI recoupe le cercle circonscrit. Le cercle Γ de diamètre AI passe par les points E et F, contacts du cercle inscrit avec AC et AB. Le cercle Γ’ de centre D passant par I passe par B et C, puisque les triangles DBI et BCI sont isocèles ( DBI=BID=(A+B)/2) les cercles Γ et Γ’ sont tangents en I, et leurs diamètres sont (p-a)/cos(A/2) et a/cos(A/2).
Les symétriques de E et F par rapport à I appartiennent à Γ’ si et seulement si Γ et Γ’ sont symétriques par rapport à I, donc si leurs diamètres sont égaux, a=p-a, p=2a , donc le périmètre de ABC vaut quatre fois la longueur de BC.
